湖南省永州市跨世纪天成高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

永州市跨世纪天成学校2026年下期高二年级月考（数学）试题 命题人：张涌平 分值：150分 时量：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8. 已知点，直线过点，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（　　） A．或 B．或 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.给出下列四个命题，其中正确的有（ ） A．若空间向量均为非零向量，满足，，则； B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底； C．已知空间四个点，若，则三点共线； D．对任意空间向量，都有成立. 10. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的倾斜角等于 B. 与直线垂直 C. 在轴上的截距等于 D. 与直线平行 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段上存在点，使平面 C. 线段上存在点，使平面平面 D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是 .（用坐标表示） 13. 已知直线与直线平行，则实数的值为 . 14. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（13分）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 16.（15分）如图，在长方体中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，. （1）证明：； （2）求到平面的距离； 17.（15分）已知是菱形，，，为的中点，如图1，将沿折起，使点与点重合，且，如图2. （1）证明： 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18.（17分）三角形的顶点是A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求： （1） 边AC所在直线的方程. （2） 边AB上的高CD所在直线的方程； （3） 边AC的垂直平分线的方程. 19.（17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在一点使得平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 永州市跨世纪天成学校2026年下期高二年级月考（数学）试题 命题人：张涌平 分值：150分 时量：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4. 已知，则下列向量中与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 已知，，，若共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得． 故选：A 【答案】A 7. 在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 8. 已知点，直线过点，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.给出下列四个命题，其中正确的有（ ） A．若空间向量均为非零向量，满足，，则； B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底； C．已知空间四个点，若，则三点共线； D．对任意空间向量，都有成立. 【答案】AC 10. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的倾斜角等于 B. 与直线垂直 C. 在轴上的截距等于 D. 与直线平行 【答案】BD 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 线段上存在点，使平面 C. 线段上存在点，使平面平面 D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确． 对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，， 所以 ，，， 设（），则 所以， 平面即 解之得 当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确 对于C，设平面的法向量 则，取 得 设平面 的法向量 , 则 取 , 得 , 平面平面 设 , 即 , 解得 ，，不合题意 线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误． 对于D，平面的法向量为 则 因为 所以 所以的最大值为．故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是 .（用坐标表示） 【答案】 13. 已知直线与直线平行，则实数的值为 . 【答案】或 14. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是___________. 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15.（13分）如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 【小问1详解】 ∵为线段的中点，∴， ∵，∴， ∴ ；……6分 【小问2详解】 ．……13分 16.（15分）如图，在长方体中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，. （1）证明：； （2）求到平面的距离； 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ， 又，不在同一条直线上，. ……7分 （2） 设平面的法向量，又， 则， 令，则，∴，又， 所以到平面的距离为.……15分 17.（15分）已知是菱形，，，为的中点，如图1，将沿折起，使点与点重合，且，如图2. （1）证明： 平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接， 因为是菱形，为的中点，所以，， 又因为，，所以， 由已知，所以， 所以，面，、平面， 所以平面；……7分 （2） 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 则，即，可取. 平面的法向量， 设平面与平面夹角的大小为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.……15分 18.（17分）三角形的顶点是A(－5,0), B(3,－3), C(0,2), 求： （1） AC边所在直线的方程. （2） AB边上高线CD所在直线的方程； （3） AC边上垂直平分线的方程. 【答案】 （1） ……5分 （2） ……12分 （3）……17分 19.（17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在一点使得平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. (1) 证明：连接交于，再连接， 由已知与平行且相等，是平行四边形，因此与互相平分，是中点，又是中点，则， 平面，平面，所以平面；……5分 （2），则是矩形，， ，是中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， ， 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，因此， ，，， 设平面的一个法向量是， 则，令，则，，即， 设直线PB与平面BMD所成角为，则， ；……10分 （3）假设存在满足题意的点，设（），，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 即， ，，， 由题意，解得或， 又 ， 所以或． 所以存在满足题意的点且或．……17分 高二数学试卷（第1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $