贵州贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

北师大贵阳附中2026-2027学年第一学期第一次月考 高二数学 考试时间：120分钟试卷满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,B={2,3,5},则C,(4UB)=() A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4 2.若复数z满足z(1+2i)=3-4i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数z的虚部是() A.2i B.-2i C.2 D.-2 3.函数)F+3x-2 的定义域是() A.{x1<x<2 1 B.x<x<I C.lsxs2) D.{dx<1或x>2} 2 4已知m0-引-片则os20-() 7 A. B.9 7 c.g D. 5.已知x>-,则x+4 的最小值为() x+1 A.3 B.4 C.5 D.6 6.若A(1,0,1)、B(0,3,0)、C(1,1,2),则点A到直线BC的距离为() A吉 B. C.√2 D.2 7.在空间直角坐标系中，经过点(xo,o,z),且以u=(a,b,c)(abc≠0)为法向量的平面a的方程为 a(x-x)+b(y-)+c(z-zo)=0.若平面a的方程化简为x+2y-z=3,直线1的方向向量为(1，-1,1)，则直 线/与平面α的所成角的正弦值为() A.3 3 B.6 c.分 3 D.② 3 3 8.已知空间向量0i=(1,00),0B=(0,10),0C=(00,),向量0P=x0i+y0B+z0C,其中++z=1.则 32 高二数学试卷第1页，共4页 OP的最小值为() A. B.4V27 C.1 D.2 21 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下面四个结论正确的是() A.若空间向量a、方满足同b,则a=6 B.已知{a,6,C}是空间的一组基底，若m=a+c,则{a,6,m}也是空间的一组基底 C.对于空间向量a、b,“a.b<0”是“a与6的夹角为钝角”的必要不充分条件 D.若三个非零空间向量a、、c满足a⊥b,c⊥6，则a/ 10.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，则下列四个命题正确的是() A.两条异面直线D,C和BC所成的角为四 D 4 B.直线BC与平面ACD所成的角等于牙 C.三棱柱MMD-BBG外接球半径为 D 2 D.若M是线段4C上的动点，则M到面A4BC的距离为y3 1l.已知函数f(x)=sin2x+ 则() A,函数/x-为偶函数 B.曲线y=f(x)的对称轴为x=k红，k∈Z Cf化)在区间(（单调递地 D.f(x)的最小值为-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A,B,AC,BD分别是在这 个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm 则CD的长为 高二数学试卷第2页，共4页 13.如图，用X,Y,Z三种不同的元件并联连接成系统S,每个元件是否正常 工作不受其他元件影响.当元件X,Y,Z中至少有一个正常工作时，系统S正 常工作，已知元件X,Y,Z正常工作的概率分别为？子子，则系统S正常 工作的概率为 系统S 14.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，P是棱CC上一动点，点O是面AC的中心，则AP.AO的值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,V3b),i=(cosA,sinB),且mlm. (1)求角A: (2)若a=√21，b=4,求△ABC的面积. 16.(本题15分) 已知空间中三点A(-21,3),B(L,-2,0),C(-1,-1,5) )求AC: (2)求向量AB在向量AC上的投影向量的坐标： (3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内，求m的值. 17.(本题15分) 如图，正四棱柱ABCD-AB,CD,中，且AB=2,DD=4,点E,F分别是DB,AD的中点 D (1)求直线CE与直线DD所成角的正弦值： A B (2)求点A到平面D,BF的距离 D 高二数学试卷第3页，共4页 18.(本题17分) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90,100)， 100,110),,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： ◆频率/组距 0.035----------------- 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0V90100110120130140150分数 (1)求分数在[120,130)内的频率： (2)估计本次考试的中位数： (3)用分层抽样的方法在分数段为10,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体， 从中任取2人，求至多有1人在分数段120,130)内的概率. 19.(本题17分) 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D、E分别是AC、AB上的点，满足DEIIBC且AE=2BE, 将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使AC⊥CD,M是AD的中点，如图所示. (1)求证：AC⊥平面BCDE: (2)求CM与平面ABE所成角的大小： (3)在线段AC上是否存在点N,使平面CBM与平面BMN所成角的 余弦值为5？若存在，求出CN的长度：若不存在，请说明理由。 高二数学试卷第4页，共4页 北师大贵阳附中2026-2027学年第一学期第一次月考 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 D A B A C D A BC BCD 题号 11 12 13 14 答案 AC 3 2v17cm 4 详细答案 1.D 【详解】由A={,3,B={2,3,5},则AUB={1,2,3,5},集合U={,2,34,5, 故C,(AUB)={4}故选：D 2.C 【分析】计算z=-1-2i,得到z=-1+2i,得到答案 【详解12=3-仔02》-5：10=1-24，则：-42，虚都为2故选：C 1+2i(1+21)1-21)5 3.A 【详解】函数儿)+3x-2 3 有意义，则需满足-x2+3x-2>0, 解得1<x<2,故函数f(x)的定义域为{x1<x<2 4.B 【详解】首先根据诱号公式n口-引-m经-☑-oa,对m0-引}-化简可得： sm0-到引-cw0-片解得o0=-了再根据二倍角的余弦公式cs20=2cos0-1 将0-入：s20-2-12xg1号 5.A 【详解】当x>-1时，x+1>0,所以x+4 x+1 仅当x+1=即=1时等号成立，故x+ x+的最小值为3. 高二数学答案第1页，共8页 6.C 【详解】由题意可得BA=(1,-3,1),BC=(1,-2,2), 所以点A到直线BC的距离为d= BA.BC BA BC 7.D 【详解】由x+2y-z=3过(1,1,0)，可化为(x-1)+2(y-1)-(z-0)=0, 所以平面α的法向量为i=(1,2,-1),而直线1的方向向量为1=(1，-1，)，所以直线1与平面α 1×1+2×(-1)+(-1)×1 2 的所成角的正弦值 12+22+(-1)2×2+(-1)2+12 6×5=3 故选：D 8.A 【详解】设0D=30A=(3,0,0),0E=20B=(0,2,0), 因为+号+z=1,所以0P=x0A+y0B+z0c=0D+0E+z0C, 所以D,E,C,P四点共面，当OP⊥平面DEC时，OF有最小值. 可得DE=0D-0E=(3,-2,0),DC=0C-0D=(-3,0,1) 设平面D5C的一个法向量m=(a,hc),则mDG=3a-2b=0 m.DC=-3a+c=0 取a=2,则b=3,c=6,所以m=(2,3,6)为平面DEC的一个法向量， 所以O到平面DEC的距离d=」 网品-号成A正确人 9.BC 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误： 对于B:已知{a,b,c是空间的一组基底， 若m=a+c,不妨设b=a+umi,即b=(a+4)a+uc(2,ueR),于是得出a、b、c共面， 这与{a,b,c是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则{a,b,a+c}可以作为基底： 数学答案第2页，共8页 则{a,6,m也是空间的一组基底，故B正确： 对于C:当a、b反向共线时ab<0也成立，但a与b夹角不为钝角： 但a与b夹角为钝角时a6<0一定成立，故C正确： 对于D:由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误， 10.BCD 【详解】对于A,连接AC,AD,因为AB/ICD,AB=CD, D 故四边形ABCD为平行四边形，则AD /IBC, 则异面直线D,C和BC所成的角即为∠AD,C或其补角， D 由于D,C=AD=AC,即△ADC为等边三角形，故∠AD,C= ,A错误： 对于B,连接B,C,在正方形BCCB中，B,C⊥BC, D 因为AB⊥平面BCCB,B,CC平面BCCB,故AB⊥B,C, AB∩BC=B,AB,BCC平面ABCD,故B,C⊥平面ABCD, 故直线BC与平面ABCA所成的角为∠CBC-牙B正确： 对于C,三棱柱AAD-BB,C外接球即为正方体ABCD-ABC,D,的外接球， D 球的半径为正方体体对角的一半，即P+P+P=5 C正确： 2 对于D,连接AC,AC,由于AA,/1CC,AA,=CC, Di.. 即四边形A4CC为平行四边形，则AC11AC M AC,C平面ABC,AC文平面ABC,故AC1I平面ABC, M是线段AC上的动点，则M到平面ABC的距离等于A到平面ABC,的距离， 48=8G=4G=2,则S-5-5 4 2 设1到平面4BG的距离为.则=片，即Sh-写8w×国G。 即x5hx1,则h5,即M到平面4BG的距离等于号，D正通 3”232 3 故选：BCD 高二数学答案第3页，共8页 11.AC 【详解】 ()-nox) 4 -sin 2xcos+sin cos2x+cos2xcossin2xsin 4 4 4 4 2 2 2cos2x-/ cos2x- sin2.x=-√2sin2x,即f(x)=-√2sin2x, 2 对于A-引n2x-引-c2,易知为偶函数，所以A正确 对FB,)=5sm2x对称轴为2x-受+akeZ牙+经keZ,放B错讽 对于c,x}2e ,y=sin2x单调递减，则f(x)=-√2sin2x增，故C正确： 对于D,f(x)=-√2sin2x,则sin2x∈-l,小，所以f(x)e[-√2，V2],故D错误： 故选：AC 12.2W17cm 【详解】由题设AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,CA⊥AB,DB⊥AB,(CA,BD)=120°， 所以CD=(C+AB+BD=C+AB+BD+2C.AB+2C.BD+2ABBD =36+16+64+2×6×8×cos120°=68，所以1CD217(cm).故答案为：27cm 1以号 【详解】记事件A:“系统S正常工作”，则A:“元件X,Y,Z均不正常工作”， 因为每个元件是香正常工作相互独立，则P叫同---儿-兮》号 D 所以P代=1-号号数答案 5 D 14.4 【详解】如图所示： B 因为ABCD-ABCD,是正方体，所以CP⊥AC,AC=√4+4=2√2，所以AO=√2， 由图可知：AP=AC+CP,所以AP.AO=(AC+CP)A0=AC.AO+CP.AO=2√2×√2=4. 故答案为：4 4.0号 (2)5V5 【详解】(1)因为向量m=a,V3b),i=(cosA,sinB)且m/1m,所以asinB=√3 bcosA, 数学答案第4页，共8页 又由正弦定理得sin4sinB=√3 sinBcosA,因为sinB>0,所以tanM=√5， 又因为0<A<,所以4=骨 (2)因为△ABC中，a=i,b=4,由(1)知A=行，由余弦定理d2=+d2-2 abccos, 即21=16+c2-4c,所以c2-4c-5=0,解得c=5或c=(舍去). 所以AABC的面积S=bcsinA=x4x5x5=55. 2 2 16.(1)3 e唱剖 (3)m=-7 【详解】(1)由A(-21,3),C(-1,-1,5)可得AC=(1,-2,2),故4C=V2+(-2}+22=3: (2)易得AB=(3,-3,-3),又AC=(1,-2,2),且AB.AC=3, 则向量AB在向量AC上的投影向量为 c-号c-c-传引 0 (3)因为点P(2,-1,m)在平面ABC上，故存在x,y∈R,使得AP=xAB+yAC, 即AP=xAB+yAC=(3x+y,-3x-2y,-3x+2y),又因AP=(4,-2,m-3),对照可得 4=3x+y [x=2 -2=-3x-2y，解得{y=-2.故m=-7. m-3=-3x+2y m=-7 17.03 (2)4v② 21 【详解】(I)正四棱柱ABCD-AB,CD中，DD⊥平面ABCD,且AD⊥DC 所以可以分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示 则D(0,0,0A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0)D(0,0,4),D,D=(0,0,-4) D 因为点E是D,B的中点，所以E(1,1,2),所以CE=(1,-1,2） C A B 3 ! D 高二数学答案第5页，共8页 直线CE与直线DD所成角的正弦值为 3 (2)由(1)知，F(1,0,0),BD=(-2,-2,4)FB=(1,2,0),CB=(2,0,0) 设平面FBD的法向量=(x,,名)， 2FB=0 则 x+2y=0 ,所以 nBD =0 -2x-2y+4名1=0 令名=4，则y=-2,名=1，所以平面FBD的一个法向量%=(4，-2,1) 因为AB=(0,2,0),所以 AB-m 4 421 V2121 所以点A到平面D,BF的距离为4W个 21 18.(1)0.3:(2) 0} 5 【详解】(1)分数在120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3: (2)由于图中前3个小矩形面积之和为0.4 则设中位数x∈(120,130)，则 (6x-120)x0.03=0.5-04,则x=370 (3)依题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15=9（人）， [120,130)分数段的人数为60×0.3=18（人）方 :用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴.需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m,n: 在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a,b,c,d: 设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A, 则基本事件有(m,n),(m,a),,(m,d),(n,a),,(n,d),(a,b),,(c,d) 共15种： 则事件A包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n, b,(n,c,(n,d)共9种：P(A)155 93 数学答案第6页，共8页 19.(1)(2)45(3)存在，CD=√5或25 【详解】(1)因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE/BC,且BC⊥CD, 所以DE⊥CD,DE⊥AD,则折叠后，DE⊥AD,DE⊥CD, 又ADOCD=D,AD、CDc平面ACD,所以DE⊥平面ACD, 因为ACc平面ACD,所以DE⊥AC, 又因为AC⊥CD,CDODE=D,CD、DEc平面BCDE, 所以AC⊥平面BCDE (2)由(1)可知，AC⊥平面BCDE,BC⊥CD, 以点C为坐标原点，CD、CB、CA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直 角坐标系， 翻折前，在△ABC中，DE/BC,则P=4E=2,则AD=2CD, CDBE 则瓷-2-号则号c2,0-4c-2 翻折后，因为AC⊥平面BCDE,CDc平面BCDE,则AC⊥CD, 所以，4D=4,CD=2,则4C=VAD2-CD2=V-22=25, 故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0),4(0,0,25),M,0,5 CM=1,0,5,AB=(0,3,-25,4E=(2,2,-25 设平面ABE的法向量为方=(x,y,z),则 i·4B=3y-25z=0 i.4E=2x+2y-2√5z=0 不妨令y=2,则z=5,x=1,则方=山，2，V5 设直线CM与平面ABE所成角的大小为O 则有sin0=cos CM,= CM月4√2 CM-同2x2V2=2,则0=45， 直线CM与平面ABE所成角的大小为45 高二数学答案第7页，共8页 (3)假设在线段AC上存在点N,使平面BCM与平面BMN成角余弦值为5 在空间直角坐标系中，BM=,-3,5),CM=L,0,V5,CA=(0,0,2W5, 设CN=CA=0,0,2w5)=(0,02320≤s). 则BN=BC+CN=(0,-3,0)+0,0,25=(0,-3,25), 设平面BMN的法向量为m=(名2,2,2)，则有 m·BM=x3-3y2+3z2=0 2BN=-3y2+2312,=0 不妨令2=5，则y2=21,=61-3,所以m=(61-3,21,5) 设平面BCM的法向量为=(：，)，则有 m·BM=x-3y+V3z3=0 nCM=x+3z=0 不妨令2，=5，则3=-3，为=0，所以片=(3,05)， 若平面BCM与平面BMN成角余弦值为5 4 则满足cos%,= %2n 12-18 2-3 同万2w5×92a-+42+345.i0-92+34 化简得22-3以+1=0，解得=1或3即CN=C4或CN=C4, 则C-c网=25或，cW=C网=5 故在线段4C上存在这样的点N,使平面BCM与平面BMN成角余弦值为 4 此时CN的长度为√5或2√5. 数学答案第8页，共8页