精品解析：江西吉安市第八中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 四个内角都是直角 D. 每一条对角线平分一组对角 3. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 8. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，列出正确的方程___________________． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是______． 10. 已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 11. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点E、F、G、H，则四边形的周长为______． 12. 已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 14. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 16. 已知点是菱形边上的一点．请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图，在上求作点，使； （2）如图，连接，求作，使，且点在边上． 17. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发同时停止，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发同时停止，那么几秒后，的长度等于？ 19. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 20. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 22. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 六、（本大题1小题，共12分） 23. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线相等 C. 四个内角都是直角 D. 每一条对角线平分一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】菱形具有平行四边形的全部性质，故分析ABCD选项，添加一个条件证明平行四边形为菱形即为菱形具有而平行四边形不具有的性质，即可解题． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，对边相等， 且菱形具有平行四边形的全部性质， 故A、B、C选项错误； 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的邻角互补、对角线互相平分，对角相等的性质，菱形每条对角线平分一组对边的性质，本题中熟练掌握菱形、平行四边形的性质是解题的关键． 3. 如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌，即可求出两个正方形重叠部分的面积． 【详解】解： 四边形和四边形都是正方形， ，，， ． 在与中， ， ≌， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键． 4. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解:，点为的中点， ， ，  ， ． 5. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 6. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 8. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有个球队参赛，列出正确的方程___________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：设有x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x-1）场球，第二个球队和其他球队打（x-2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x-1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 试题解析：设有x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x-1=15， 即：． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，四边形是正方形，，，再由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 故答案为：． 10. 已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2021 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据解的概念得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，是的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点E、F、G、H，则四边形的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，相交于点O，首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形中位线定理求出平行四边形的边长即可求出周长． 【详解】解：如图，连接、，相交于点O， ∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形的周长为． 12. 已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为________. 【答案】2或或 【解析】 【分析】分以下三种情况求解：（1）点P在CD上，如图①，根据菱形的边长以及CP1=2DP1可得出结果；（2）点P在对角线AC上，如图②，在三角形CDP2中，可得出∠P2DC=90°，进而可得出DP2的长；（3）当点P在边AD上，如图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则，再用含x的代数式表示出CE，EP3，CP3的长，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：（1）当点P在CD上时，如解图①， ，，； （2）当点P在对角线AC上时，如解图②， ，. 当时，，； （3）当点P在边AD上时，如解图③，过点D作于点F，过点作于点E，设，则， ，，，， ，， . ，在中，由勾股定理得，解得，（舍）. 综上所述，DP的长为2或或. 故答案为：2或或. 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，在解答无图题时注意分类讨论，避免漏解. 错因分析 较难题.出错原因：①不能全面考虑所有情况，即根据动点在每一条边上进行分类讨论求解；②在第三种情况下不能将已知条件有效利用，转化到一个三角形中通过勾股定理列方程求解. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原方程变形为 ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程变形为 即 ∴或 ∴，． 14. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 16. 已知点是菱形边上的一点．请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图，在上求作点，使； （2）如图，连接，求作，使，且点在边上． 【答案】（1）如图所示，点为所求： （2）如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】（1）连接菱形的两条对角线交于点，连接并延长交于点，通过证明，得到． （2）连接和交于点，根据菱形是轴对称图形，连接并延长交于点，通过先后证明，，得到，继而通过证明，得到． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ，即， ，，， ， ． 17. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后由菱形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）首先证明是等边三角形，求出，，然后利用矩形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发同时停止，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发同时停止，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】（1）1秒 （2）秒 【解析】 【分析】（1）先分别求出的长，再利用直角三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）先分别求出的长，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设秒后，的面积等于， 则，， ， ， 的面积等于，， ， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：1秒后，的面积等于． 【小问2详解】 解：秒后，的长度等于， 则，， ， ， ，， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 当时，，符合题意， 答：秒后，的长度等于． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，正确建立方程是解题关键． 19. 智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1） （2）404元 【解析】 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 20. 综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若新劳动基地的面积为，且，求和的长． （2）当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】（1）的长为，的长为 （2）不可以， 理由：设，则， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，不合题意，舍去， 当时，新劳动基地的面积不可以为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设，结合的长为，的长为，且新劳动基地的面积为，且，进行列式，解出方程，即可作答． （2）依题意，先设，则，因为新劳动基地的面积可以为，故，再结合的最大长度为，的最大长度为进行作答即可． 【小问1详解】 解：设， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； ，； 答：的长为，的长为； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在四边形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与四边形的边交于两点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当平分时， ①求证：四边形为菱形； ②当四边形是矩形时，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，为对角线的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； ②3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）①根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形； ②根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：① 略 ②∵四边形是矩形， ∴，， 而， ∴，，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得． 故的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是证明． 22. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】（1）③ （2）或 （3）证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【解析】 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； 【小问2详解】 解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． 【小问3详解】 略 六、（本大题1小题，共12分） 23. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】（1）一定 （2）四边形是“等邻边四边形” （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论； （2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可； （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②，四边形是等邻四边形； 理由：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等邻四边形， ．（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ①当时， ． ②当时，设， ∵，在中，， ∴， ∴，即， ∴． ③当时，点与重合，此时, ∴． 综上：四边形的面积为或或． 【点睛】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $