湖南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月校内检测数学试题

2026年下学期高二10月校内检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签 字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知直线l:x一y一1=0，则直线1的倾斜角是 A量 B暗 c 3π D.4 2.圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2一2x+4y=0的位置关系为 A.内含 B.外切 C.内切 D.相交 3.如图，正方体ABCD一A,B1C1D1中，直线AC和BC1所成角的大小为 A.120° B.90° C.60° D.30° 4.已知在四面体OABC中，D是BC的中点，则AD= A.ZOA+0B+0C B.0A+0-X C.0A-708-70C D.-OA+208+70 ⑤已知双曲线E:-1的两个焦点分别为F1,F2,若E上一点P与E,的距离为 则∠F1PF2= A.150° B.120° C.60° D.30° 6.已知双曲线C过点(3,1)，且与双曲线3y2一x2=1有相同的渐近线，则C的焦距为 A.2 B.22 ℃.4 D.4√2 【高二数学第1页（共4页）】 7现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一 次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一 场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为}，则在 比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 A品 器 c动 8.设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)十g(x),f(x)+ h(x),g(x)十h(x)均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的 函数；②若f(x)十g(x),f(x)十h(x),g(x)十h(x)均是增函数，则f(x),g(x),h(x) 均是增函数，下列判断正确的是 A①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知两条直线11，l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax十8y一11=0，下列结论正确 的是 A.若l1∥12，则a=6 ®若1∥L2,则两条平行直线之间的距离为 0直线1：过定点0，号 D.若1，则a=32 3 10.已知圆C:x2+（y十2)2=1，P(x,y)是圆C上任意一点，则下列说法正确的是 A.圆C的圆心为(0，一2)，半径为1 B.x十y的最大值为√2一2 Cy(x≠0)的取值范围是[-53] D.x十3y 的取值范围是[一2，一1] √x2十y2 11.在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心O且与太阳平行光 线垂直的平面为α，地面所在平面为β，篮球与地面的切点为H,球心为O,球心O在地 面的影子为点O'.已知太阳光线与地面的夹角为0，如图，球O的一条直径AB=2x,A', B为A,B在地面的影子，点H在线段A'B上，当9≠时，篮球的影子为一椭圆，线段 A'B'为椭圆的长轴，则下列说法正确的是 H A椭圆的长轴长为2 B.该椭圆的离心率为cos0 C,H恰好为椭圆的一个焦点 D设F1,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则△PF,F2内切圆半径的最大 值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.抛物线y2=16x的焦点到其准线的距离为 【高二数学第2页（共4页）】 13.已知双曲线一a>0,b一09的石焦点为F,若冠点F且倾斜角为的直线与双 曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为 14.已知向量a=(3,2),b=(-1,0),且向量c满足c=2,则1b-c+a-2 的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知圆C的圆心在直线x+2y一1=0上，且经过点(0,2)和（一1,1）. (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(0,一3)的直线1与圆C相切，求直线L的方程 16.(15分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,bC,已知%-5snC+cosC. b 3 (1)求角B; (2②)若6=2，AD-AC,且BD=,求△ABC的面积 17.(15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为平行四边形，E 为侧棱PD上动点（不含点D,P).PA=5,AB=1,AD=2AB,∠ABC=号 (1)若E为PD中点，证明PB∥平面ACE; C②)若平面PAC与平面ACE夹角的会弦值为2Y,求PB与平面ACE所成角的正弦值 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 官知椭圆C:之十1(a>≥b>0的左焦点为F(-1,0),离心率为号 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设O为坐标原点，过点F的动直线1与椭圆C交于P,Q两点，且直线L不与x轴 重合、 ()若△POQ的面积为，求直线L的方程， (i)点P关于原点O的对称点为R,连接RQ,设d为原点O到直线RQ的距离，求 d的取值范围. 19.(17分) 已知对于定义在集合I上的三个函数f1(x),f2(x),f3(x),设(i,j,)为集合 (1,2,3}的一个无重复数字的排列（即将1,2,3排成一列，如(1,2,3），(1,3,2)等，共有 6种情况).若对任意x∈I,都同时满足fi(x)≤f:(x)且f1(x)十f2(x)≤f:(x)+f (x),则称排列(t,j,)是关于这三个函数的一个“I排列”.记使得该条件成立的排列 (i,j,)的个数为n1. (1)若I=[0,+∞)，f1(x)=x2-2x+2,f2(x)=1,f3(x)=e,判断(2,1,3)与（1， 3,2)是否为I排列，并说明理由； (2)设f1(x)=x2,f2(x)=tx,f3(x)=x,其中t>0且t≠1. (i)若I=[0,2],讨论n,的值； (ii)求正实数8的取值范围，满足当区间I'=[0,6]时，存在t>0,使得nr=4. 【高二数学第4页（共4页）】 2026年下学期高二10月校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 3 4 5 6 8 答案 D c D 心 D C 题号 9 10 11 答案 AC ABD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】A 【详解】因为直线1的方程为x一y一1=0，故直线1的斜率为1， 设1的颜斜角为a,则ana=1,又06a<,即a=牙 2.【答案】D 【详解】圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:(x-1)2+(y十2)2=5，圆心C2(1,-2),半径r2= √5，圆心距|C1C2=√5，所以r2-r1<IC1C2<r1十r2,所以两圆相交. 3.【答案】C 【详解】连接A1C1,A1B, D 在正方体ABCD-A1B,C1D1中，AA1∥CC1且AA1=CC1,所以四边形AA,C1C 为平行四边形， ∴AC∥A,C1,∴∠A,C1B是异面直线AC与BC1所成角（或所成角的补角）， .AB=BC1=AC1, .∠A1C1B=60°， ∴.异面直线AC与BC1所成角的大小是60°. 4.【答案】D 【详解】AD=Aò+OD, D是BC的中点，故O币-2Oi+O心)， 故a市-Ad+0i-d+号O成+0心)=-0+号o+2d, 5.【答案】B 【详解】因为a=2,c=√13，|PF|=2, 由双曲线的定义可知|IPF2|-|PF1I|=2a=4,得|PFz|=6, 又因为|F1F2|=2W13, 在△FPF:中，os∠R,PF,=4+36-4X13 -1 2×2×6 2 所以∠F1PF2=120°. 6.【答案】D 【详解】由题可知C与3y2一x2=1有相同的渐近线， 故设C的方程为：3y2-x2=λ（入≠0）， 点(3,1)代人得：3×12-32=入，入=3-9=-6， 把X=-6代人所设方程得：8y-2=-6,则写-苦-1， a2=6,b2=2,因此c2=6十2=8，即c=2√2，双曲线的焦距为2c=4√2. 【高二数学参考答案第1页（共7页）】 7【答案】C 【详解】甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙能丙丁，概率为（）·号·() 2 81×3 若甲胜乙T,乙丙丁，概率为侣)·号·（得）=品g 2 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为)八××（）+)×××号×2=汉 5 3 2 2 5 1 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为P一81X3十81X3十81×3一27 故选：C 8【答案C 【详解】对于①，根据周期函数的定义，f(x)十g(x)=f(x十T)十g(x+T), f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T), h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T), 前两式作差可得：g(x)一h(x)=g(x十T)-h(x十T), 结合第三式可得：g(x)=g(x十T),h(x)=h(x十T), 同理可得：f(x)=f(x十T),所以①是真命题， 对于②，举反例说明：f(x)=2x,g(x)=一x,h(x)=3x; f(x)十g(x)=x,f(x)十h(x)=5x,g(x)十h(x)=2x都是定义域R上的增函数， 但g(x)=一x不是增函数，所以②是假命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.【答案】AC 【详解】两条直线l1,l2的方程分别为3x+4y十12=0与ax十8y一11=0，它们不重合，若11∥l2,则4a =3X8,得a=6,检验符合，故A正确；若l1∥12，由A选项可知，l2:6x十8y一11=0，直线l1的方程可 化为6x十y+维=0，放两条平行直线之间的距离为十器-子，故B错误由区0， 解得 √36+64 8y-11=0. x=0, ,即直线：过定点0，日)，放C正确；者4上山，侧3a十4X8=0,得a=-号，故D错误。 y=8 10.【答案】ABD 【详解】由x2+(y十2)2=1，可得圆心(0，-2)，半径r=1.故A正确， 设圆的套装方程仁血g所以z+y-cae9叶血0-2=2血(0+名》一2， 因为sin(0+)≤1，所以(x+y)am=E-2.故B正确， =二(x≠0)表示原点与圆上点连线的斜率.圆心(0，-2)，半径1，圆上所有点满足y∈[-3，-1]，纵 2 坐标恒为负， 设过原点直线y=x,圆心到直线距离：2l ≤1→k2≥3， √k2+1 解得k≤一√3或k≥√3，故C错误， 记z=x十3y 年元，其几何意义为向量0P=(xy)与向量(1W3)夹角余弦值的2倍，即z=2©os0.结合 【高二数学参考答案第？页（共7页）】 图象可知，两向量夹角取到最大值与最小值时，向量OP所在直线为圆的切线.因为圆C的圆心为(0 一2)，半径为1，从原点O向圆作两条切线，圆心C到原点距离OC=2,所以切线与OC的夹角为 30°，所以0∈[120°，180]，即c0s0∈ 17 -1,-2】 ,可求得x∈[-2，-1].故D正确. 11.【答案】BCD 【详解】椭圆的长轴长2a= 2r n0≠2r,故A错误.由a=3in0:2b-=2r即6=r,得c=√a2=6= sin 0sin 00'H=00'cos0= Tcos。,则e=cos8,故B正确.在Rt△00'H中，∠00'H=0,00=OH。7 rcosθ sin 0 =c,则H恰好为椭圆的一个焦点，故C正确.设点P到焦点连线F,F2的距离为d,内切圆半 1 径为r内.由三角形面积公式，S△PrH= (PF+PF十F1F2)·r内=2·FFa·d,代人椭圆定义 PF1十PF2=2a及F1F2=2c,得(a十c)r内=c·d即r内= 十。d,当P位于椭圆短轴端点时，d取得 rcos 0 最大值b=r,此时r内m=C= sin 0 rcos 0 a+cP+rcos01+cos0,故D正确。 sin 6 sin 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】8 【详解】y2=16x→p=8,所以抛物线y2=16x的焦点到其准线的距离为8. 13.【答案 【详解]如下图所示，双曲线号-兰一1a>0,6>0)的斋近线方程为y=土 ~, 由于过点F且倾斜角为。的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 由图可知，直线y-总的领斜角≥晋所以片≥n音-停。 因此--层--+2 所以，该双曲线的离心率的取值范围 [2+j 14.【答案】29 【详解】由a=(3,2),记点A(3,2);由b=(-1,0),记点B(一1,0).由|cl=2,记c的终点为C,则点C 在以原点为圆心、半径R=2的圆x2十y2=4上运动.第一项|b一c即线段BC的长度.对第二项，令d E则d=c1:记d的终点为D,则点D在单位圆x+y21上，且O,D,C三点共线，满足 2 【高二数学参考答案第3页（共7页）】 OC=2OD.于是原目标式转化为求BC十AD的最小值.设D(xy),满足x2+y2=1,则.C(2x,2y), BC=√/(2x+1)+(2y)7=√4(x2+y)+4x+1=√5+4x, AD=√(x-3)2+(y-2)7=√（x2+y2)-6x-4y+13=√14-6x-43, 关键观察：取定点B'(一2,0)，则单位圆上的点D到B'的距离|DB'|=√(x+2)2十y2= √(x2十y)+4x十4=√5+4x=BC.也就是说，线段BC的长度恰好等于动点D到定点B'(一2,0) 的距离这一步相当于用阿氏圆（相似或全等三角形）把“大圆上点C到B的距离”搬到了“单位圆上点 D到B的距离”，从而把两个动点合并为同一个动点D. 至此，问题变为：在单位圆x2+y2=1上找一点D,使|DB|+|DA|最小，其中B'(一2,0)、A(3,2)均 为定点.由两点之间线段最短，当B',D,A三点共线且D落在线段B'A上时，IDB|十|DA|取得最 小值，等于线段B'A的长度。 验证共线点D的存在性：B与A都在单位圆外，直线BA的斜率及一一号，方程为2x一5y十4= 0.圆心0到该直线的距离d= 4 =4<I,说明直线穿过单位圆，故线段B'A必与单位圆相 √22+52V29 交，这样的点D确实存在。 因此最小值为|B'A|=√3-（-2)2+(2-0)7=√52+2=√29、 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)(x-1)2+y2=5 (2)x-2y一6=0或2x+y+3=0 【详解】(1)设圆心C(a,b),半径为r, [a+26-1=0, a=1, 则由题意可得{(0-a)2十(2-b)2=r2,解得b=0, …3分 (-1-a)2+(1-b)2=r2, =√5， 所以圆C的标准方程为：(x一1)2十y2=5。…5分 (2)当直线L的斜率不存在时，直线1的方程为x=0, 圆心C(1,0)到直线1的距离为1≠5，不合题意； …8分 当直线L的斜率存在时，设直线1的斜率为k, 则直线l的方程为：y=kx一3，即kx一y一3=0. 由相切条件可得d=一|k一3到 =√5， …10分 √2+(-1)z 化简得：2k+3k-2=0.解得：k=号或k=一2 1 则直线1的方程为y=2x3或y=一2x-3. 综上，直线L的方程为：x一2y一6=0或2x十y十3=0.…13分 16.【答案】1B=号 (2)5v3 8 b 【详解)由正弦定理nB可得二-s加A bsin B' 又a=3n+cosC,所以s1nA_√3sinC 3 sin B 3 十cosC, 即3sinA=√3 sin Bsin C+3 sin Bcos C,…3分 所以3sin(B+C)=√5 sin Bsin C+3 sin Bcos C, 【高二数学参考答案第4页（共7页）】 所以3 sin Bcos C+3 cos Bsin C=√sin Bsin C+3 sin Bcos C, 得3 cos Bsin C=√3 sin Bsin C, 因为C为三角形内角，所以$inC≠0，…5分 所以3cosB=√3sinB,得tanB=√3 又B∈(0，元)，所以B=T. Γ3 …6分 (2)因为AD=号AC,所以D为AC中点，即B而-子(B+BC), 所以B时：-(BA+BC),所以B+B心+2BA.Bd=9。 即c2十a2十ac=9,①…10分 在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accos B; 又b=2,B=5,所以a2+c2-ac=4,②… …12分 由0@得ac=号 所以ssc=名acmB-合×营×g-5 1 …15分 281 17.【答案】(1)见详解 (2)39 26 【详解】(1)如图，连接BD交AC于点F,则F为BD的中点，连接EF,…1分 因为E,F分别为PD,BD中点，所以PB∥EF,…3分 又因为PB中平面ACE,EFC平面ACE, 所以PB∥平面ACE.… 5分 (2)在平行四边形ABCD中，因为AB=1,AD=2AB,∠ABC= 3 所以在△ABC中，AB=1,BC=2,∠ABC=S, 由余弦定理，得AC=√AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=,/1+4-2X1X2Xcos =3, 3 所以AB2十AC2=BC2,所以AB⊥AC,…7分 因为PA⊥平面ABCD,AB,ACC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC 所以AB,AC,AP两两垂直，…8分 以点A为坐标原点，AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,w3,0),D(-1,5,0),P(0,0,3) 设P它=入PD,λ∈(0,1)，则E(-入，W3入，W3(1-),…9分 设平面ACE的法向最为a=a,6e),则产.n=0, AE·n=0, 因为AC=(0,W5,0),AE=(-λ，N5A,W5(1-λ)， 所以36=0， -a+√3λb+√5(1-λ)c=0. 令c=√3入，则a=3(1-λ)，b=0,所以n=(3(1一λ)，0，W5入)，…11分 设平面PAC与平面ACE的夹角为a, 因为AB=(1,0,0)是平面PAC的一个法向量， 【高二数学参考答案第5页（共7页）】 所以cosa=cos(AB,m)川= 3(1-1) 3(1-λ) 1X√9(1-λ)+3λ7√4X-6x+3 由医数号品2酒每得专原以一（® ……13分 因为PB=(1,0,一√5)，所以PB与平面ACE所成角的正弦值为 1cosP方，n)l=l2-1=39 15分 2×.4+126 18.【详解】 (1)由题意知，c=1, 因为离心常e=名-号，所以a=2, …1分 由a2=b2十c2,得4=b2+1,所以62=3，… 2分 所以椭圆C的标准方程为十3三1.… …3分 (2)()由题，直线l过点F(一1,0)，设直线l的方程为x=my一1， 联立椭圆方程子+少 4+3=1,消去x得： my-1）士号=1→3(my-1)2+4y2=12→(3m2+4)y2-6my-9=0 4 一9 设P(x1y),Q(x8y),由韦达定理得：y1十y2=3m2+4y=3m2+4' …5分 Saow=2loF1l1-yl=号×1xXI-yl= 合×+-4w儿+a 6m -9 6vm2+162 43m2+4 3n2十47 整理得：18n‘一m2一17=0， 所以(18m2+17)(m2-1)=0, 因为18m2十17>0，所以m2一1=0，解得m=士1，…7分 所以直线的方程为x=y一1或x=一y一1，即x一y十1=0或x十y十1=0.…9分 (i)因为O为PR中点，故S△oso=Saor0= 3m十4，又因为点P关于原点对称的点为R(一x -所以0=+r++-(8+(6 (6m 2√9m2+16 3m2+4 因此d=2Sa9=2Vm2+1=6m+I RQ2√9m2+16√9m2+16 13分 令t=m+1≥1，则： 1 d=69+7卡6 7 9+ 因为y=9+在[1，+o)上单调递减，所以y=6 1 7 在[1，十∞)上单调递增，…15分 9+ 所以原点O到动直线RQ的距离d的取值范围为 …17分 【高二数学参考答案第6页（共？页】 19.【详解】 将6种排列代入定义，化简可得成为I排列的等价条件（需在区间上恒成立）： (1,2,3):恒成立； (1,3,2):需f2≤f3; (2,1,3):需f1≤f2 (2,3,1):需f1≤f2且f1≤f3; (3,1,2):需f1≤fs且f2≤f3; (3,2,1):需f1≤f3, (1)结论：(2,1,3)不是I排列，(1,3,2)是I排列.理由： 若(2,1,3)是I排列，由引理可知，需f1(x)≤f2(x)在[0，+∞)上恒成立， 即x2一2x+2≤1→(x一1)2≤0→x=1.该不等式仅在x=1时成立，不能对任意x≥0恒成立（如x =0时不成立)，故（2,1,3)不是I排列；… …2分 若(1,3,2)是I排列，由引理可知，需f2(x)≤f3(x)在[0，十∞)上恒成立， 即1≤e.因为当x≥0时，指数函数e≥e°=1恒成立，故(1,3,2)是I排列.…4分 (2)()当I=[0,2]时，我们分析引理中涉及的三个基本不等式在该区间上恒成立的条件： ①f1(x)≤f2(x)台x2≤tx台x≤t.要使该式对任意x∈[0，]恒成立，需t≥2； ②f1(x)≤f(x)台x2≤x台x≤1.因为x∈[0,2]，该式不可能恒成立； ③f2(x)≤f3(x)台tx≤x台(t-1)x≤0.要使该式对任意x∈[0,2]恒成立，需t<1. 因为条件②绝不成立，所以凡是依赖条件②的排列(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)在此区间上均被淘汰。 我们只需考查剩下的排列在不同t范围下的情况：…6分 当0<t<1时：条件①不成立，条件③成立.此时(1,2,3)成立；(1,3,2)因依赖条件③而成立； （2,1,3)因条件①不成立而淘汰.故n1=2.…7分 当1<t<2时：条件①不成立，条件③不成立.此时除了永远成立的(1,2,3)之外，其余均不成立， 故n1=1.… 当t≥2时：条件①成立，条件③不成立.此时(1,2,3)成立；(1,3,2)淘汰；(2,1,3)因依赖条件①而 成立.故n1=2 ……9分 综上所述：当1<t<2时，n1=1;当0<t<1或t≥2时，n1=2.… …10分 (ii)在区间I'=[0,6](8>0)上，我们分析三个核心不等式恒成立的条件： 条件A(f1≤f2):x2≤tx台x≤t,若要在[0,8]上恒成立，充要条件是8≤t 条件B（f1≤f3):x2≤x台x≤1，若要在[0,6]上恒成立，充要条件是6≤1. 条件C（f2≤f3):tx≤x台(t一1)x≤0，若要在[0,8]上恒成立，充要条件是t<1 …12分 6种排列成为I'排列的条件如下： (1,2,3):恒成立 (1,3,2):需条件C成立 (2,1,3):需条件A成立 (2,3,1):需条件A且B成立 (3,1,2):需条件B且C成立 (3,2,1):需条件B成立 我们要求nr=4,即上述6个排列中，必须恰好有4个成立.…14分 0<6≤1时，取t>1,易验证条件A、B成立而C不成立，即恰有4个成立，满足条件； 0…………………15分 1<8时，条件B不成立，则上述6个排列中的4,5,6均不成立，不满足条件.…16分 综上，所求8的取值范围为(0,1].……17分 【高二数学参考答案第？页（共7页）】