专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 重难点题型精练【10大题型+专题训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精练 题型01 不含参一元二次不等式的解法 题型02 分式不等式的解法 题型03 绝对值不等式的解法 题型04 含参数的一元二次不等式的解法 题型05 利用一元二次不等式的解确定参数 题型06 一元二次方程根的分布问题 题型07 三个“二次”关系的应用 题型08 一元二次不等式恒成立问题 题型09 一元二次不等式有解问题 题型10 一元二次不等式的实际应用 题型01 不含参一元二次不等式的解法 1．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，解得，， 又， 所以. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 4．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，所以. 题型02 分式不等式的解法 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】将不等式移项通分：， 两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且， 解得或. 所以原不等式的解集为或. 6．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）移项后得到，然后转化为整式不等式求解即可； （2）移项后得到，因式分解后，转化为整式不等式，最后利用数轴穿根法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即0，解得或， 所以不等式解集为或. （2）原不等式等价于     由数轴穿根法可知原不等式解集为； 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）解不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为，即 等价于或，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）因为，可得，即， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 8．（26-27高三上·贵州·开学考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解一元二次不等式得集合，求解分式不等式结合整数条件得集合，再计算两集合的交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，因为，所以或或， 所以，所以. 题型03 绝对值不等式的解法 9．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）解下列方程或不等式 (1)； (2)解不等式：； (3)解不等式：； 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】利用绝对值的定义去绝对值，然后按照一元一次方程（不等式）的解法进行求解即可. 【详解】（1）由已知可得 或 解得或． （2）由绝对值不等式的性质可得 ，解得. （3）当时，，解得. 当时，,不符合题意，舍去. 当时，,解得. 综上所述，不等式的解为或 10．（25-26高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 【答案】 【分析】就、、分类讨论后可得x的取值范围. 【详解】当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 当时，等号成立即为，故； 综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是. 故答案为：. 11．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）原不等式等价于，由一元二次不等式解法求解即可； （2）去绝对值，分，两种情况求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 因为，当且仅当时等号成立， 所以不等式等价于，解得， 所以不等式解集为； （2）当时，，所以原不等式可化为， 解得，此时不等式解为； 当时，，所以原不等式可化为， 解得，此时不等式解为； 综上，不等式解集为. 12．（26-27高一上·四川遂宁·开学考试）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 题型04 含参数的一元二次不等式的解法 13．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)解关于的不等式 【答案】(1) (2)或 (3) 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 【分析】（1）根据一元二次不等式解法即可求得结果； （2）利用绝对值不等式解法计算即可； （3）根据参数不等式的解法对参数进行分类讨论即可求出对应不等式的解集. 【详解】（1）由可得， 方程对应的两根为或； 所以不等式的解集为 （2）易知等价于或； 解得或， 因此该不等式的解集为或； （3）易知即为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 14．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）（1） 解不等式； （2） 解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 【分析】（1）直接解出不等式即可； （2）利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案． 【详解】（1），即，解得， 则解集为. （2）由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或． 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 15．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 【分析】（1）解法1：移项、通分、等价转化为一元二次不等式（组），解得即可；解法2：分和两种情况讨论，分别得到一元一次不等式（组），解得即可； （2）依题意可得，再分、两大类讨论，当时求出所对应方程的根，再分类讨论. 【详解】（1）解法1：不等式，即，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为； 解法2：不等式，则或， 解得或， 所以不等式的解集为； （2）关于的不等式，即， 当时，原不等式即，解得，此时不等式的解集为； 当时，关于的方程的两个根分别为和， ①当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ②当时，不等式无解，即原不等式的解集为； ③当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ④当时，解不等式得或，即原不等式的解集为. 综上可得：当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 16．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）解下列含参数a的不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (2) 当时，不等式解集为R； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，此时不等式解集为． 【分析】（1）根据的符号及根的大小关系分类讨论求解； （2）由的符号及根的情况分类讨论可得不等式解. 【详解】（1）当时，不等式的解集为． 当时，不等式化为（*）. 当时，，，上述不等式的解集为； 当时，上述（*）不等式化为，因此不等式的解集为； 当时，，，上述（*）不等式的解集为； 当时，，， 上述（*）不等式化为，解得， 因此不等式的解集为． 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）①当时，不等式为，解得，则此时解集为， ②当时，令，， （ⅰ）若，即时，此时不等式解集为， （ⅱ）若，即时，， 解得， 则此时不等式解集为． ③当时，（ⅰ）若，即时，此时不等式解集为R． （ⅱ）若，即时，此时不等式为， 解集为． （ⅲ）若，即时， 则不等式解集为． 综上所述，当时，不等式解集为R； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，此时不等式解集为． 题型05 利用一元二次不等式的解确定参数 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 18．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，由不等式的解集可得, 令，得，得或， 由不等式的解集可得、是方程的解， 所以，所以. 19．（25-26高一上·江苏连云港·期末）（多选）已知关于的不等式，则下列集合可能是这个不等式解集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】当时，成立，即可判断C、A，再根据一元二次不等式的解集列出符合题意的条件，即可判断B、D. 【详解】对于C，当时，，不等式成立， 因此解集至少含有，所以不等式的解集不可能为，故C错误； 对于A：因为，所以解集不可能是，故A错误； 对于B：当且时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集也为，故B正确； 对于D：若为不等式的解集， 则且，是一元二次方程的两个实数根， 由，解得，此时不等式为， 即，解集为，故D正确. 故选：BD 20．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 题型06 一元二次方程根的分布问题 21．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 22．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 23．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 24．（25-26高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 题型07 三个“二次”关系的应用 25．（25-26高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 26．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故A正确； 所以，所以，则，故B正确； 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 27．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】或 【分析】由不等式的解集可求出的值，代入不等式求解即可. 【详解】依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 28．（25-26高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 题型08 一元二次不等式恒成立问题 29．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 30．（25-26高一上·福建福州·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解，注意讨论的情况. 【详解】当时，不等式即恒成立，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：A 31．（25-26高一上·福建福州·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___. 【答案】 【分析】利用参变量分离法可知对任意的恒成立，结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】因为命题“，”是真命题，则，， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 32．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的性质将问题转化为恒成立问题，再结合分离参数法求解参数即可. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 题型09 一元二次不等式有解问题 33．（2026高一·全国·专题练习）设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】因为：，使得不等式成立为真命题， 当时，不等式化为，为假命题，不符合题意； 当时，函数开口向上， 则，使得不等式成立，为真命题，符合题意； 当时，需满足，解得. 综上所述，的取值范围为. 34．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）（1）已知，解关于x的不等式； （2）设命题p：，，若p为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当a＝－1时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； （2） 【分析】（1）根据与的大小关系分类讨论； （2）命题为真，一种方法用分离参数法转化为用基本不等式求最小值，第二种方法转化为求二次函数的最小值不大于0. 【详解】（1）①当时，不等式等价于，无解； ②当时，，则； ③当时，，则； 综上，当a＝－1时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； （2）法1：由已知，存在，满足成立， ，，可等价转化为存在，满足，即成立 记，，当且仅当取等号， ∴时，t的最小值为1，只需，便可满足p为真命题 综上，. 法2： 命题p等价转化为存在，满足成立 记，是开口向上的二次函数，对称轴 ①当，时，代入，恒成立，不合题意； ②当，时，只需，解得． 综上，. 35．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 36．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【详解】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 题型10 一元二次不等式的实际应用 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【答案】 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围． 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 38．（25-26高一上·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 【答案】 【分析】根据“附加税=年销售额×税率”的等量关系建立关于的不等式，结合实际意义求解一元二次不等式即可得到结果。 【详解】由题意： ，且年销售量为正，即，解得， 此时附加税， 由题意，解得：，满足， 即的取值范围是. 39．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 40．（25-26高一上·安徽黄山·阶段检测）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）设草坪的长为米，宽为米，根据面积得到关于的等量关系，再结合长比宽至少多米得到关于的不等式，由此求解出结果； （2）设整个绿化面积为平方米，根据图形列出的表达式，然后结合已知条件利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 1．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 2．（26-27高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【分析】根据题意，利用韦达定理，得到的关系，代入不等式，转化为不含参的一元二次不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解． 【详解】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知：方程的根为，且，结合韦达定理列式求解即可. 【详解】由题意可知，方程的根为，且， 则，解得， 所以. 故选：A. 5．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 6．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 8．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）一元二次不等式的解集可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】因式分解，分，，和，由一元二次不等式的解法求解． 【详解】不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 故选：BCD 10．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 11．（25-26高一上·福建·期中）（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 【答案】ABD 【分析】利用判别式和根与系数关系逐项判断即得. 【详解】对于A，因为，当时，有，方程有两实数根，故A正确； 对于B，当时，有，所以方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C，当时，方程变为，即无实数解，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，且，等价于， ，所以，得，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）“，”为真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，再利用基本不等式即得. 【详解】由，，可得， 令，则由题意知只需. 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以. 故答案为：. 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合存在性的性质进行求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． 故答案为： 14．（25-26高一上·上海·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【分析】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费，根据题意列不等式组，可得，运算求解即可. 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 15．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)； (3) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 【分析】（1）问题转化为恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式求参数； （2）参变分离得到，由基本不等式求出的最小值，得到答案； （3）因式分解得到，分，，，，，求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意，上恒成立， 显然时在上不恒成立， 所以，则， 综上，； （2）由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为； （3）当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，此时，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，此时，不等式解集为； 若，此时，不等式解集为或. 综上， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精练 题型01 不含参一元二次不等式的解法 题型02 分式不等式的解法 题型03 绝对值不等式的解法 题型04 含参数的一元二次不等式的解法 题型05 利用一元二次不等式的解确定参数 题型06 一元二次方程根的分布问题 题型07 三个“二次”关系的应用 题型08 一元二次不等式恒成立问题 题型09 一元二次不等式有解问题 题型10 一元二次不等式的实际应用 题型01 不含参一元二次不等式的解法 1．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 4．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 分式不等式的解法 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 6．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）解下列不等式（结果写成集合） (1) (2)； 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）解不等式： (1)； (2). 8．（26-27高三上·贵州·开学考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 绝对值不等式的解法 9．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）解下列方程或不等式 (1)； (2)解不等式：； (3)解不等式：； 10．（25-26高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是__________. 11．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) 12．（26-27高一上·四川遂宁·开学考试）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 题型04 含参数的一元二次不等式的解法 13．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)解关于的不等式 14．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）（1） 解不等式； （2） 解关于的不等式． 15．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式. 16．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）解下列含参数a的不等式： (1)． (2)． 题型05 利用一元二次不等式的解确定参数 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 18．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 19．（25-26高一上·江苏连云港·期末）（多选）已知关于的不等式，则下列集合可能是这个不等式解集的是（ ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 题型06 一元二次方程根的分布问题 21．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是______. 24．（25-26高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型07 三个“二次”关系的应用 25．（25-26高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 26．（25-26高三上·河南信阳·阶段检测）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 28．（25-26高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08 一元二次不等式恒成立问题 29．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·福建福州·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 31．（25-26高一上·福建福州·期中）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是___. 32．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型09 一元二次不等式有解问题 33．（2026高一·全国·专题练习）设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 34．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）（1）已知，解关于x的不等式； （2）设命题p：，，若p为真命题，求实数a的取值范围. 35．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 题型10 一元二次不等式的实际应用 37．（26-27高一上·全国·课堂例题）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 38．（25-26高一上·上海·阶段检测）某工厂生产的某种产品每件售价为80元，不加收附加税时，每年销量为100万件．若加收附加税，每销售100元要征收元（叫做税率），则每年销售量要减少万件，要使每年的附加税不少于128万元，确定的取值范围． 39．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 40．（25-26高一上·安徽黄山·阶段检测）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 1．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（26-27高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 6．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）一元二次不等式的解集可以是（ ） A． B． C． D． 10．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 11．（25-26高一上·福建·期中）（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 12．（25-26高一上·全国·课后作业）“，”为真命题，则实数的取值范围为__________. 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为__________． 14．（25-26高一上·上海·期中）甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 15．（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 16．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $