精品解析：山东烟台市海阳英才实验学校（五四制）2026-2027学年七年级10月学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期月质量检测（一）初二数学 一、单选题 1. 氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 两根木棒的长分别为4cm和9cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形如果第三根木棒的长度为奇数，那么第三根木棒的长度的取值情况有( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 4. 用尺规作图，作边上的高正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 面积相等的两个三角形成轴对称； B. 两个等边三角形是全等图形； C. 关于某条直线对称的两个三角形全等； D. 成轴对称的两个三角形一定面积相等，且位于对称轴的两侧． 6. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 7. 时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A. B. C. D. 8. 某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 9. 如图，的边的垂直平分线相交于点O，点M，N在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（ ）对全等三角形． A. 196 B. 256 C. 325 D. 351 二、填空题 11. 小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是_______． 12. 如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个． 13. 已知、且平分，平分，且与互余，则________． 14. 如图，将长方形纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，其中．若，则的度数为___________． 15. 数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 16. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 三、解答题 17. 如图，在中，． （1）如图1，若，求∠BPC的度数； （2）如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 18. 已知的三边长是，，。 （1）若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； （2）化简． 19. 如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）． 20. 如图，是的角平分线，以为圆心，以长为半径画弧，与分别交于点，连接，且．求证：． 21. 如图，在中，，是的平分线，于在上，． （1）求证：； （2）若,求CE的长． 22. 已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B+∠ADE=180°. 求证：BC=DE. 23. 已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________； A． B． C． D． （2）求得的取值范围是___________； 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，，连接．请写出与的数是关系，并说明理由． 图1 图2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期月质量检测（一）初二数学 一、单选题 1. 氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.该选项不是轴对称图形； B. 该选项不是轴对称图形； C. 该选项是轴对称图形； D. 该选项不是轴对称图形． 2. 两根木棒的长分别为4cm和9cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形如果第三根木棒的长度为奇数，那么第三根木棒的长度的取值情况有( ) A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再解不等式，求出第三边得取值范围，找出符合条件的数即可． 【详解】设第三根木棒的长为，根据三角形的三边关系可得： ， 解得：， 长度为奇数的有：7，9，11三种 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定以及三角形三边关系，逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意． 4. 用尺规作图，作边上的高正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的高线的作法进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是过点作的垂线，故A选项不符合题意； B．是边上的高正确作法，故B选项符合题意； C．是过点作的垂线，故C选项不符合题意； D．是过点A作的垂线，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 面积相等的两个三角形成轴对称； B. 两个等边三角形是全等图形； C. 关于某条直线对称的两个三角形全等； D. 成轴对称的两个三角形一定面积相等，且位于对称轴的两侧． 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和全等图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：面积相等的两个三角形不一定成轴对称，故A选项错误，不合题意； 两个等边三角形的边长不一定相等，因此不一定是全等图形，故B选项错误，不合题意； 关于某条直线对称的两个三角形一定全等，故C选项正确，符合题意； 成轴对称的两个三角形一定面积相等，但不一定位于对称轴的两侧，对称轴可能在这两个三角形中间，故D选项错误，不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质与运用、全等图形的识别，熟练掌握轴对称的定义与性质是解题的关键． 6. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用题中所给的条件，将面积进行转化是解此题的关键． 7. 时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 8. 某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 9. 如图，的边的垂直平分线相交于点O，点M，N在边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质定理得，进而得出，再根据三角形内角和定理得，然后求出，最后根据求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（ ）对全等三角形． A. 196 B. 256 C. 325 D. 351 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 二、填空题 11. 小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：小江书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形， 他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 12. 如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个． 【答案】4 【解析】 【详解】如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画出4个 故答案为：4 【点睛】考点：作图题． 13. 已知、且平分，平分，且与互余，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．设，，，，利用三角形内角和定理列式计算得到，再利用三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 设，，，， ∴，， 两式相加得， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将长方形纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，其中．若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】与交于点F，推导出，再由折叠，可推导出，继而根据三角形的外角进行计算即可． 【详解】解：如图，与交于点F， ∵四边形ABCD是长方形， ∴，， ∴， 由折叠，得，， ∴，， ∴， ∴， 即． 15. 数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误； ②若第3轮甲添加， 如图，当，时，以B为圆心，为半径画弧，与射线相交于点C， ， 此时交点C是唯一的， 故甲添加时，与全等， 故乙获胜，故本说法不正确； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本说法正确； ④若第2轮乙添加条件修改为， 第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等， 第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜； 乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜， 此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确． 故答案为：③④ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 16. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17. 如图，在中，． （1）如图1，若，求∠BPC的度数； （2）如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）．理由如下： ， ， ，， ， 即， ． 【解析】 【分析】（1）根据及，可证明，再根据三角形内角和定理，即可求得答案； （2）根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 18. 已知的三边长是，，。 （1）若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； （2）化简． 【答案】（1）4； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：的三边长是，，， ，即， 三角形的周长是小于16的偶数， 即， ； 【小问2详解】 解：由三角形三边关系得：， ，， ． 19. 如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）． 【答案】 【解析】 【分析】做斜边的高先分为两个直角三角形,再在其中的一个上重复以上操作即可解决,也可以先分成一个直角三角形和一个非直角三角形,再在非直角三角形上作高即可. 【详解】剪法一：先做斜边上的高，分为两个直角三角形，再做其中一个直角三角形斜边上的高即可； 剪法二：先做斜边上的高，分为两个直角三角形，再做另一个直角三角形斜边上的高即可（区别剪法一的直角三角形）； 剪法三：先分成一个直角三角形和一个非直角三角形,再在非直角三角形上作高即可. 【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力.对于此类问题,学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现. 20. 如图，是的角平分线，以为圆心，以长为半径画弧，与分别交于点，连接，且．求证：． 【答案】 证明：∵是的角平分线， ∴ ∵以为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点、 ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，角平分线的定义，基本作图等．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先利用证明，得出，则，然后利用证明即可． 【详解】略． 21. 如图，在中，，是的平分线，于在上，． （1）求证：； （2）若,求CE的长． 【答案】（1） 证明：∵，，是的平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴（HL） ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线的性质证得，，，再证得（）即可； （2）设出，利用，列出方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及直角三角形全等的判定和性质，角平分线性质的运用是解题的关键． 22. 已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B+∠ADE=180°. 求证：BC=DE. 【答案】 证明：∵AB∥EC， ∴∠A=∠DCE， ∵∠B+∠ADE=180°， 又∵∠ADE+∠EDC=180°， ∴∠B=∠EDC， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE(AAS)， ∴BC=DE. 【解析】 【详解】试题分析：由AB与EC平行，得到一对内错角相等，利用同角的补角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABC与三角形CDE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证． 试题解析：略． 23. 已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________； A． B． C． D． （2）求得的取值范围是___________； 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，，连接．请写出与的数是关系，并说明理由． 图1 图2 【答案】（1）B； （2）； （3）解：，理由如下： 如图2，延长至，使，连接，则， 图2 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了判定三角形全等与求三角形第三边的取值范围，解题的关键熟知判定定理与法则． （1）根据两个三角形对应的两边及其夹角相等来判断三角形全等，即． （2）根据“三角形任意一边小于其它两边之而大于其它两边的之差”即可求解． （3）如图2，延长至，使，连接，则，容易证明，则，则，再由圆周角为及三角形内角和定理可推得，于是可证，于是，因此． 【详解】（1）∵ ∴ 故选：B． （2）在中， ∵ ∴ 即：； 故答案为： （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $