精品解析：湖南省长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期10月练习数学试题

高一数学10月练习 时量：120分钟　满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的．） 1. 设命题，则为 A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 设,则三个数 A. 都大于 B. 都小于 C. 至少有一个不大于 D. 至少有一个不小于 8. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列四个选项中，是的充分必要条件的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值是2 B. 若，则 C. 若，则 D. 设，且，则的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设全集，且，若，则________. 13. 若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 14. 若，，为正实数，，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 实数、满足，. （1）求实数、的取值范围； （2）求的取值范围． 17. 已知命题p：，为假命题． （1）求实数a的取值集合A； （2）设集合，若，求实数的取值集合． 18. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． （1）当时，求海报纸（矩形）的周长； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 19. 设正整数可以表示成个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记（），集合中元素的最大值为． （1）直接写出中的所有元素； （2）对于． （ⅰ）若（），求证：； （ⅱ）直接写出，； （3）求，并写出中相应的所有元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学10月练习 时量：120分钟　满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的．） 1. 设命题，则为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，又，所以. 3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由,取特殊值代入选项检验即可排除错误选项.对于正确选项,予以证明即可. 【详解】因为 令 对于A,,所以错误; 对于B, ,所以错误; 对于C, 由,则,由基本不等式可知因为,所以不能取等号,所以C正确; 对于D,,所以错误. 综上可知,C为正确选项. 故选:C 【点睛】本题考查了不等式性质,由条件判断不等式是否成立,基本不等式求最值,属于基础题. 4. 设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义结合选项逐项判断. 【详解】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 6. 若成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由绝对值的性质得到，解其等价不等式组得到的取值范围. 【详解】因为成立， 所以，等价于， 解得， 所以实数的取值范围是． 7. 设,则三个数 A. 都大于 B. 都小于 C. 至少有一个不大于 D. 至少有一个不小于 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合反证法即可确定题中的结论. 详解：不妨假设都小于， 由不等式的性质可知：， 事实上： ， 与假设矛盾，故假设不成立，即至少有一个不小于. 本题选择D选项. 点睛：本题主要考查不等式的性质，反证法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列四个选项中，是的充分必要条件的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】A．由，，可得，，反之也成立，∴是的充分必要条件； B．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件； C．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件； D．由，，可得，；反之不成立， 例如取，．∴是的必要不充分条件． 故选：ABC． 10. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值是2 B. 若，则 C. 若，则 D. 设，且，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，将函数化简为，然后根据对勾函数的单调性即可判断；对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；对于D选项，利用乘1法，结合基本不等式判断. 【详解】选项A，令（），函数变形为， 该函数在上单调递增，最小值为，而非，A错误； 选项B，是增函数，当时，是减函数，若，则，B正确； 选项C，由，两边同乘负数得；同乘负数得，故，C正确； 选项D，利用乘1法：， 由基本不等式得，当且仅当，时等号成立， 故当，时，取最小值，最小值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设全集，且，若，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 13. 若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 14. 若，，为正实数，，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得，把三式变形相加后利用基本不等式即可求得最值. 【详解】由，可得， 变形得， 所以 . 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出，然后根据集合的并集的概念求解出的结果； （2）根据得，再解不等式即可得答案. 【小问1详解】 解：当时，，， 所以，； 【小问2详解】 解：因为， 所以，解得， 所以，实数的取值范围为 16. 实数、满足，. （1）求实数、的取值范围； （2）求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质求解，即可得出答案； （2）利用待定系数法用与将表示出来，然后利用不等式的性质求解即可. 【小问1详解】 由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 17. 已知命题p：，为假命题． （1）求实数a的取值集合A； （2）设集合，若，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分类讨论，结合命题为假命题求得实数a的取值集合A； （2）利用交集的结果，结合集合包含关系分类求解即可. 【小问1详解】 命题，为假命题， 当时，方程为，解得，此时命题为真命题，不符合题意； 当时，，为假命题等价于一元二次方程无实根， 所以，解得． 故实数的取值集合． 【小问2详解】 由，得，即． 因为，所以． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，实数的取值集合为或． 18. 为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． （1）当时，求海报纸（矩形）的周长； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】（1）； （2）选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出面积公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出面积公式，结合基本不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设阴影部分直角三角形的高为， 阴影部分的面积， 又， 由图可知：， 海报纸的周长为. 【小问2详解】 由（1）知， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少. 19. 设正整数可以表示成个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记（），集合中元素的最大值为． （1）直接写出中的所有元素； （2）对于． （ⅰ）若（），求证：； （ⅱ）直接写出，； （3）求，并写出中相应的所有元素． 【答案】（1），. （2）（ⅰ）因为 与 都是正整数且 ，所以 . 又 ，所以 . （ⅱ），. （3）. 中取到最大值的元素为 与 ，两者都含 674 个 3. 【解析】 【分析】（1）把 4 拆成至少两个正整数之和并按从小到大排列，写出 的全部元素，再逐个算乘积. （2）（ⅰ）把两个乘积作差，用整数性 判断符号；（ⅱ）先说明取最大值的数组中不含 1、每个数不超过 4，再用 比较大小. （3）分5类情况进行讨论即可. 【小问1详解】 4 拆成不少于两个正整数之和，按从小到大排列，得 . 逐个算乘积：，，，. 其中满足 的是 与 . 【小问2详解】 （ⅰ）略. （ⅱ）先确定取最大值的数组的形状.若数组中含有 1 且元素个数 ，把 1 与另一个数 换成 后仍是 中的数组，而乘积由 变为 ，变大了；若 ，数组为 ，，而 （）.所以取最大值的数组中不含 1. 若数组中某个数 ，把 换成 3 与 （），和不变且 ，乘积变大.所以取最大值的数组中每个数都不超过 4. 又 且 ，可把每个 4 看成两个 2.设 2 的个数为 （4 算作两个 2），3 的个数为 ，则 ，且 . 由 知 是 3 的倍数；把 换成 时 减 2， 乘 ，故在满足条件的前提下 越小， 越大. 取 ，此时 是 3 的倍数，最小的 ，得 ，于是 . 取 ，此时 除以 3 余 1，最小的 ，得 ，于是 . 【小问3详解】 设且，当时， ①．事实上，若存在不大于的正整数，使得，则，此时 ，令， 设，则，这与矛盾，所以； ②，事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令，因为， 所以， 令， 则，这与矛盾，所以； ③中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设， 则，因为，所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： ④中最多有一个4．事实上，，而， 所以中最多有一个4； ⑤中最多有两个2，事实上，，而，所以中最多有两个2： 所以当时，，或， 或，而， 所以中相应的元素为和. 由（2）知，取最大值时数组中的数只能是 2,3,4：若某个数 ，拆成 3 与 会使乘积变大，而 4 又等同于两个 2.设 2 的个数为 （4 算作两个 2），3 的个数为 ，则 ，. 由 是 3 的倍数，得 除以 3 余 1，即 除以 3 余 2，所以 可取 2,5,8,；而 每增大 3， 就乘 ，故 时 最大. 此时 ，于是 . 有两种情形：含两个 2，或含一个 4.故 中取到最大值的元素为 与 ，两者都含 674 个 3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $