精品解析：湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

湖南师大附中2025～2026学年度高二第一学期第一次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到复数，再确定其在复平面内对应点的坐标，即可确定点所在的象限. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 2. 设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（ ）． A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　） A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α C. 若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D. 若m∥n，n⊂α，则m∥α 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项即得． 【详解】对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误； 对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确； 对于D，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故D错误． 故选：C． 4. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果. 【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为， ∵，是夹角为两个单位向量， ∴， ∴向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 5. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据得到答案. 【详解】，即，圆心，半径， ，圆心为，， ，故两圆外切. 故选：C. 6. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】的几何意义为动点与定点所在直线的斜率， 动点满足关系式，且， 可知在线段（除点外）上移动，且， 如图，，， 点与定点所在直线的斜率不存在， 所以的取值范围是， 故选：A. 7. 已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（ ）． A. 7 B. 6 C. 8 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定直线与互相垂直，得到点轨迹，即可求解. 【详解】由题意可知，当时，直线与互相垂直， 当时，，直线与互相垂直， 且直线经过定点，直线经过定点，所以. 设，则，即， 则点在以点为圆心，5为半径的圆（除去与、）上， 所以的最大值为， 最小值为. 故的取值范围是. 故选：C 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，利用勾股定理求得，结合和椭圆的定义建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由，知，所以，而， 所以，则， 由椭圆的定义知，，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用几何意义得到直线l与AB平行或经过AB的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线l与AB平行或经过AB的中点． 当直线l与AB平行时，由可得：， 再由直线l与AB平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得：， 整理得直线l方程为； 由可知中点坐标为，当直线l经过AB的中点和点时， 由两点式直线方程得：， 整理得直线l方程为． 故选：BD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，再结合正弦函数的图象和性质对选项进行逐一判断. 【详解】由图象可知，相邻最小值点和最大值点之间的水平距离为半个周期， 即， 由周期公式， 所以，选项A正确； 因为图象经过点，代入函数得：， 由正弦函数性质可知时，， 所以， 因为，所以， ， 因为，故B错误； 因为是中心对称函数，对称中心为，， 若函数图象关于点对称，则. 代入计算：， 所以图象关于点对称，故C正确； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则， 由正弦函数性质可知在上单调递增， 令，解得， 区间位于增区间内，故在区间内是增函数，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 平面与平面所成角的正弦值是 C. 当时，的值最小 D. 若平面上的动点满足，则点M的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求解判断ACD；易得平面平面，进而求解判断B. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则，，设，， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， 而平面，则平面平面， 所以平面与平面所成角的正弦值是1，故B错误； 对于C，由A知，，则， 则，， 所以， 当，即时，的值最小，故C正确； 对于D，设，则，， 当平面上的动点满足时， ， 整理得，所以点的轨迹为椭圆，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与圆交于A，B两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长． 详解】由圆，得， 则圆心坐标为，半径为1． 圆心到直线的距离， ． 故答案为：． 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由n名同学同时参与（），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出一次挑战中出现平局的不同种类数；再根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】假设在一次挑战中n名同学只能从“石头”“剪刀”这两种手势中选择， 则每个人都有两种选择；在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：； 在一次挑战n名同学相同手势种类数共有：； 此时一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有. 由题意可得：每个人都有三种选择. 所以在一次挑战n名同学独立选择手势的不同种类数共有：； 在一次挑战中n名同学只出现两种手势的不同种类数共有. 所以一次挑战中出现平局的不同种类数共有. 根据古典概型概率公式可得：一次挑战中出现平局的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ， ， ， ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． 【小问2详解】 C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 17. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合已知条件、椭圆特征以及、和的关系求解即可；(2)根据已知条件首先求出直线的截距的取值范围，然后联立椭圆方程和直线的方程，利用韦达定理和弦长公式表示出弦长，然后利用点到直线的距离公式分别求出点、到直线的距离，最后表示出面积即可求解. 【小问1详解】 椭圆：长轴长为4，且点在椭圆上，设椭圆的焦距为， ∴，解得，，， ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意可设：， ∵点在第一象限，∴， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ∴，， ∴， ∵，，直线的一般式方程：， ∴，， ∴， ∴， 当时，有最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）N为的中点，线段上是否存在点H，使得H，A，O，N四点共面？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）； （ⅱ）存在点H，满足 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，即可求得答案； （ii）根据H，A，O，N四点共面，则存在实数a，b，使得，由此列式求解，即得答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 （i）在四边形中，因为，，， ，又平面， 故以C为原点，所在直线分别为x轴，y轴，过点且平行于的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知平面，平面，故， 因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角， 即可得的中点到的距离均相等， 故为外接球直径，则球心O为PB的中点， 结合，则，， 则，，，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以， 设与平面所成角为， 则. （ii）因为分别为的中点，所以， 所以，，由（i）知， 设， 则， 因为H，A，O，N四点共面，所以存在实数a，b，使得， 即， 所以，解得. 所以存在点H，满足，使得H，A，O，N四点共面. 19. 设函数，． （1）求证：； （2）分别求和时函数的最小值； （3）求函数的最小值（用k表示）． 参考公式：当且时，． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式将分别化简，即可证明； （2）根据三角恒等变换的化简和同角的三角函数关系计算即可求解； （3）令，则，利用定义法，结合题意给的公式讨论函数的单调性，求解即可. 【小问1详解】 ，； ，； 所以，得证. 【小问2详解】 当时， ， 又，所以； 当时， ， 又，所以. 【小问3详解】 根据（2）进行猜想：当时，. 当时，，函数的最小值为1， 当时，令，则， 显然，即函数图象关于直线对称， 令， 则 ， 由，得， 所以对任意，都有， 所以， 得， 则，即函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以，即，， 当且仅当即时，取到最小值， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2025～2026学年度高二第一学期第一次大练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 得分__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　） A 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α C. 若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D. 若m∥n，n⊂α，则m∥α 4. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 6. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知点，直线与直线交于点，则的值可以为（ ）． A. 7 B. 6 C. 8 D. 19 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，到直线l的距离相等，且l过点，则l的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 11. 在正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 平面与平面所成角的正弦值是 C. 当时，的值最小 D. 若平面上的动点满足，则点M的轨迹是椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 若直线与圆交于A，B两点，则______． 13. 在正四棱台中，，则该棱台体积为________． 14. 某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由n名同学同时参与（），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 17. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）N为的中点，线段上是否存在点H，使得H，A，O，N四点共面？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由． 19 设函数，． （1）求证：； （2）分别求和时函数的最小值； （3）求函数的最小值（用k表示）． 参考公式：当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $