湖南省名校联合联考2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学一参考答案 题号 y 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 A D 召 C D A B AB ACD AC 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.A【解析】因为集合A={0,1,2,3,4},B={x0≤x<4},则A∩B={0,1,2,3}. 2.C【解析】命题“Vx∈R,x-2>0”的否定是“]x∈R,x-2≤0”. 3.D【解析】集合M=2z-5<4红={女x>-号引N=x≥3，故N=M 4.B【解析】因为x2=4,所以x=2或x=一2，不能推出x=2,充分性不成立， 而由x=2可以推出x2=4,必要性成立，所以“x2=4”是“x=2”的必要不充分条件. 5.C【解答】因为集合A={x∈Z-1<x<2}={0,1},集合A有2个元素， 所以集合A的真子集个数为22-1=3. 6.D【解析】对于A,a-c>b-d不一定成立，例如a=3,b=2,c=5,d=1,满足a>b,c>d,但a-c=-2,b-d =1,一2<1，故A错误； 对于B>骨不一定成立，例如a=2,6=16=-1,d=-2,则只=-2，合-日-2<-号故B错误； 对于C,ac>bd不一定成立，例如a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,ac=bd,故C错误； 对于D,由同向不等式相加保号的性质，a>b且c>d,两式相加得a十c>b十d,故D正确. 7.A【解折]：x>2,x-2>0,x+2=x-2+2十2≥2V-2)·2十2=4，当且仅当x-2= 气即=3时等号成立，所以x十气的最小值为4 8.B【解析】因为AUB={1,2,3},且A∩B=必，所以B是A在全集{1,2,3}中的补集. 设card(A)=k,则card(B)=3-k. 当k=0时，A=心，B={1,2,3},card(A)=0庄A成立，但card(B)=3∈B,不满足card(B)庄B; 当k=3时，A={1,2,3},B=,card(B)=0氏B成立，但card(A)=3∈A,不满足card(A)氏A; 当k=1时，card(A)=1庄A,所以1庄A;card(B)=2在B,所以2度B,从而2∈A. 又card(A)=1,故A={2},B={1,3},验证成立； 当k=2时，card(A)=2在A,所以2在A;card(B)=1tB,所以1度B,从而1∈A. 又card(A)=2,故A={1,3},B={2},验证成立. 因此满足条件的集合A为{2}和{1,3}，共2个. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.AB【解析】对于A,两条对角线相等的菱形是正方形，即P=Q,故A正确； 对于B,依题意，P={0,2},Q={0,2},即P=Q,故B正确； 对于C,由于一1∈P,-1庄Q,则P≠Q,故C错误； 对于D,集合P是函数y=2x十3所有函数值组成的集合，为实数集，集合Q是函数y=2x十3的图象上所有的 点组成的集合，为点集，则P≠Q,故D错误， 高一数学参考答案(26秋L)一1 10.ACD【解析】.集合A={1,2},B={xmx-4=0},A∩B=B,∴.B二A, 当m=0时，则B=,满足B二A; 当m0时，则B=(,由BA,可得是=1或是=2，解得m=4或m=2 综上所述，实数m的取值可以为0,2,4. 11.AC【解析】对于A,由x十2y=4,且x+2y≥2√2xy,得4>2W√2xy,左右两边同时平方得16≥8xy,即xy≤ 2,当且仅当x=2y=2时取等号，故xy的最大值为2，故A正确； 对于B,法一：(x十2)(y十1)=xy十x+2y+2=xy+6,由选项A知xy≤2，可得(x+2)(y十1)≤2+6=8，当 x=2y=2时，取最大值8，故B错误； 法二：由x=4-2y,且x>0,y>0,得0<y<2,则(x+2)(y+1)=(6-2y)(y+1)=-2y2+4y+6= 一2(y一1)2+8，当x=2y=2时，取最大值8，故B错误； 对于C,法一：由(x十2y)2=x2+4y2+4xy=16,得x2+4y2=16-4xy,由选项A知xy≤2，可得x2+4y2≥16 一4X2=8,当x=2y=2时，取最小值8，故C正确； 法二+4=十2≥》-号=8，当x=2=2时，取最小位8，故C正确： 2 对于D,2+(侵+安》+2)=++云)≥(2+22·密)=1，当x=2y=2时，取小 值1，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.5【解析】因为U={xx是小于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8}，又A={2,4,6},所以CA={1,3,5,7,8}, 故集合CuA中元素的个数为5. 13.3<2<6【解析】因为2<x<3,0<y<1,所以4<2x<6,-1<-y<0,所以3<2x-y<6,即3<z<6. 14.4【解析】命题“31≤x≤2，使得2x-a>0”是假命题， 则该命题的否定“V1≤x≤2,2x一a≤0”是真命题，故a≥(2x)max, 当1≤x≤2时，y=2x随着x的增大而增大，所以y=2x的最大值为4， 所以a≥4，所以实数a的最小值为4. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)当a=1时，集合A={xa-4≤x≤2a十1}={x|-3≤x≤3}，…(2分) 又B={x-8<3x-2<10}={x-2<x<4},… (4分) .AUB={x-3≤x<4}.… …(6分) (2)“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件， B是A的真子集.… 。。。。。。。。。。。。。 …(8分) 又A={xa-4≤x≤2a+1},B={x|-2<x<4}, 2a+1≥a-4, ∴.2a十1≥4， ………………………………………… (10分) a-4≤-2， 解得号<a<2, 故实教a的取值范周是{a多<a≤2， (13分) 16.【解析】(1)当a=3时，集合A=〈2,3}，集合B={2,4,6}, (2分) 则A∩B={2},…(4分)》 AUB={2,3,4,6}. (6分) 高一数学参考答案(26秋L)一2 (2)因为AUB=B,所以A二B. (7分) 当a=2时，集合A={2},集合B={2,4,2},不满足元素的互异性，舍去；…(8分) 当a≠2时，集合A={2,a},集合B={2,4,a2-a}, 因为A二B,所以a∈B, 所以a=4或a=a2一a,解得a=4或a=0或a=2(舍去).… (10分) 当a=4时，A={2,4},B={2,4,12},满足A二B,符合题意；… (12分) 当a=0时，A={2,0},B={2,4,0},满足A二B,符合题意.… (14分) 综上，实数Q的值为4或0.…（们5分） 17.【解析】(1)(1)由4x十y=xy,可得xy=4x十y>≥2W√4xy=4Wxy,则xy≥16，…(2分) 当且仅当y=4x,即x=2,y=8时取等号， 所以xy的最小值为16.…。 (5分) (i)由4x十y=xy,可得4+1=1， …(（6分) 到9z+y-(停+2》水9z+-18+5+￥≥13+2/g·名-2点.…9分） y 当且仅当-兰，即y一6，即x一号y一10时取等号 所以9x十y的最小值为25.… (11分) (2)因为x>0,y>0,且x+y=1, 所以y14三y土4x十y业=义十十4>2√·十4=8，………4分 (14分) xy x 当且仅当是-钙，即=2红，即x=3y=号时取等号， 所以义十4≥8得证。 x y (15分) 18.【解析】(1)由题意得，年销售收入为8x万元， 当0<x<8时，y=8x-3-(x2-2x+8)=-x2+10x-11; (4分) 当≥8时y-8x-3-(9x+14-60）-57-(+14) -x2+10x-11,0<x<8, 则y57-(+4)28, (8分) (2)当0<x<8时，y=-x2+10x-11=-(x-5)2+14, 所以当x=5时，y取得最大值14；… (12分) 当≥8时，y=51-(+4), 由然本不等式可得z+4≥2V…4-24,当且仅当x-14,即x=12时取等号， x 所以y≤57一24=33，当x=12时，y取得最大值33.…(16分) 综上可知，当有机蔬菜年产量为12万斤时，最大年利润为33万元.…(17分) 19.【解析】(1)对于集合S={xx=3k,k∈Z}, 任取k1,k2∈Z,则k1十k2∈Z,k1k2∈Z, ,3k1十3k2=3(k1十k2)∈S,3k1·3k2=3X(3k1k2)∈S, 集合S是“和谐集”.…(4分) 高一数学参考答案(26秋L)一3 (2)证明：情形一：当M=R时，CRM=⑦， ⑦不是非空集合，不满足“和谐集”定义，.CRM不是“和谐集”；…(6分) 情形二：当M≠R时，反证法：假设CRM是“和谐集”， ①若0∈M,则0庄CRM, 当M={0}时，可得1∈CRM,-1∈CRM, ,CRM是“和谐集”，∴.1十(-1)=0∈CRM,与0∈M矛盾，∴.CRM不是“和谐集”； 当M中含有非零元素时，在CRM中任取一个数x(x≠0)， 若一x∈(CRMD,CRM是“和谐集”，∴.x十(-x)=0∈CRM,与0∈M矛盾，∴.-x∈M. ,非空集合M是“和谐集”，CRM是“和谐集”， ∴.(-x)·(-x)=x2∈M,x·x=x2∈CRM,与M∩(CRM)0=矛盾， ∴.0∈M时，C取M不是“和谐集”；…(9分) ②若0∈CRM,则0庄M, 当CRM={0}时，可得1∈M,一1∈M, ,M是“和谐集”，∴.1十（-1)=0∈M,与0∈CRM矛盾，∴.CRM不是“和谐集”； 当CRM中含有非零元素时，在M中任取一个数a(a≠0)， 若-a∈M,.M是“和谐集”，∴.a十(-a)=0∈M,与0∈CRM矛盾，∴.一a∈CRM, ,非空集合M是“和谐集”，CRM是“和谐集”， ∴.a·a=a2∈M,(-a)·(-a)=a2∈CRM,与M∩(CRMW=☑矛盾， ∴.0∈CRM时，CRM不是“和谐集”. 综上，假设不成立，故CRM不是“和谐集”.… (12分) (3).'0a1<a2<a3<<an,a1+a2+…+an=a1Xa2X…Xam, .a1Xa2X…Xan=a1十a2十…十an<nan,得a1Xa2X…Xam-1<n. (13分) 当n=2时，即有a1<2,又a1为正整数，所以a1=1, 又1十a2-1×a2,得1=0，矛盾，故n=2时不存在满足条件的集合P; 当n=3时，a1a2<3,又a1<a2,a1,a2为正整数，故a1=1,a2=2, 又1十2十a3=1×2Xa3,解得a3=3,故P={1,2,3}; 当n≥4时，由a1Xa2X…×am-1≥1X2X3×…X(n-1),即有n>1X2X3X…X(n-1), 而1×2×3×…X(n-1)≥2(n一1)>n,矛盾，故n≥4时不存在满足条件的集合P, 综上，满足条件的集合P={1,2,3}.… (15分) 1∈P,3∈P,而1十3=4氏P,不满足对任意x,y∈P,都有x十y∈P, .集合P={们，2,3}不是“和谐集”…(17分) 高一数学参考答案(26秋L)一4高一数学一 时量：120分钟 满分：150分 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.已知集合A=(0,1,2,3,4),B=(x0≤x<4),则A∩B= 北 A.(0,1,2,3） B.（1,2,3,4) C.(0,1,2) D.(0,1,2,3,4) 毁 2.命题“Vx∈R,x-2>0”的否定是 筋 A.Vx∈R,x-2≤0 B.3x∈R,x-2<0 如 C.]x∈R,x-2≤0 D.Vx∈R,x-2<0 拟 长 3.已知集合M=(x|2x一5<4x),N={x|x≥3)，则集合M与N的关系是 ☒ A.M=N B.N∈M C.M车N D.NM 郡 4.“x2=4”是“x=2”的 略 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知集合A=(x∈Z引一1<x<2),则集合A的真子集个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.若a>b,c>d,则下列不等式一定成立的是 折 A.a-cb-d B>资 C.acbd D.a+c-6+d 7已知>2，则2十，2的最小值为 A.4 B.6 C.8 D.10 高一数学试卷(26秋L)第1页（共6页） 8.设有限集M所含元素的个数用card(M)表示，并规定card(⑦)=0.已知集合A,B满足AUB= (1,2,3),A∩B=心，若card(A)任A,card(B)￠B,则满足条件的所有不同集合A的个数为 A.1 B.2 C.4 D.6 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)》 9.下列选项中的两个集合相等的是 A.P=(x|x是正方形}，Q=(x|x是两条对角线相等的菱形) B.P=(0,2〉，Q={x|x2-2x=0} C.P=(xlx=3n-1,n∈N},Q={xlx=3n+2,n∈N) D.P=(yly=2x十3)，Q={(x,y)|y=2x十3) 10.已知集合A=(1,2〉，B=(xmx一4=0)，若A∩B=B,则实数m的取值可以为 A.0 B.1 C.2 D.4 11.已知正实数x,y,满足x十2y=4,则下列结论正确的是 A.xy的最大值为2 B.(x十2)(y+1)的最大值为4 C.x2+4y2的最小值为8 D二+号的最小值为2 选择题答题卡 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知全集U={xx是小于9的正整数)，集合A={2,4,6),则集合CuA中元素的个数为 13.已知2<x<3,0<y<1,则z=2x一y的取值范围为 14.若命题“]1≤x≤2，使得2x一a>0”是假命题，则实数a的最小值为 高一数学试卷(26秋L)第2页（共6页） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知集合A=(xa-4≤x≤2a+1),B={x|-8<3x-2<10). (1)若a=1,求AUB; (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16.（本小题满分15分) 已知a∈R,集合A={x|(x-2)(x-a)=0},B={2,4,a2-a}. (1)若a=3,求A∩B,AUB; (2)是否存在实数a,使得AUB=B?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分15分) 已知x>0,y>0. (1)若4x+y=xy. (I)求xy的最小值； (‖)求9x十y的最小值 (2)若x+y-1,证明：+号≥8. 高一数学试卷(26秋L)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 小张大学毕业后返乡创办“智慧大棚”种植有机蔬菜.经市场调查，需投人年固定成本3万元，每 生产x万斤有机蔬菜，需另投人流动成本W万元.在年产量不足8万斤时，W=x2一2x十8；在年 产量不小于8万斤时，W=9.x十144一60.每斤有机蔬菜售价为8元，假设小张种植的有机蔬菜 当年能全部售完. (1)写出年利润y(万元)关于年产量x(万斤)的函数解析式；（注：年利润=年销售收人一固定成 本一流动成本) (2)年产量为多少万斤时，小张在这一年种植的有机蔬菜中所获年利润最大？最大年利润是 多少？ 高一数学试卷(26秋L)第5页（共6页） 19.（本小题满分17分) 设M是R的非空子集，若对任意x,y∈M,都有x十y∈M且xy∈M,则称M为“和谐集”. (1)判断集合S=(x|x=3k,∈Z)是否为“和谐集”，并说明理由； (2)若非空集合M是“和谐集”，设全集为R,证明：CRM不是“和谐集”； (3)若有限集P={a1,a2,…,an)(n≥2，n∈N'且a1<a2<a3<…<an)中的元素均为正整数，且 满足a1十a2十…十an=a1Xa2X…Xan.求出集合P,并判断集合P是否为“和谐集”. 高一数学试卷(26秋L)第6页（共6页）