江西九江市同文中学2026-2027学年度上学期素养统一检测九年级数学试卷（10月）

九江市同文中学2026—2027学年度上学期素养统一检测 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷分数：120分 一、单选题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．如图1，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 3．如图2，在中，，，，，则的长是（ ） A． B．6 C．4 D．8 4．如图3，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A．10 B． C．9 D．8 6．如图4，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7．已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 8．如图5，延长正方形的边至，使，则__________． 9．2026年，一场集结江西省11座城市的赣超足球联赛火爆全网．九江市7月份作为主场城市在比赛期间接待游客数约8万人次，随着赣超热度席卷全国，到9月份九江市在主场比赛期间接待游客数已增长到约15万人次，求九江市平均每月主场比赛期间接待游客数的增长率．设九江市平均每月主场比赛接待游客数增长率为x，可列方程得__________． 10．如图6，直线与x轴，y轴分别交于，两点，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，则第一象限点的坐标为__________． 11．如图7是古希腊时期的巴台农神庙，将图7中的虚线画成如图8所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形∽矩形，则的值为__________． 12．若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“完美三角形”．如图9在直角坐标系中，正方形的两边、分别在坐标轴上，点的坐标是．在正方形的边上找一点，使得是边上的“完美三角形”，点的坐标为__________． 三、解答题：13至17题，每题6分，共30分． 13．解方程： （1）； （2）． 14．如图，，分别是，上的点，，相似比是． （1）若，求的长． （2）若，求的长． 15．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图①中作出的中线； （2）图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为1． 16．如图，在中，，为边上的中线，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 17．已知关于的方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 四、解答题：18至20题，每题8分，共24分． 18．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，，，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 19．暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． （1）求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． （2）该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元？ 20．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 五、解答题：每题9分，共18分． 21．如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，直线的图象过点，并且与轴交于点． （1）直接写出点的坐标及的值； （2）如图2，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动．过点作轴的垂线，分别交直线，于点，．设点运动的时间为，求当为何值时，是直角三角形？ 22．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡． （1）小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为分钟（为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含的代数式表示）千卡，分钟总消耗热量是__________（用含的代数式表示）千卡． （2）小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 六、大题：12分． 23．综合与实践：特例感知 如图1，已知正方形，为对角线上一点（），过点作交边于点，连接． （1）填空：__________，和的数量关系为__________，__________（填"是"或"不是"）等腰三角形： （2）类比迁移：如图2，已知菱形，为对角线上一点（），过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． （3）拓展探究：如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点（），点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $