专题3.2 函数单调性与最值【10大题型+专题训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册重难点题型精讲精练系列

专题3.2 函数单调性与最值-重难点题型精练 题型01 函数单调性的证明 题型02 求函数单调区间 题型03 复合函数单调区间 题型04 根据函数图象判断单调性 题型05 利用函数的单调性求参数的取值范围 题型06 利用函数的单调性比较大小 题型07 利用函数的单调性解不等式 题型08 求函数的最值 题型09 利用函数的最值求参数 题型10 函数不等式恒成立、能成立问题 题型01 函数单调性的证明 1．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)4 (2) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 证明如下： ，，且， 有. 由，，得，，所以， 又由，得，所以. 若，则，所以， 即，所以在上单调递增； 若，当，时，，所以， 即，所以在上单调递减； 当，时，，即， 即，所以在上单调递增. 故当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）由基本不等式，求出函数最小值； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此的最小值为4. （2）略 2．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数,证明略. 3．（25-26高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【答案】证明：设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【详解】略 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)11； (2)由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. (3)最大值和最小值分别为38和11. 【分析】（1）由计算出的值并求出函数解析式，进而求出的值； （2）由（1）的函数，利用减函数的定义推理得证. （3）由（2）可得在指定区间上的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）略 （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 题型02 求函数单调区间 5．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的单调递增区间. 【答案】单调递增区间是和. 【分析】去掉绝对值化为分段函数，作出图象，结合图象读出单调递增区间. 【详解】当时，； 当时，，即 其图象如图所示，由图象得单调递增区间为和. 6．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为______． 【答案】, 【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间. 【详解】， 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递增区间为和． 故答案为：，． 7．（25-26高一上·广西来宾·期中）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 8．（25-26高一上·河南新乡·阶段检测）函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【详解】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 题型03 复合函数单调区间 9．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）函数的单调增区间是____________． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，再根据复合函数单调性的判断方法求解出的单调递减区间. 【详解】由可得，所以函数的定义域为， 令，利用复合函数单调性判断方法来分析的单调性，如下表： 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 由表知，的单调递减区间为． 故选：C． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来判断出正确答案. 【详解】函数的定义域为． ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增． 又在上也为增函数，从而在上是增函数． 故答案为： 题型04 根据函数图象判断单调性 13．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 14．（25-26高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，即可得出函数的单调性，说明A、B、D项；结合具体点的大小，即可说明C项. 【详解】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确； 对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 但是，所以函数在区间上不是单调递减的， 故C项错误； 对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减， 所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确. 故选：ABD. 15．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，在上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】因得，可化简各函数解析式，转化为基本初等函数的单调性判断. 【详解】在A中，当时，在上为减函数； 在B中，当时，在上是增函数； 在C中，当时，在上是增函数； 在D中，当时，在上为增函数. 故选：BCD. 题型05 利用函数的单调性求参数的取值范围 17．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 18．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 19．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 20．（25-26高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 题型06 利用函数的单调性比较大小 21．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用函数单调性定义求解. 【详解】A中，，故，A正确； B中，，故，B错误； C中，，故，C错误； D中，，故，D错误； 22．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 23．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 24．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 题型07 利用函数的单调性解不等式 25．（26-27高一上·福建·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解. 【详解】根据可得，可转化为， 又， 所以，即， 因为是定义在上的增函数，所以只需满足 ，解得：， 所以不等式的解集为. 26．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 【答案】(1)令， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. (2)（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）令，代入即可解出的值．利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可． （2）（ⅰ）依题意得，，由累加法，即可求解； （ⅱ）由题意转化条件为，利用单调性等价变形为，解出即可． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）令，得， 由得，， 则 ． （ⅱ）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 【答案】 【分析】结合函数定义域与减函数性质列不等式组，取交集即可. 【详解】∵ 是定义在上的减函数，且， ∴，解得. ∴的取值范围是. 28．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 题型08 求函数的最值 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 30．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 31．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式代入，化简得到，则需满足即可求的取值范围；（2）去掉绝对值把函数写成分段二次函数，分别求出两段的对称轴，依据正负判断对称轴是否落在对应定义域，求出每一段的局部最小值，再比较两段得到整个函数的最小值。 【详解】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. 32．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的值域为_________ 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 题型09 利用函数的最值求参数 33．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数存在最大值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：， 当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：，由于，此时无解， 综上：a的取值范围是 34．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先按、、分类讨论. 时无最小值；时有最小值；时需满足一定的条件，再分与 讨论，综合得的取值范围. 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 35．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，分、和三种情况讨论，结合的单调性和图象列式求解即可. 【详解】因为，且， 当时，则在单调递增， 可得，则； 当时，则在单调递增，在单调递减， 可得，则； 当时，因为， （i）当时，可得，则； （ii）当时，可得，则； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：. 36．（2026高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【分析】对二次项系数分类讨论并结合二次函数的性质建立方程，进而求解参数即可. 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 题型10 函数不等式恒成立、能成立问题 37．（26-27高一上·辽宁·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 因恒成立，则 ， 故实数的取值范围是. 38．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】或或 【分析】由恒成立求出，只需成立，记，，看成关于的函数，最后转化为，得到关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，所以，所以，当时，，所以， ，，不等式恒成立，等价于时，，对恒成立， 即在上恒成立， 记， 所以只需，即，解得或或． 39．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 【答案】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 40．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 1．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 2．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 3．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）下列四个命题，其中为真命题的是（   ） A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B．和表示同一函数 C．函数的单调增区间为 D．若函数的值域是，则实数或 【答案】D 【分析】对A，取进行说明，即判断正误；对B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对C，直接求出的增区间，即可判断正误；对D，利用二次函数的性质，结合条件得. 【详解】对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数， 但在上不具有单调性，即不是增函数，所以A错误， 对于B，因为的值域为，的值域为，所以和不表示同一函数，故B错误， 对于C，因为， 当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的单调增区间为，，故C错误， 对于D，函数的值域是，又的对称轴为，图象开口向上， 则，解得或，所以D正确， 故选：D. 4．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 5．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 6．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数分类讨论，再由二次函数单调性和符号得出对应区间内的不等关系，解不等式即可. 【详解】显然, 依题意可知当时，若，则，若，则， 因此对于任意，函数恒成立， 此时由可知开口向下，因此不符合题意； 当时，若，则，若，则， 因此对于任意，函数恒成立， 此时开口向上，对称轴为， 若，对称轴， 函数在区间上单调递减，故其最小值为，符合题意， 若，可知对称轴，此时需满足, 可得； 综上可知; 所以实数的取值范围是. 故选：B 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 9．（26-27高一上·浙江·期中）（多选）已知函数的定义域为，，当时，，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A、B：根据题意直接赋值运算求解；对于C：根据题意结合单调性的定义分析证明；对于D：根据题意结合函数单调性分析运算. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以，故B错误； 对于C，令，，可得，即， 设，则，可得， 则，即， 故函数在内单调递增，故C正确； 对于D，函数在内单调递增， 故当时，，故D正确. 10．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．若，则最小值为2 B．若，则的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】应用基本不等式求最值，注意取值条件判断A、C、D，由对勾函数的性质确定的最值判断B. 【详解】对于选项A，由，则，此时，当且仅当时取等号， 命题“若，则最小值为”为真命题； 对于选项B：由，则，故在上单调递增， 所以， 命题“若，则的最小值为”为假命题； 对于选项C：由，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为， 命题“的最大值为”为真命题； 对于选项D，由，则， 当且仅当，即时取等号， 命题“的最小值为6”为真命题. 11．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）（多选）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 12．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由题设可得在上为减函数，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】对任意的实数，都有， 则在上为减函数， 可得： ，解得， 则实数的取值范围为. 13．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由二次函数的图象的性质可得的取值范围． 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 14．（26-27高一上·江西·阶段检测）已知函数，．若对任意，记函数的最小值为，则的最小值为___________． 【答案】-4 【分析】由配方法得函数的图象的对称轴，讨论与的关系，分析函数在上的单调性，求得函数的最小值，分析的单调性，即可求得其最小值. 【详解】函数， 当，即时， 函数在上单调递增， 所以对任意，函数的最小值为. 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增. 所以对任意，函数的最小值为. 当，即时， 函数在上单调递减， 所以对任意，函数的最小值为. 综上所述，函数的最小值为. 易知当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为. 15．（26-27高一上·广东·期中）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【答案】(1)证明：因为， 令，则， 所以． (2)． 【分析】（1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以可化为. 又函数在区间上单调递增， 所以，解得. 所以不等式的解集为． 16．（26-27高一上·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)2 (3)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案． （2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值． （3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集． 【详解】（1）当时，不等式为，即，解得， 则不等式的解集为. （2）因为，所以开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以的最小值为2． （3）由，则，即， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数单调性与最值-重难点题型精练 题型01 函数单调性的证明 题型02 求函数单调区间 题型03 复合函数单调区间 题型04 根据函数图象判断单调性 题型05 利用函数的单调性求参数的取值范围 题型06 利用函数的单调性比较大小 题型07 利用函数的单调性解不等式 题型08 求函数的最值 题型09 利用函数的最值求参数 题型10 函数不等式恒成立、能成立问题 题型01 函数单调性的证明 1．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知函数，其中且. (1)当时，求的最小值； (2)判断的单调性，并用定义证明. 2．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 3．（25-26高一上·天津和平·期中）用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 题型02 求函数单调区间 5．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的单调递增区间. 6．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为______． 7．（25-26高一上·广西来宾·期中）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河南新乡·阶段检测）函数的单调递增区间为__________. 题型03 复合函数单调区间 9．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）函数的单调增区间是____________． 10．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是______． 题型04 根据函数图象判断单调性 13．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 14．（25-26高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 15．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中，在上为增函数的是（　　） A． B． C． D． 题型05 利用函数的单调性求参数的取值范围 17．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 19．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 20．（25-26高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 利用函数的单调性比较大小 21．（26-27高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数是的减函数，则下列各大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 题型07 利用函数的单调性解不等式 25．（26-27高一上·福建·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 26．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 27．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的减函数，且，求的取值范围. 28．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型08 求函数的最值 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 30．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 31．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 32．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的值域为_________ 题型09 利用函数的最值求参数 33．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数存在最大值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 35．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数．若存在正实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为___________． 36．（2026高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 题型10 函数不等式恒成立、能成立问题 37．（26-27高一上·辽宁·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是___________. 38．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____. 39．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 40．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 1．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）下列四个命题，其中为真命题的是（   ） A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数 B．和表示同一函数 C．函数的单调增区间为 D．若函数的值域是，则实数或 4．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·浙江·期中）（多选）已知函数的定义域为，，当时，，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 10．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．若，则最小值为2 B．若，则的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为6 11．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）（多选）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 13．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 14．（26-27高一上·江西·阶段检测）已知函数，．若对任意，记函数的最小值为，则的最小值为___________． 15．（26-27高一上·广东·期中）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 16．（26-27高一上·广西·期中）已知二次函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若在区间上单调递增，求的最小值； (3)求关于的不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $