第三章 函数的概念与性质（举一反三单元自测·培优卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高一数学第三章“函数的概念与性质”单元复习培优卷，19题150分，覆盖函数定义域、单调性、奇偶性等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配单元学情诊断与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、幂函数图像、单调性|结合具体函数图像（如第3题幂函数图像辨析）考查直观想象| |多选|3/18|函数相等、幂函数性质、周期性|第11题综合函数奇偶性与周期性，培养逻辑推理| |填空|3/15|定义域含参问题、分段函数最值|第13题分段函数最小值探究，提升数学抽象能力| |解答|5/77|抽象函数定义域、幂函数应用、实际问题建模|第17题八边形休闲场所造价优化（数学建模），第19题抽象函数性质证明（逻辑推理），契合核心素养要求|

第三章 函数的概念与性质（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抽象函数定义域结合分式和根式的意义列式求解即可. 【解答过程】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 2．（5分）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案. 【解答过程】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A. 3．（5分）（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【解答过程】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 4．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为且是上的单调递减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B. 5．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【解答过程】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【解答过程】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选：. 7．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】B 【解题思路】根据图象的平移及对称中心得到是奇函数，结合得到是周期为8的周期函数，从而得到，结合已知条件及奇函数求出，即可得到. 【解答过程】根据函数平移的性质，函数的图象可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称， 即是奇函数，满足. ，即，， 所以，所以是周期为8的周期函数. ， 又时，，所以，所以. 故. 故选：B. 8．（5分）（25-26高一上·江西新余·期末）已知定义域为的函数满足，且对任意的，时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用已知条件可证明函数在上单调递减且关于直线对称，从而可利用这两个性质来求解不等式. 【解答过程】因为对任意的，时，恒成立， 设，则 ， 故函数在上单调递减， 因为， 所以关于直线对称， 又， 因为， 则不等式等价于， 所以，解得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【解题思路】利用相等函数的定义可判断. 【解答过程】对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ， 即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确； 对于B： 的定义域为 ， 而 的定义域为 ， 定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同， 因此，两者是同一个函数，故C正确； 对于D： 的定义域为 ， 对应法则为 ，值域也为， 而的值域为， 因此，两者不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 10．（6分）（2026高一·全国·专题练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】BD 【解题思路】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【解答过程】因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在上是减函数， 所以，故A错误，B正确； 因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：BD. 11．（6分）（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在R上的函数，满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，利用函数的奇偶性和对称性，分别求得和，以及，得到函数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】由函数为奇函数，令，可得， 所以，所以关于点对称， 又由，可得，所以关于对称， 由且，可得， 即，则， 所以，可得函数的周期为， 对于A，由关于点对称，可得， 又由函数的周期为，可得，所以A正确； 对于B，由，可得函数的周期为，所以B正确； 对于C和D，由且，可得， 将中的代换为，可得， 所以，即， 所以关于原点对称，不一定关于对称，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【解答过程】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为__________. 【答案】 【解题思路】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围，综合所有情况即可得到的最大值. 【解答过程】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 所以存在最小值，满足题意； 当时，在和上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得，则； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述，实数的取值范围为，则的最大值为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 【答案】 【解题思路】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【解答过程】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，可得， 所以函数关于直线对称， 所以，从而得， 所以函数是周期为4的周期函数， 因为， 所以在中，令，得， 令，得， 令，得， 所以，于是 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 16．（15分）（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可； （2）利用幂函数的单调性，结合函数定义域列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 17．（15分）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1) ； (2)，且时元. 【解题思路】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【解答过程】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以 . （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 18．（17分）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1)函数为奇函数，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数； （2）证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减； （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 19．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数； (2)在上的单调递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数，若是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 8．（5分）（25-26高一上·江西新余·期末）已知定义域为的函数满足，且对任意的，时，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（6分）（2026高一·全国·专题练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 11．（6分）（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在R上的函数，满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ） A． B．函数的一个周期为4 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点中心对称 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________． 13．（5分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为__________. 14．（5分）（25-26高三上·广东广州·阶段检测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 16．（15分）（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 18．（17分）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 19．（17分）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $