精品解析：江西弋阳县私立育才学校2026-2027学年上学期九年级阶段性质检试题卷数学（一）

2026-2027学年上学期九年级阶段性质检 数学（一） 说明：1．范围：25.1~26.2． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：、中有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、中有一个未知数，未知数的最高次数为，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； 、中有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 、中有一个未知数，未知数的最高次数为，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 ∴或． 3. 下列关于方程，说法错误的是（ ） A. 两个实数根的和为 B. 二次项系数为 C. 无实数根 D. 常数项为 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，根与系数的关系，根的判别式逐一判断即可． 【详解】解：、设方程的两个实数根为，，则两个实数根的和为，故此选项说法正确，不符合题意； 、方程中二次项系数为，故此选项说法正确，不符合题意； 、， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项说法错误，符合题意； 、方程中常数项为，故此选项说法正确，不符合题意． 4. 某品牌新能源汽车在海南的月销售量从月份的辆增加到月份的辆．设该新能源汽车月份至月份的销售量平均每月的增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 根据平均每月增长率模型，列方程即可． 【详解】解：根据题意可得． 故选：B. 5. 二次函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得，该函数图象经过点，代入即可求解． 【详解】解：由图象可得，该函数图象经过点， 将点代入中，得． 6. 已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（ ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数 的一次项系数为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次函数 的一次项系数为． 8. 已知和是一元二次方程 的两个实数根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 9. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意，把代入方程得， ， 整理得，， ． 10. 如图，，分别是正方形边，上的点，且，，分别以，为边长作正方形和正方形，且正方形和正方形的面积和为，则阴影部分的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先设正方形的边长为，根据、的长度表示出两个正方形的边长，再由二者面积和为列方程求解出边长，最后用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：设正方形的边长为， ，， ，． 令，，则， 正方形和正方形的面积和为， ，即， ， ， ， ， 两边开平方得，即， 解得，（边长为正，舍）． 由图可知，， ， 代入，解得． 11. 已知，且 令 则 的最大值为_________． 【答案】0 【解析】 【详解】解：依题意， ∴的最大值为． 12. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且实数，则的整数值为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，结合已知条件列出不等式组，解不等式组，进而求得其整数解，即可求解． 【详解】解：依题意，，解得： ∴的整数值为或或． 三、解答题（本大题共5 小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 于是得， ∴或， 解得，． 14. 在二次函数中，x与y 的几组对应值如下表所示． x … 0 2 … y … 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，图象如图所示： 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标；列表、描点、连线即可画出函数图象． 【小问1详解】 解：将表格中的时，，时，代入中， 得，解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； 列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 描点，连线，二次函数的图象如图所示（图略） 15. 已知关于的方程 有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若试求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，令，解不等式，即可求解； （2）根据根与系数的关系可得，代入已知，解方程，求得的值，结合（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：由条件可知， 整理得， 解得 【小问2详解】 解： 根据根与系数的关系可得 整理得 解得或， 由（1）可知 ∴． 16. 已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．求证： 是正数． 【答案】证明：∵关于x的一元二次方程 （）有两个相等的实数根， ， ，即 ， ， ， 是正数． 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】略 17. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】（1） （2） （3）每顶头盔应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据利润售价进价，列出代数式即可； （2）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式； （3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义运算： ，例如 （1）求 的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2）x的值是3或 【解析】 【分析】（1）按新定义运算规则计算即可； （2）按新定义运算规则得出一元二次方程并解方程计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， 整理得 ∴， 解得 即x的值是3或． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 20. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当时， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）且 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程的定义及根与判别式的关系求解即可； （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 的取值范围为且； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得． ，是一元二次方程的两个实数根， ，，且，即， ①； ②． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点，点在抛物线上，作直线与轴交于点． （1）若点在第三象限，且． ①求点的坐标； ②当时，求的最大值和最小值； （2）若点为线段的中点，求的长． 【答案】（1）①点的坐标为；②最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）①将点代入抛物线解析式求得，再结合在第三象限筛选出的值，从而得到点的坐标；②根据得到的解析式，计算抛物线的对称轴和取值范围端点处的函数值，再比较其大小即可得出最大值和最小值； （2）根据点在抛物线上，建立与的关系式．设点坐标为，由点为线段的中点，利用中点坐标的计算方法建立，与的关系，分别求出，和的值，从而得到抛物线的解析式，求得抛物线与轴交点的坐标，计算出的长． 【小问1详解】 解：①点在抛物线上，且， 解得或． 又顶点为且在第三象限， ， ， 点的坐标为． ②由题意，结合①可得， 当时，取得最小值，最小值为． 又当时，， 当时，． 当时，，此时的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 解：由题意得，顶点． 点在抛物线上， ． 设点， 点是的中点， 点， ，， 解得，，， 点． 此时， 令，则， 抛物线与轴的交点的坐标为， ． 22. 为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元． （1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？ （2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a＜50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值． 【答案】（1）该同学最多可购买40个甲型小元件；（2）a的值为25． 【解析】 【分析】(1)设该同学购买x个甲型小元件,则购买2x个乙型小元件,根据总价=单价×数量结合该同学购买小元件的总费用不超过480元,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出x的取值范围,取其内的最大正整数即可； (2)设y=a%,根据该同学在本次活动中赚了a%,即可得出关于y的一元二次方程,解之即可得出结论. 【详解】（1）设该同学购买x个甲型小元件，则购买2x个乙型小元件， 根据题意得：6x+3×2x≤480， 解得：x≤40． 答：该同学最多可购买40个甲型小元件． （2）设y=a%， 根据题意得：（520+480）×（1+2y）（1﹣y）=（520+480）×（1+y）， 整理得：4y2﹣y=0， 解得：y=0.25或y=0（舍去）， ∴a%=0.25，a=25． 答：a的值为25． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，仔细审题，找出列不等的不等量关系和列方程的等量关系是解答本题的关键. 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 在复习一元二次方程时，张明同学整理、总结了3张资料卡片： [卡片1]根的判别式：． [卡片2]求根公式：． [卡片3]一元二次方程有两个相等的实数根，有时也可以理解为：只存在未知数的一个值满足方程． （1）结合[卡片1][卡片2]的内容，完成[任务1]： 设，是方程的两个实数根． 求证：，； （2）利用[任务1]中的结论，完成[任务2]： 设，是方程的两个实数根． ①若，则________；②若，则________； （3）根据以上内容，完成[任务3]： 有三个实数，，都满足关于x的方程，其中a，b为常数，且，．求证：，，中必有一个值为2． 【答案】（1）证明：对于方程， 由求根公式，得，， ， ． （2）① ②12 （3）证明：由原方程得：①，②， 两个方程的判别式分别为：，， ∵有三个不相等实数，，都满足关于的方程， ∴方程①，②中一定是：一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即，中必有一个大于0，一个等于0，比较，，显然， ，，即， ． 把分别代入方程①，②中， 得③，，即④， 设方程③的两根为，，方程④的根为，则 ，．（∵方程④的两根均为） 又， ，解得， ， 故，，中必有一个值为2． 【解析】 【分析】（1）依托求根公式写出方程两根表达式，通过整式相加、平方差分别计算两根和与两根积，完成韦达定理证明． （2）先用韦达定理表示两根和、两根积；① 对分式通分变形为，整体代值计算；② 将代入两根和关系式，先求单根，再利用两根之积求出． （3）去掉绝对值拆为两个一元二次方程，写出各自判别式； 由三不等实根推出：一方程、一方程，结合判定，用表示； 然后代入原方程配方得到重根表达式，结合韦达与三根之和列等式，算出重根等于2，完成求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是一元二次方程的两个实数根， 由（1）韦达定理可得：． ① 若： ② 若： ，代入， ，解得，， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级阶段性质检 数学（一） 说明：1．范围：25.1~26.2． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列关于方程，说法错误的是（ ） A. 两个实数根的和为 B. 二次项系数为 C. 无实数根 D. 常数项为 4. 某品牌新能源汽车在海南的月销售量从月份的辆增加到月份的辆．设该新能源汽车月份至月份的销售量平均每月的增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. 0 B. 4 C. 3 D. 6. 已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（ ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 二次函数 的一次项系数为_________． 8. 已知和是一元二次方程 的两个实数根，则_________． 9. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________． 10. 如图，，分别是正方形边，上的点，且，，分别以，为边长作正方形和正方形，且正方形和正方形的面积和为，则阴影部分的面积等于________． 11. 已知，且 令 则 的最大值为_________． 12. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且实数，则的整数值为_________． 三、解答题（本大题共5 小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 14. 在二次函数中，x与y 的几组对应值如下表所示． x … 0 2 … y … 0 … （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． 15. 已知关于的方程 有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若试求实数的值． 16. 已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．求证： 是正数． 17. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义运算： ，例如 （1）求 的值； （2）若，求x的值． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 20. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当时， ①求的值； ②求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点，点在抛物线上，作直线与轴交于点． （1）若点在第三象限，且． ①求点的坐标； ②当时，求的最大值和最小值； （2）若点为线段的中点，求的长． 22. 为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元． （1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？ （2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a＜50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 在复习一元二次方程时，张明同学整理、总结了3张资料卡片： [卡片1]根的判别式：． [卡片2]求根公式：． [卡片3]一元二次方程有两个相等的实数根，有时也可以理解为：只存在未知数的一个值满足方程． （1）结合[卡片1][卡片2]的内容，完成[任务1]： 设，是方程的两个实数根． 求证：，； （2）利用[任务1]中的结论，完成[任务2]： 设，是方程的两个实数根． ①若，则________；②若，则________； （3）根据以上内容，完成[任务3]： 有三个实数，，都满足关于x的方程，其中a，b为常数，且，．求证：，，中必有一个值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $