湖南省长沙市天心区长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月学情检测数学试题

2025年12月高一学情检测卷 数学(B卷)参考答案 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 答案 C D A B A B ACD AD ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.C【解析】因为集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},所以A∩B={2,3},故选C. 2.D【解析】因为否定全称量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词， 二是要否定结论，所以命题“Vx∈R,|x十1≥1”的否定形式是“门x∈R,|x十1<1”.故选D. 3.A【解析】易知函数f(x)为奇函数，故排除B,C;因为函数y=一x在(0，十∞)上单调递减，y=1在(0，十∞) 上单调递减，则f()=-x在(0，十∞)上单调递减.故选A 4.B【解析】由-2x2+x+3>0得-(2x-3)(x十1)>0，即(2x-3)(x+1)<0,x∈(-1,2)， 所以函数fx)=10g(-2x2+x十3)的定义域为(-1，多).故选B. 5.A【解析】因为函数y=logx为(0，十o∞)上的增函数，loga>logb,所以a>b>0,又函数y=(号)广为R上 的减函数，所以Q:(合)广<（侵）广成立：而当（合）°<（侵分}广时，北知a=-1,6=-2满足条什，但1oga,lg6 无意义，故P是Q的充分不必要条件.故选A 6.C【解析】令g(x)=f(x+2), 因为f(x)在[2，十o∞)上是增函数，y=f(x十2)关于y轴对称， 所以g(x)在[O,十∞)上是增函数，且在R上是偶函数， 又g(t-2)=f(t),g(1-2t)=f(3-2t), 所以由f(t)-f(3-2t)>0,得g(t-2)-g(1-2t)>0, 即g(t-2)>g(1-2t),则g(t-2)>g(|1-2t), 所以|t-2|>|1-2t,两边平方得(t-2)2>(1-2t)2,解得-1<t<1.故选C. 7.B【解析】令2x-2=5-5=7-7=t, x=log2(t+2),y=logs (t+5),z=l0g7(t+7),t>-2, 在同一坐标系内作出函数f(t)=log2(t+2),g(t)=log(t+5),h(t)=log(t+7),t>一2的图象， w=f(t) 0=g(t) w=h(t) 0 't=a 则x,y,之分别是三个函数的图象与直线t=a(a>-2)交点的纵坐标，观察图象得，当一2<a<0时，z>y>x; 当a=0时，x=y=z;当a>0时，x>y>,因此ACD都可能，B不可能.故选B. 8A【解折】由题意知z(小x-引-2公)<0，“1<<2x-引-2a2<0, 高一数学(B卷)参考答案一1 1-1≤2a, “画数)=2一二在区间1,2》上单调运增，则 /3a2-10, 5a2-4>≥0， 解得a(-0,2]u25,+o): 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ACD【解析】对于A,由m2>n2,得m>n,故A正确； 对于B中只-tnm-0骨由m>>0,>0,得0骨0，所以牛兴故B错误： 'n+t n n(n+t) n+tn 对于C,由>0，是<是，得m<n,故C正确； 对于D,由m>n,k>t,得m十k>n十t,故D正确.故选ACD 10.AD【解析】对于A,由基本不等式得1=a十6≥2V瓜，可得ab<},当且仅当a=b=时等号成立，所以ab 的最大值为子，故A正确； 对于B,由题意得a=1-6,代入得a+2冰=3G-26+1=3(6-号）'+号，当6=3a=号时取最小值，则。2 十26的最小值为号，故B错误； 对FC利用1的代换，得经+品吕+陆-(2+岩)a+》=4+2+号≥4+2,2·号=4+28，当且 a ab a ab 仅室a=3平6时￥号成主，所以2+品的最小值为4什25，故C格溪； 2 对于D,(W后+万)2=a十什2Va历≤1十a十6=2，当且仅当a=b=号时，等号成立，所以a十万的最大值为 √2，故D正确.故选AD. 11.ABD【解析】对于A,令y=0,则f(x)=f(x)g(0)+f(0)g(x)=f(x)+f(0)g(x),即f(0)g(x)=0, 又函数g(x)是定义在R上的非常值函数，g(x)的值不恒为0，则f(0)=0,A正确； 对于B,令y=-x,则f(0)=f(x)g(-x)十f(-x)g(x),即f(x)g(-x)=-f(-x)g(x), 又60则得-二哥则得者西数，B正确 对于C,若g(x)=e,则f(x+y)=ef(x)+ef(y),令x=y=1,则f(2)=2ef(1);令x=y=2,则f(4)= 2e2f(2)=4e3f(1);令x=1,y=-1,则f(0)=e1f(1)+ef(-1)=0,f(1)=-e2f(-1),因此f(4)= 4e3f(1)=-4e5f(-1),C错误； 对于D,由f(0)=0,则x>0时，有f(x)>0,x0时，有f(x)<0, 令y=x,则f(2x)=2f(x)g(x),当x>0时，f(2x)>0且f(x)>0,因此g(x)>0; 当x<0时，f(2x)<0且f(x)<0,因此g(x)>0, 又g(O)=1,则对任意x∈R,有g(x)>0,D正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2【解析】设罩函数为f(x)=℃，将点(2,2）代入得v巨=2，求得Q=,则暴函数为f(x)=V丘，则f(4)= √4=2. 高一数学(B卷)参考答案一2 134【解析】原式=1og号+log:2×8照8-210g38=4 1og32 14.a=2或0<a<7-2W⑩ 【解析】作出函数f)=+2x+2,a≤0， 的图象如图所示， 9 In x-11,x>0 y=f(x) 令t=f(x),则at-(3a十1)t十5=0，若原方程有6个不相等的实数根，则a不为0，且关于t的方程必有两 根，设该方程的两根分别为t1,t2,有以下几种情况： （1=1,6>2,代入=1，得a=2,此时关于t的方程为2-7+5=0，解得=1，=号，满足题意， (2)t>2,t2>2,且t1≠t2,令g(t)=at-(3a十1)t十5，则g(t)有两个大于2的不等零点， 因为函数g(t)的图象过点(0,5)， a>0, a>0, △=(3a+1)2-20a>0, a<7-2/或心7+2V0 9 9 则3a+1>2, 解得 即0<a<7-2V1⑩】 2a a<1, 9 g(2)=-2a+3>0, a<是 (3)0<t1<1,1<t2≤2，因为函数g(t)的图象过，点(0,5)，易得a>0, g(1)=-2a+4<0, a>2, 则 g(2)=-2a+3≥0， 付a≤3无解， 综上所述，实数a的取值范周为a=2或0<a<7-2V⑩， 9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】(1)当a=1时，由题意得A={x0<x≤2}，…1分 B={xx≥2或x≤-3}.… 2分 则A∩B={2}.………3分 又CRB={x|-3<x2},…4分 则AU(CRB)={x一3<x≤2}.…5分 (2)若ACRB, 当A为空集时，满足a-1≥2a,此时a≤-1，符合题意；… …7分 a-1<2a, 当A不为空集时，满足a一1≥一3，此时一1<a<1,…11分（三个条件、一个结论各1分） 2a<2, 综上所述，实数a的取值范围为（一∞，1）. 13分 -3+1= 2(m-1) m-1 16.【解析】(1)由题意得， 用。。果。。。用。。e。ge。gge。。gg ………4分 -3X1-m-1' 1 解得m=3 …6分 高一数学(B卷)参考答案一3 (2)考虑不等式(m-1)x2+2(m-1)x十1>0对任意实数x恒成立， 当m一1=0，即m=1时，不等式化为1>0，恒成立，满足条件；…8分 m-1>0, 当m一1≠0，即m≠1时，需满足 …11分 △=[2(m-1)]2-4(m-1)<0, 解得1<m<2.… 13分 综上所述，实数m的取值范围为[1,2)…15分 17.【解析】(1)由性质②知，f(x)十g(x)=e,所以f(-x)十g(-x)=ex, 由性质①知，f(一x)=一f(x),g(-x)=g(x),所以一f(x)十g(x)=e2,…2分 2,8(x)=ete- 解得f(x)=e-e 2. 6分 (2)已知h(x)=g(2x)-2ag(x)+a2+2, 则h(）十e-2ag十e十2+2，m…7分 2 令t=e2十ex,则t≥2，且e2x十e2x=t-2,… 8分 故(0)=号-au十心+1，该二次画：周象的对称轴为直线1=@， 当a≤2时，h(t)在[2，十∞)上为增函数，h(t)mn=h(2)=a2-2a十3， 令a2-2a十3=6，解得a=3或a=-1,又.a≤2，.a=-1;…11分 当a>2时，A0在[2，a)上为减函数，在[a,十o∞)上为增函数，h(Bm=h(@)=号+1， 令号十1=6，解得a=士V而，又：>2，故a=而.… …14分 综上所述，实数a的值为一1或√10.… …15分 18.【解析】(1)由题知e≥x十1恒成立，用x-1替代x,得e1≥x, …1分 两边同时取对数得：x一1≥lnx,当x=1时取等号，… 2分 故g(x)=lnx-x十1≤0，当x=1时等号成立.… …3分 (2)由(1)知x-1≥lnx,当x=1时等号成立， 令"，得中为-1 n ……5分 故h号+n+n++h1<++号++ …7分 故1n(n十1)<1十号十号十十…十，n∈N,不等式得证.… …8分 (3)因为f(1)+2x1+1=6,所以e1+x1=6, 因为g(x2)十2x2一l=6,所以lnx2十x2=6,即lnx2十en2=6, …12分 令h(x)=e十x,则h(1)=6,且h(lnx2)=6,…14分 又h(x)为增函数，故x1=lnx2,也即e5=x2,… 15分 代入e十x1=6,得x1十x2=6,… …16分 又因为eh6.1=6.1, 所以x十x2<eh6.1. 17分 19.【解析】(1)设f(x)=2,g(x)=2x, 令f(x)=g(x),得2r=2x,解得x=1或x=2,… 2分 当x≤1或x≥2时，f(x)≥g(x),故M(x)=f(x)=2; 当1<x<2时，f(x)<g(x),故M(x)=g(x)=2x. 高一数学(B卷)参考答案一4 2,x≤1， 所以M(x)=2x,1<x<2,…3分 2r,x≥2. 可知M(x)在定义域R上单调递增， 当M)=3时x=号， 则M()>3的解集为（号，+∞）. …4分 (2)证明：当f(x)≥g(x)时，min{f(x),g(x)}=g(x), 等式右边=f）十g)-,f）-g=f)+g）-f）-g）]-2g=g(x；…6分 2 当f(x)<g(x)时，min{f(x),g(x)}=f(x), 等式右边=f)+g)-f）-g=fo+gm）-,g)）=f]_2fD）=f(. 2 2 2 综上，等式成立。…8分 (3)因为对任意x1∈[1,3]，有G(x1)≥2. 则G(x)=x2+(2-1)x+b+2-|x2-(2b+1)x-b+2 =(x2-x+2)+(2x十b)-|(x2-x+2)-(2x+b)1 =2(x2-x+2)+2(2x+b)-|2(x2-x+2)-2(2x+b6)1 2 …10分 令k(x)=2(x2-x十2)，h(x)=2(2x十b), 则G(x)=b()+h(x)-b(x)-h(, 2 由(2知，G(）=b()+h(a）-,k(z)-h】l=mink(,hG》,∈[1,3]，.11分 2 若G(x1)≥2对任意x1∈[1,3]恒成立， (k(x1)≥2， 则满足 对任意x1∈[1,3]恒成立.… …13分 h(x1)≥2， 又k)=2(i-+2》=2[(a-）+7]≥2对任意∈[1,3]恒成立， 所以只需h(x1)=2(2x1十b)≥2对任意x1∈[1,3]恒成立， 由于2>0，一次函数h(x1)mm=h(1)=2(20十b)≥2，得2≥1-b,… 15分 由y=2z与y=1一x的图象可知，b≥0. 17分 高一数学(B卷)参考答案一5 长郡中学2025年12月高一学情检测卷 数 学 时量:120分仲 满分：150分 (考试范围：必修第一册第1章~第4章4.4) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合,集合B={2,3,4},则A∩B= A.〈1.4} B.{1.2〉 C.〈2.3} D.{1,2,3,4〉 2.命题“”的否定形式是 A. B. C. D. 3.函数的图象大致为 4.函数的定义域为 A B. C. D. 5.已知命题P:,Q:,则P是Q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知函数在[2,+∞)上是增函数，y=f(x+2)关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是 A. B.(1,3) C.(-1.1) D. 7.若实数x,y,z满足 ,则x,y,z的大小关系不可能是 A.x=y=z B.z>x>y C.z>y>x D.x>y>z 8.已知函数,若当1<x<2时，,则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的是 A.若,则 B.若m>n>0,t>0,则 C.若,则m<n D.若m>n,k>t,则m+k>n+t 10.已知实数a,b都是正数，且满足a+b=1,则下列说法正确的是 A.ab的最大值为 B.a²+2b²的最小值 C.的最小值为 D.的最大值为 11.设函数f(x)和g(x)是定义在R上的非常值函数，g(0)=1.且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)(y)+f(y)g(x),则下列说法正确的是 A.f(0)=0 B.若g(x)为非零函数，则为奇函数 C若g(x)=,则f(4=4e3f(-1) D.若f(x)为奇函数且在R上单调递增，则g(x)>0对任意x∈R成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知幂函数的图象过点(),则f(4)=___ 13.计算：=____. 14.已知函数,若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知集合. (1)当a=1时，求; (2)若,求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知关于x的不等式. (1) 若不等式的解集为,求实数m的值； (2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为f(x),双曲余弦函数为g(x),已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R,且具有如下性质： ①f(x)为奇函数，g(x)为偶函数； ②f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： (1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； (2)设函数,若h(x)在R上的最小值为6,求实数a的值. 18.(本小题满分17分) 已知,且≥0恒成立，当x=0时等号成立，. (1)证明：g(x)≤0.并说明取等号的条件： (2)证明，; (3)已知满足,满足,比较与的大小. 19.(本小题满分17分) 给定函数,对于任意x∈R.函数M(x)表示中的最大者。记为。函数N(x)表示中的最小者。记为, (I)用解析式表示。并求出M(x)>3的解集， (2)证明： (3)设,若对任意∈[1,3].都有≥2,求实数b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $