精品解析：贵州遵义市汇川区周林高级中学2026-2027学年高二上学期九月第一次月考数学试题

遵义周林高中2026－2027学年度第二学期九月第一次月考 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. “平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 4. 棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 12 6. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且，，则 B. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 C. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D. 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 11. 如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则点运动轨迹长度为 B. 若，则点运动轨迹长度为 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________ 13. 已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为________． 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中华人民共和国第十四届全国运动会、全国第十一届残运会暨第八届特奥会将于2021年在中国陕西举行.为宣传全运会、特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会、特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展全运会、特奥会宣传活动（每个社区2人），求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. （1）求证：M，N，C，D四点共面； （2）求证：平面. 17. 已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，. （1）求圆锥的侧面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求点到平面的距离． 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）在锐角中， （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求的取值范围 19. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且. （1）设平面，求证：； （2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； （3）当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义周林高中2026－2027学年度第二学期九月第一次月考 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得集合，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A，熟记集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】 3. “平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 【答案】C 【解析】 【详解】平面上有一条直线，表述为，点在直线内表述为，点在平面内表述为； 故对应的符号语言为：若，，则，故C正确. 4. 棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，确定球心及外接球半径，然后利用球的表面积公式，求出球O的表面积． 【详解】如图：设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，，连接， 设线段的中点为O，则O为其外接球的球心． 因为等边三角形ABC的边长为3，所以， 所以球O的半径， 故球O的表面积． 故选：B． 5. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】作出原图如图，在直观图中，， 则在原图形平行四边形中， 所以原图形的面积为. 6. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法令化简变形，再利用基本不等式计算即可． 【详解】令，则， ， 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 所以，则， 当且仅当，即， 即时，等号成立，的最大值是. 8. 已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出函数的草图，结合草图再分，解出不等式. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以函数关于轴对称， 又函数在上单调递增且，所以函数的草图如下： 所以不等式等价于： ①， ②， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且，，则 B. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 C. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D. 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 【答案】ABC 【解析】 【分析】由两点确定一条直线即可判断A；由两条相交直线确定一个平面即可判断B；由空间等角定理即可判断C；由直线与平面的位置关系即可判断D． 【详解】对于A，因为两点确定一条直线，所以若，，且，，则，故A正确； 对于B，两条相交直线确定一个平面，故B正确； 对于C，由空间等角定理知，故C正确； 对于D，直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，故D错误； 故选：ABC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据周期以及最值求出的解析式即可判断A；根据得出，结合正弦函数的性质以及复合函数的单调性判断B；检验是否为判断C；根据变换求出的解析式即可判断D. 【详解】由题意可得，，则， 因在取得最大值，则， 得， 因，则，故A正确； 由A选项知，， 因，则， 因正弦函数图象在上单调递增，故B错误； ，故C正确； 由题意得，， 则，故为偶函数，故D错误. 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则点运动轨迹长度为 B. 若，则点运动轨迹长度为 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据线面平行，找到平行平面与已知平面的交线即可；对于B通过球与平面相交的截面圆计算轨迹长度；对于C利用平行线找到平面的截面图形在计算长度；对于D三棱锥外接球问题，计算球的半径，最后计算球的表面积； 【详解】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与底面相交的一段弧即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 13. 已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】向量在向量上投影向量为， 故答案为： 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中华人民共和国第十四届全国运动会、全国第十一届残运会暨第八届特奥会将于2021年在中国陕西举行.为宣传全运会、特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会、特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展全运会、特奥会宣传活动（每个社区2人），求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率. 【答案】（1）18人，平均成绩73； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中数据计算所求人数，由每组区间的中点值乘以频率相加得平均值； （2）由频率分布直方图根据比例求出三个区间上的人数，然后结合排列组合思想求得成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法数及总的分配方法数，从而求得概率． 【小问1详解】 成绩低于60分的人数为（人）. 平均成绩. 【小问2详解】 ∵成绩在，，的学生人数所占比例为， ∴从成绩在，，的学生中应分别抽取3人，2人，1人. 6人平均分成3组分配到3个社区，共有（种）方法. 成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有（种）， ∴“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，M，N分别是，，的中点. （1）求证：M，N，C，D四点共面； （2）求证：平面. 【答案】（1） ∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴. 又在平行四边形中，， ∴，∴，，，四点共面. （2） 取中点，连，， ∵，分别是，的中点，∴是的中位线，∴且， 又∵平行四边形中，∴且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【解析】 【分析】（1）由题意证明，即可证明M，N，C，D四点共面. （2）取中点，连，，证明，进而可证明平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，. （1）求圆锥的侧面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出圆锥的母线，根据圆锥侧面积公式求解即可. （2）根据余弦定理、同角的三角函数关系、三角形面积公式及棱锥的体积公式求解即可. （3）根据等体积法求解即可. 【小问1详解】 圆锥，底面半径，平面. 由圆锥的体积为，得，即， 解得. 所以母线. 故圆锥的侧面积为. 【小问2详解】 在中，，，所以为等边三角形， 所以. 在中，， 则， 所以. 故三棱锥的体积. 【小问3详解】 正中，， 设点到平面的距离为， 由，得，即，解得. 故点到平面的距离为. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）在锐角中， （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求的取值范围 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式求出值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）（ⅰ）利用三角形面积公式和余弦定理计算即可； （ⅱ）利用正弦定理、三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， 在中，，则， 则得， 整理得， 因为，则，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以， 由余弦定理得：，即， 由，可得. （ⅱ）由正弦定理， 可得， 又因，则， 又因为在锐角，有，解得， 所以 ， 因为，所以， 则， 即. 19. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且. （1）设平面，求证：； （2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； （3）当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 【答案】（1） 连接，因为且，所以为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明平面，根据线面平行的性质证明即可； （2）设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得； （3）取的中点，的中点，连接、、、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小，令，连接，则球心在上，设球心为，连接、、，利用勾股定理求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方形中，直线与直线相交， 设，连接，设，连接， 由为的中点，得为的中点，， 所以平面即为平面， 因为为的中点，所以为的中点， 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 因为正方体的棱长为， 所以 ， 另一部分几何体的体积， 两部分的体积． 【小问3详解】 取的中点，的中点，连接、、、， 显然，，所以，平面，平面， 所以平面， 又为的中点，所以且，又且， 所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点是侧面内的动点，且， 所以在线段上，又， 即为等腰三角形，所以当为的中点时最小， 因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为， 令，则为的中点，连接，则，所以平面， 所以球心在上，设球心为，连接、、， 设外接球的半径为，，则， 又，， 所以，，解得，则， 所以外接球的表面积. 【点睛】关键点睛：第三问题点的轨迹问题的关键是通过面面平行确定的位置，对于外接球关键是确定球心所在位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $