精品解析：江西省弋阳县开湘中学2025-2026学年九年级上学期第一次阶段测试数学试题

九年级数学第一阶段考试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一：选择题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 4. 为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．设平均每批受益学生人次的增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把抛物线先向左平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的表达式为________ 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则：________ 9. 方程的一次项系数是______． 10. 二次函数的顶点坐标是______________． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 12. 如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝10t﹣5t2，则小球飞行的最大高度为 _____m． 三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 选择适当的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）． 14. 如图是正方形网格，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图中，以为腰，在格点上找点，作等腰，使其面积最小； （2）在图中，以为斜边，在格点上找点，作直角，使其面积最小． 15. 抛物线的图像如图所示，其中点为顶点． （1）写出点，的坐标； （2）求出抛物线的解析式． 16. 如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB为x米（其中． （1）请你用含x的代数式表示BC的长． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽AB的长度． 17. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若=﹣1，求k的值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 19. 已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的解析式； （2）设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________． 20. 已知一元二次方程的两根分别为． （1）若，求的值； （2）已知一直角三角形两直角边的长分别为，直角三角形的斜边长为，求该三角形的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 22. 如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求此抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； （2）连接，，求； （3）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 六、解答题（四）（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）证明：方程有一个根是定值； （3）若方程的两根为，，且满足，此时是否有解？若有，请求出的值；若无，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一阶段考试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一：选择题．（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”逐项判断即可． 【详解】A. 2x+1=0是一元一次方程，故不符合题意； B. ，分母含有未知数，故不符合题意； C.为一元二次方程，符合题意； D. ，分母含有未知数，故不符合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点． 2. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤：一除二移三配方，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的判别式判断根的情况，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 4. 为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．设平均每批受益学生人次的增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解． 【详解】解：设受益学生人次的平均增长率为x， 根据题意，得． 故选：D． 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 6. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①据当x=1时图象在x轴下方，得出y＜0，即a+b+c＜0判断即可； ②据当x=-1时图象在x轴上方，得出y＞0，即a-b+c＞0判断即可； ③据对称轴＜1，得出2a+b＞0进行判断； ④由图象开口向上判断出a＞0，由对称轴在y轴右侧得出b＜0，由抛物线与y轴交于负半轴，c＜0判断即可． 【详解】解：①当x=1时图象在x轴下方时，y＜0， 即a+b+c＜0，①正确； ②当x=-1时图象在x轴上方，y＞0， 即a-b+c＞0，②错误； ③由抛物线的开口向上知a＞0， ∵＜1， ∴2a+b＞0，③错误； ④∵图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧 ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，④正确， ∴正确的结论有2个； 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 把抛物线先向左平移1个单位再向上平移1个单位，所得到抛物线的表达式为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，先对顶点平移，再写出抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线的顶点为， 抛物线先向左平移1个单位再向上平移1个单位 平移后的顶点坐标为，即， 所得抛物线的表达式为：． 故答案为：． 8. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可． 【详解】解：一元二次方程， 其中，，， ． 故答案为：． 9. 方程的一次项系数是______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的一次项是，其系数是． 故答案是：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义． 10. 二次函数的顶点坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，“二次函数的顶点坐标是”，据此即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标． 故答案为： 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为： 1． 12. 如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝10t﹣5t2，则小球飞行的最大高度为 _____m． 【答案】5 【解析】 【分析】将h＝10t﹣5t2化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴小球飞行的最大高度为5m， 故答案为5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．能将二次函数化为顶点式是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 选择适当的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 14. 如图是正方形网格，已知格点，，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图中，以为腰，在格点上找点，作等腰，使其面积最小； （2）在图中，以为斜边，在格点上找点，作直角，使其面积最小． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等作图即可得解； （2）根据勾股定理的逆定理作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 15. 抛物线的图像如图所示，其中点为顶点． （1）写出点，的坐标； （2）求出抛物线的解析式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标、待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是通过图像获得所需信息． （1）观察图像，即可确定点，的坐标； （2）设抛物线的解析式为利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：根据图像可知，，； 【小问2详解】 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得，解得， 所以抛物线的解析式为． 16. 如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB为x米（其中． （1）请你用含x的代数式表示BC的长． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的宽AB的长度． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意，求解即可； （2）根据题意，列出一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆的全长为20米，花圃的宽AB为x米， 的长为米； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：此时花圃的宽AB的长度是3米． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 17. 已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若=﹣1，求k的值． 【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△>0，即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，结合=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+3）2﹣4k2>0， 解得：k>﹣； （2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根， ∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2， ∴=﹣1， 解得：k1=3，k2=﹣1， 经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根， 又∵k＞﹣， ∴k=3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”； （2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套． （1）若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ （2）销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每套吉祥物的售价应定为32元； （2）销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出方程和函数是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列方程，解方程即可得到答案； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，根据每套的利润乘以套数等于总利润列出二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 设每套吉祥物的售价为x元，根据题意得 ， 化简得：， 解得，， 为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为32元． 【小问2详解】 设每天销售吉祥物获得的利润为y元，则有 ， ∵，且， ∴， ∵对称轴为直线，且该二次函数图象开口向下， ∴函数的最大值为， 销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元． 19. 已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点． （1）求该函数的解析式； （2）设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶ （1）设顶点式，然后把代入求出a的值即可； （2）根据抛物线解析式求得线段的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解∶设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解∶令，则，解得，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：6． 20. 已知一元二次方程的两根分别为． （1）若，求的值； （2）已知一直角三角形两直角边的长分别为，直角三角形的斜边长为，求该三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． （1）利用根与系数的关系得到，，代入即可； （2）利用根与系数的关系得到，由勾股定理得，即可求出，可得三角形的面积． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∵ ∴ 所以； 【小问2详解】 根据题意得，， ∴ ∴， ∴． 所以该三角形的面积． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． （1）若的面积是面积的，求t的值？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 当时， ， 整理得， ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∴， 整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22. 如图，抛物线经过坐标原点和点，点在轴上． （1）求此抛物线的解析式，并求出顶点的坐标； （2）连接，，求； （3）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）；顶点的坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把原点坐标代入中求出的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到点坐标； （2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求解； （3）设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【小问1详解】 解：把代入得， 抛物线解析式为， ， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 解，， ， ； 【小问3详解】 解：设点坐标为， ， ， 即或， 解方程得，， 点坐标为，或， 方程无实数解， 综上所述，点坐标为，或． 六、解答题（四）（本大题共1小题，每小题12分，共12分） 23. 已知是关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）证明：方程有一个根是定值； （3）若方程的两根为，，且满足，此时是否有解？若有，请求出的值；若无，请说明理由． 【答案】（1） 证明：由题可知， ， 方程有两个不相等的实数根． （2） 证明：由（1）知， ， 解得，， 方程有一个根是定值． （3） 无解．理由如下： ，， ， 整理得， 解得． 又， 无解． 【解析】 【分析】此题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）由，直接利用公式法解方程即可得到答案； （3）根据根与系数的关系得，，结合，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $