精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区辽河中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

辽河中学2025－2026学年度第一学期九年级第三次质量监测 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的左视图是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图；根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为1列，进而得出答案即可． 【详解】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为1列， 故选：A． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现． 【详解】解：A：清明节不一定会下雨，A为随机事件，故A错误； B：古原上的野草乱生乱长，每年春来茂盛秋来枯黄，B为必然事件，故B错误； C：守株不一定能等来兔子，C为随机事件，故C正确； D：水中不能捞到月亮，故D为不可能事件，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查对于事件类型的判断．掌握各事件的定义即可． 4. 若六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正六边形的中心是，一边是，过作于，在直角中，根据三角函数即可求得边长，从而求出周长． 【详解】解：如图， 在中，，， ； 故选：C． 【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算． 5. 地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键，根据频率估计概率即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在左右， 可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为 故选：B 6. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，由于点F，得，推导出，可证明∽，则，所以，代入计算即可得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，E是边上一点，，，， ，， ， 于点F， ， ，， ， ∽， ， ， 故选：A． 7. 已知抛物线过点，当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称轴、对称性及开口方向与函数值符号的关系，解题的关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点． 先求抛物线的对称轴为，结合已知交点，利用对称性得另一个交点；再由知抛物线开口向上，从而确定时的取值范围． 【详解】解：抛物线的对称轴公式为， 代入得： 已知抛物线过点，且抛物线关于对称轴对称， 与轴的另一个交点到对称轴的距离和到的距离相等． 另一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的交点为和． ，抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴上方， ． 故选D 8. 如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键．由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，当时，解得：或，所以或． 【详解】解：设，与相交于点， 是正方形剪开得到的， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ， 整理得，，解得， 即移动的距离为或． 故选：D． 9. 如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A. 增长了1m B. 缩短了1m C. 增长了1.2m D. 缩短了1.2m 【答案】D 【解析】 【分析】由题意过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，证△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，得，解得BC=1.2（m），DE=2.4（m），即可解决问题． 【详解】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H， 则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH， ∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP， ∴， 即， 解得：BC=1.2，DE=2.4， ∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m）， 即此时小明影子的长度缩短了1.2m. 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键． 10. 如图，的边在x轴上，若过点A的反比例函数的图象经过边的中点D，且，则k的值是（ ） A. 12 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】过点、分别作的垂线，由反比例函数系数的几何意义，可以得到，进而得到，根据是平行四边形，，可得，由是的中点，可得出，设出点、的坐标，列方程求解即可． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 由图像可知：， 在中，， ∴， 是的中点， ∴， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，，， 在中，令，则， ∴，， 即，，，， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质．首先根据三角形中位线的性质可知，根据平行四边形的性质可知，根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证，根据等角对等边可得，从而可得． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 13. 由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为克的物品时，右盘中放置克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是_________克． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．根据动力动力臂阻力阻力臂，得，设该药品质量是克，据此由题意可列方程为，求解即可． 【详解】解：设该药品质量是克， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线，取格点，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使， ， 根据题意得：，，，， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，2为半径的上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，， ∴， 即长度的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解方程与计算： （1）； （2）； （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含三角函数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）先计算三角函数值，再算绝对值、负整数指数幂、二次根式，最后算加减，即可求解； （4）先算括号内的减法，再算除法，即可求解． 【小问1详解】 解： ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解： 或 ，； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 现有四张正面分别标有数字－1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀． （1）若从中随机抽取一张，则抽到正数的概率是______． （2）记下（1）中所抽到的数字后卡片不放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，谤用画树状图或列表的方法，求点在第一象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，点在第一象限（横坐标、纵坐标均为正数）的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）若从中随机抽取一张，则抽到正数的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果， 点在第一象限（横坐标、纵坐标均为正数）的结果有2种， ∴点在第一象限的概率为． 【点睛】本题考查的是用树状图求解概率以及点的坐标，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 【调查背景】 人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷调查． 【数据收集与整理】 测试得分采用得分制，得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且x为整数），共分为4组：A组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表． 被抽取学生的测试得分频数分布表 组别 频数 百分比 A 30 24 D 10 【数据分析与应用】 （1）___________，__________；扇形统计图中C组对应的圆心角度数为__________； （2）所抽取学生的测试得分的中位数在__________组； （3）若得分不少于4分记为“合格”．已知该校共有5000名学生，估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数． 【答案】（1）16；； （2）B （3）2125名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图，中位数和样本估计总体等，能从频数分布表及扇形统计图中获取正确信息，并能熟练求解加权平均数及样本估计总体是解题的关键． （1）根据四个组的总频数为80可求出m的值，再用C组的频数除以总人数为求出n的值，组对应的圆心角度数为所占百分比，即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）得分不少于4分记为“合格”所占百分比，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ∴组对应的圆心角度数为：； 【小问2详解】 解：把这80名学生的测试成绩按照从低到高排列，中位数为第40名和第41名的成绩的平均数， ∵， ∴中位数落在B组； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数为名． 19. 如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用正方形性质求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式即可； （2）设点的坐标为，再根据的面积恰好等于正方形的面积的，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：，，四边形为正方形， ， ， 把代入得：， ， 反比例函数解析式为； 把，代入一次函数得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或． 20. 太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元祐年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 太谷白塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】太谷白塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 太谷白塔的高度约为． 21. 如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ， 又， ，即， ∵为的半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1），连接，求出，由圆周角定理得到，再由平行线的性质得到，据此可证明结论； （2）连接，则可证明证明，推出，则，进而得到，，求出，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接如图所示， 为直径， ， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 22. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），2 （2） ，理由如下： 由（1）可知，，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【小问1详解】 解：（1）， ， ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 又， ， 又， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ， ，即， 故答案为：，2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ， ，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ，， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键． 23. 如图的题目中黑色区域是被污染后留下的痕迹，上面的文字已经无法辨认，导致题目中缺少一个条件而无法解答，经查询发现，该二次函数的解析式为． 已知二次函数的图像经过点和点B与y轴交于点C，求抛物线的解析式． （1）请根据已有的信息添上这个条件是________； （2）当时，函数的最大值是________，最小值是________； （3）若点D为抛物线上任意一点，连接． ①当时，求直线的解析式； ②若将抛物线向下平移3个单位得到新抛物线，其中平移后的点D对应点E．当时，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）①，②或 【解析】 【分析】（1）先解，得 ，得，即可得答案； （2）先求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质及，即可求答案； （3）①过点C作的垂线交的延长线于点E，过点E作轴于点F，先求出，求出点和，再设直线的解析式为，将将和坐标代入，计算即可得答案；②连接交x轴与点F，设点，求出，再先求出，得，解得，，即可得答案． 【小问1详解】 解： 解得：， ， 添上这个条件是； 【小问2详解】 ， 抛物线的顶点坐标是， ， 函数的最大值是， ， 函数的最小值是， 函数的最大值是，最小值是； 【小问3详解】 ①如图，过点C作的垂线交的延长线于点E，过点E作轴于点F， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将和坐标代入， 解得：， 直线的解析式； ②如图，连接交x轴与点F，设点， 过点E的抛物线是由过点D的抛物线向下平移3个单位长得到的， 平移后的抛物线为，且轴，， 则，，， ， ， ， ，而， ， ， ， 解得，， 当时，， 当时，， 点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，三角形全等判定和性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，二次函数的平移性质，数形结合做题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽河中学2025－2026学年度第一学期九年级第三次质量监测 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．则图乙模型的左视图是（ ） A.     B.     C.     D.     2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 4. 若六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5. 地面上铺满了正方形的地砖，现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线过点，当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　） A. 增长了1m B. 缩短了1m C. 增长了1.2m D. 缩短了1.2m 10. 如图，的边在x轴上，若过点A的反比例函数的图象经过边的中点D，且，则k的值是（ ） A. 12 B. 24 C. 28 D. 32 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 12. 如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为_______． 13. 由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为克的物品时，右盘中放置克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是_________克． 14. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则______． 15. 如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是______． 三、解答题（共75分） 16. 解方程与计算： （1）； （2）； （3） （4） 17. 现有四张正面分别标有数字－1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀． （1）若从中随机抽取一张，则抽到正数的概率是______． （2）记下（1）中所抽到的数字后卡片不放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，谤用画树状图或列表的方法，求点在第一象限的概率． 18. 【调查背景】 人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷调查． 【数据收集与整理】 测试得分采用得分制，得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且x为整数），共分为4组：A组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表． 被抽取学生的测试得分频数分布表 组别 频数 百分比 A 30 24 D 10 【数据分析与应用】 （1）___________，__________；扇形统计图中C组对应的圆心角度数为__________； （2）所抽取学生的测试得分的中位数在__________组； （3）若得分不少于4分记为“合格”．已知该校共有5000名学生，估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数． 19. 如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标． 20. 太谷白塔位于太谷区西南隅，建于北宋元祐年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，是我国八大白塔之一．某校综合与实践小组测量白塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 太谷白塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q．此时，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求太谷白塔的高度（结果精确到，参考数据：）． 21. 如图，在中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点 （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 23. 如图的题目中黑色区域是被污染后留下的痕迹，上面的文字已经无法辨认，导致题目中缺少一个条件而无法解答，经查询发现，该二次函数的解析式为． 已知二次函数的图像经过点和点B与y轴交于点C，求抛物线的解析式． （1）请根据已有的信息添上这个条件是________； （2）当时，函数的最大值是________，最小值是________； （3）若点D为抛物线上任意一点，连接． ①当时，求直线的解析式； ②若将抛物线向下平移3个单位得到新抛物线，其中平移后的点D对应点E．当时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $