微专题 函数的最值与值域8大题型（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

微专题 函数的最值与值域 【题型1 观察法 】 规律与方法 看到平方、根号、指数等，想到观察法。 1．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）集合，，那么（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 图象法 】 规律与方法 1.作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域。 2.分段函数求最值（值域）：图象法 1.（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 2.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·广东期末）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【题型3 函数单调性法 】 规律与方法 如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 熟悉常见的函数的单调性：一次、二次、反比例函数、对勾函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 1.（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 2.（25-26高一·全国·单元测试）设函数，，若都成立，则实数的取值范围是________． 3.（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型4 二次函数的最值（不含参） 】 规律与方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，结合图象及自变量的取值范围。 1.（25-26高一·吉林 ·阶段检测）已知二次函数满足，若在区间上恒成立，则实数的范围是（    ） A．m<-5 B．m>-5 C．m<11 D．m>11 2.（25-26高三上·江苏常州·开学考试）已知二次函数满足，且，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为___________. 3.（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的最小值为______． 【题型5 二次函数的最值（含参） 】 规律与方法 先看二次项系数和对称轴，一般分3到4类 1.动轴定区间。2.定轴动区间。 1.已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 3. （25-26高一上·江苏 ·阶段检测）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是_________. 【题型6 双重最值问题 】 规律与方法 1.设参不等式法 2.图象法 3.分类讨论 1.（25-26高一上·山东 ·期末）已知，设，则函数的最小值是（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 2．（25-26高一上·上海·单元测试）对，记，函数________，其的最小值是________． 3.（25-26高一上·福建·期中）定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【题型7 双变量最值问题 】 规律与方法 函数中的“任意”与“存在”性问题 （1）对于任意的x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )max ≤ g (x2 )max ； （2）对于任意的x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )min ≥ g (x2 )min ； （3）若存在x1 ∈ [a, b]，对于任意的x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )min ≤ g (x2 )min ； （4）若存在x1 ∈ [a, b]，对于任意的x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )max ≥ g (x2 )max ； （5）对于任意的x1 ∈ [a, b] ，x2 ∈ [m, n] 使得f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )max ≤ g (x2 )min ； （6）对于任意的x1 ∈ [a, b] ，x2 ∈ [m, n] 使得f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )min ≥ g (x2 )max ； （7）若存在x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )min ≤ g (x2 )max （8）若存在x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )max ≥ g (x2 )min （9）若∀x1 ∈ [a, b] ， 彐x2 ∈ [c, d ] ，有 f (x1 ) = g (x2 ) 成立，则f (x) 的值域是g (x) 的值域的子集. 1. （25-26高一·全国·单元测试）已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______． 2.（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）已知函数． (1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减； (2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 2. （25-26高一·全国·单元测试）已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______. 4.（25-26高一下·浙江衢州·阶段检测）已知函数，，. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若，唯一的，使得，求实数的取值范围. 【题型8 同构问题 】 规律与方法 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 1.（25-26高二下·河南·期末）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围． 3.（多选 25-26高一上·重庆 ·阶段检测）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（   ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 函数的最值与值域 【题型1 观察法 】 规律与方法 看到平方、根号、指数等，想到观察法。 1．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案. 【详解】对于A,由于,所以,所以的值域为,不合题意; 对于B,的值域为,不合题意; 对于C,由于,所以的值域为,符合题意; 对于D,由于,所以 ,此函数的值域为,不符合题意. 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）集合，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、公式法解绝对值不等式 【详解】由，则可以取，由， 得，解得，所以. 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】具体函数的定义域、交集的概念及运算、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】求解函数的定义域与值域得集合，再求交集即可. 【详解】由题知集合分别表示函数的定义域与值域， 所以，， 所以 【题型2 图象法 】 规律与方法 1.作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域。 2.分段函数求最值（值域）：图象法 1.（25-26高一上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 2.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 3.（25-26高一下·广东期末）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、分段函数的值域或最值 【分析】去绝对值将转化为分段函数，求出其最大值，即可. 【详解】因为，不等式恒成立，则， ， 作出函数的图象如图： 由图知：的最大值为， 所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【题型3 函数单调性法 】 规律与方法 如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 熟悉常见的函数的单调性：一次、二次、反比例函数、对勾函数在区间和上单调递减，在和上单调递增， 1.（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 2.（25-26高一·全国·单元测试）设函数，，若都成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】将不等式整理为；当时可知；当时，可整理得到，又，可得；综合两种情况可得结果. 【详解】由得：，即， 当时，若，则； 当时，，，，； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 3.（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据解析式和函数定义域，可由定义法先求出函数的单调性，再根据单调性求出函数值域. 【详解】由题意得，设，且， 则 ， 因为，所以， 又因为， 若， 则，此时， 所以在上为减函数； 若， 则，此时， 所以在上为增函数； 综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为， 所以， 所以函数，的值域为， 故答案选：B. 【题型4 二次函数的最值（不含参） 】 规律与方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，结合图象及自变量的取值范围。 1.（25-26高一·吉林 ·阶段检测）已知二次函数满足，若在区间上恒成立，则实数的范围是（    ） A．m<-5 B．m>-5 C．m<11 D．m>11 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、求二次函数的解析式 【分析】利用换元法求得，再将在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立求解. 【详解】令，则， 所以， 则， 因为在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 令，所以，所以，故选：A 2.（25-26高三上·江苏常州·开学考试）已知二次函数满足，且，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、求二次函数的解析式 【分析】设，根据已知条件求出、、的值，可得出函数的解析式，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为为二次函数，设，由，可得， 又， 所以，解得，则， 因为不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 令，，则在上单调递减， 所以，当时，，. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3.（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】令，则原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】因为，，则， 所以，， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是. 【题型5 二次函数的最值（含参） 】 规律与方法 先看二次项系数和对称轴，一般分3到4类 1.动轴定区间。2.定轴动区间。 1.已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、求二次函数的值域或最值 【分析】由题设在上递增，在上递减，讨论m与区间的位置关系求的最大值，进而判断最大值的最小值. 【详解】由，故在上递增，在上递减， 当，则上递减，故最大值， 当，则最大值， 当，则上递增，故最大值， 综上，的最小值为. 故选：C 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 3.（25-26高一上·江苏 ·阶段检测）若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出． 【详解】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 【题型6 双重最值问题 】 规律与方法 1.设参不等式法 2.图象法 3.分类讨论 1.（25-26高一上·山东 ·期末）已知，设，则函数的最小值是（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的最小值问题，然后根据函数的单调性求解． 【详解】由，即，解得或； 由，即，解得. 由题意， 则在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故函数的最小值是． 故选：A． 2．（25-26高一上·上海·单元测试）对，记，函数________，其的最小值是________． 【答案】 0 【难度】0.65 【知识点】分段函数的值域或最值 【分析】首先求函数的解析式，再画出函数的图象，求函数的最小值. 【详解】当，当时，，，即，当时等号成立， 当时，，解得：或，即 当时，， 如图所示为函数图像， 函数表示上述两个函数值中最大者， 题目要求为两个最大者中较小的那个，． 故答案为：； 3.（25-26高一上·福建·期中）定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______． 【答案】 3 【难度】0.4 【知识点】分段函数的值域或最值、画出具体函数图象、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 【题型7 双变量最值问题 】 规律与方法 函数中的“任意”与“存在”性问题 （1）对于任意的x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )max ≤ g (x2 )max ； （2）对于任意的x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )min ≥ g (x2 )min ； （3）若存在x1 ∈ [a, b]，对于任意的x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )min ≤ g (x2 )min ； （4）若存在x1 ∈ [a, b]，对于任意的x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )max ≥ g (x2 )max ； （5）对于任意的x1 ∈ [a, b] ，x2 ∈ [m, n] 使得f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )max ≤ g (x2 )min ； （6）对于任意的x1 ∈ [a, b] ，x2 ∈ [m, n] 使得f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )min ≥ g (x2 )max ； （7）若存在x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≤ g (x2 ) f (x1 )min ≤ g (x2 )max （8）若存在x1 ∈ [a, b]，总存在x2 ∈ [m, n]，使得 f (x1 ) ≥ g (x2 ) f (x1 )max ≥ g (x2 )min （9）若∀x1 ∈ [a, b] ， 彐x2 ∈ [c, d ] ，有 f (x1 ) = g (x2 ) 成立，则f (x) 的值域是g (x) 的值域的子集. 1.（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，则若，使不等式成立等价于在，上有， 易知，讨论与0的大小关系，则可得到在上的单调性，则可得到，即可解出实数的取值范围. 【详解】令，则问题可转化为在，上有， 易知在上单调递增，故， ①当时，在上单调递增，则， 所以，可得； ②当时，则，符合题意； ③当时，在上单调递减，则， 所以，可得． 综上所述，． 故答案为：. 2.（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）已知函数． (1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减； (2)若对，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据单调性的定义可证明在区间上单调递减； （2）根据（1）中函数的单调性可求函数的最值，从而可求实数的取值范围． 【详解】【答案】(1) 设，则， 因为，故即， 故，故，故在区间上单调递减. (2) （2）下证：在区间上单调递增. 设，则， 因为，故即， 故，故，故在区间上单调递增. 由（1）可得在区间上单调递减. 故在区间上，，因， 故，故. 故实数的取值范围为. 3.（25-26高一·全国·单元测试）已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】依题意可得存在，使得，即在上有解，即在上有解，再根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得. 【详解】解：依题意显然， 因为对任意，总存在，使得， 所以存在，使得， 故在上有解，即在上有解. 设，其图象的对称轴为， 若，即，则此时，故不成立； 若，即，此时需在上，即， 故，解得. 故答案为： 4.（25-26高一下·浙江衢州·阶段检测）已知函数，，. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）若，唯一的，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）和；（2）. 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、求函数的单调区间 【分析】（1）分类和去绝对值符号得分段函数，结合二次函数性质可得增区间； （2）设在上值域，对任意，直线与函数的图象在上只有一个交点．令，把转化为，，，的值域是， 时，无解，在时，在上单调递增，，根据二次函数性质确定出后可得结论． 【详解】解：（1）由题意， 即， 因此增区间为和； （2）， 设在上的值域为，则对，直线与函数的图象在上有1个交点， 令，，， ，，时，， ①当时，， ，需，即，无解； ②当时，，，由勾形函数性质知时，在上递增， （i）当时，，， ，需，即，得， ∴； （ii）当时，，， ，需，即，得， ∴； ③当时，， ，同（ii）得，∴； ④当时，， ，在上单调递增， 需，即，得，∴； 综上得∴. 【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值函数的单调性，考查函数恒(能)成立问题．对函数恒(能)成立问题，要注意任意与存在的不同，象本题，任意，存在，使得，记值域是，值域是，则有．本题解题关键是利用二次函数性质分类讨论确定分段函数的值域． 【题型8 同构问题 】 规律与方法 与函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 1.（25-26高二下·河南·期末）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性求参数值 【分析】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案. 【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令， 则恒成立，所以函数在上单调递减. 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，要使在上单调递减， 则解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：D. 2.（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、分段函数的单调性 【分析】（1）先化简的解析式，依据二次函数单调性即可求得的单调区间； （2）构造新函数，将题给条件转化为在上单调递增，按a分类讨论即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）当时， 则 又图像开口向上，对称轴为，单调递增， 的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）对任意的，且，都有成立 不妨令，则恒成立， 即恒成立， 令，， 则当，时，， 故在上单调递增， 又 当时， 图像开口向上，对称轴为 ①若，即时， 当时，在上单调递增， 符合题意； ②若，即时， 当时，在上单调递增， 符合题意； ③若，即时， （1）若，即时， 当时，， 在单调递减，在单调递增，不符合题意； （2）若，即时， 当即时， 在上单调递增，此时． 综上所述：实数的取值范围为 【点睛】思路点睛：与分段函数有关的函数的单调性，应分别讨论各段的单调性，如果涉及到二次函数的单调性，则需讨论对称轴与范围端点之间的大小关系. 3.（多选 25-26高一上·重庆 ·阶段检测）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（   ） A． B．函数在区间为增函数 C．函数在区间为增函数 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用赋值法令，即可判断选项A；不妨设，设，利用定义证明其单调性即可判断选项B；设，利用定义即可判断选项C；由函数在为增函数，所以，，结合证明，即可判断选项D. 【详解】依题意，当时，恒有， 令则， 即，所以，故A正确； 不妨设，设， 则， 因为，所以， 所以， 所以在为增函数，故B正确； 设，的符号无法判断， 所以的单调性无法判断，故C错误； 由上述判断可知，函数在为增函数， 所以，所以， 所以， 同理，所以， 所以， 所以，故D正确； 故选：ABD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $