第三单元分数除法（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

第三单元 分数除法（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、倒数的认识 1. 倒数的意义 （1）乘积是1的两个数互为倒数。 （2）倒数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倒数。 2. 特殊数的倒数 （1）1的倒数是1。 （2）0没有倒数。 3. 求倒数的方法 （1）分数：直接交换分子、分母的位置。 （2）非0整数：先写成分母为1的分数，再交换分子、分母位置。 （3）小数：先化为分数，再求倒数。 4. 倒数大小规律 （1）真分数的倒数大于1。 （2）假分数的倒数小于或等于1。 二、分数除法计算法则 1. 通用计算法则 （1）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 2. 分数除以整数 （1）分数除以不为0的整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数 （1）整数、分数除以分数，统一转化为乘除数的倒数再计算。 4. 带分数计算要求 （1）含有带分数的除法，先把带分数化成假分数，再计算。 三、分数除法商的变化规律 1. 大小变化规律（被除数不为0） （1）除数大于1，商小于被除数。 （2）除数小于1（不为0），商大于被除数。 （3）除数等于1，商等于被除数。 四、分数混合运算 1. 运算顺序 （1）无括号算式，先算乘除，后算加减。 （2）只有乘除运算，从左往右依次计算。 （3）有小括号，先算括号里面的，再算括号外面的。 2. 运算定律 （1）整数的运算定律同样适用于分数运算，可用于简便计算。 五、分数除法实际应用核心关系 1. 核心数量关系 （1）单位“1”未知，用除法计算。 （2）对应量÷对应分率＝单位“1”的量。 2. 基础题型 （1）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用分数除法。 六、单元核心易错知识点 1. 倒数易错点 （1）误认为0有倒数、1没有倒数。 （2）单独描述某数是倒数，忽略倒数相互依存的关系。 2. 计算易错点 （1）分数除法未转化成乘法，直接分子分母相除。 （2）计算时错乘被除数的倒数，或找错除数的倒数。 （3）未先转化假分数，直接计算带分数除法。 3. 规律易错点 （1）记错商的变化规律，混淆除数大小与商的变化关系。 （2）忽略被除数为0的特殊情况。 4. 应用易错点 （1）分不清单位“1”已知和未知，乱用乘法、除法。 （2）找不准已知量对应的分率，导致列式错误。 例题讲解 【典型例题】40吨是( )吨的，3千米的与7千米的( )长度相等。 【典型例题】有两块试验田，第一块占地公顷，是第二块的，则第二块占地( )公顷。 【典型例题】小明在计算一个数除以时，看成了乘，得到的答案是，正确的答案是多少？ 【典型例题】惠民蜜桃不但是美味的时鲜果品，加工成桃汁饮料更受欢迎。乐乐最喜欢喝家乡特产的桃汁，一瓶桃汁升，家中有大杯子和小杯子，大杯子可以盛升，小杯子可以盛升。这瓶桃汁用大杯子装可以倒满几杯？用小杯子装可以倒满几杯？ 提升练习 一、填空题 1．某果园今年售出苹果480吨，是售出水果总质量的。今年共售出水果( )吨。 2．用吨的大豆可以榨出吨的豆油，要榨1吨的豆油需要( )吨大豆，1吨大豆能榨出( )吨豆油。 3．甲数的等于乙数的。如果甲数是100，那么乙数是( )。 4．比12米的多2米是( )米；12米比( )米的多2米。 5．如果a、b互为倒数，那么( )。 6．一根绳子，剪去后还剩12米，这根绳子原来长( )米。想：剩下的12米对应全长的( )，列式为( )。 7．桃树有48棵，比梨树棵数的多8棵。梨树有( )棵。 8．一个数除以，就是把这个数扩大到原来的( )倍。 二、选择题 9．如果a与b互为倒数，那么的结果是（    ）。 A． B． C． D． 10．有一面三角形小旗，面积是平方米。若它的底是米，则高是（    ）米。 A． B． C． D． 11．一个数（0除外）除以，这个数就（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的4倍 C．比原来减少了 D．比原来增加了4倍 12．一个不为0的自然数除以后，这个数就（    ）。 A．增加9倍 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．减少 13．一个不为0的数的倒数比它本身大，那么这个数（    ）。 A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定 三、判断题 14．虽然，但是3.7是小数，所以它不是的倒数。( ) 15．数学课上，小明说：“一个非0自然数除以，这个数就扩大到原来的4倍。”小明的说法对吗？( ) 16．一台空调现价比原价降低了，正好降低了300元，这台空调的现价是2100元。( ) 17．某工程队2天完成一项工程的，照这样的进度，这支工程队完成这项工程需7天。( ) 18．除以一个非零数可以写成乘这个数的倒数。( ) 四、计算题 19．计算下面各题。          五、解答题 20．青岛G204国道大沽河桥路段全长约千米，3天修了它的，平均每天修多少千米？ 21．黄河文化是中华文明的重要组成部分，是中华民族的根和魂。黄河在山东境内全长为638千米，比黄河全长的少45千米。黄河全长多少千米？ 22．动物心跳的快慢和体重有关，体重越重，心跳越慢；体重越轻，心跳越快。大象每分钟的心跳次数是40次，大象每分钟的心跳次数约是老鼠的。老鼠每分钟的心跳约是多少次？ 23．育才小学买来375本科技书，买来的故事书比科技书本数的还多45本。学校买来多少本故事书？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 分数除法（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、倒数的认识 1. 倒数的意义 （1）乘积是1的两个数互为倒数。 （2）倒数是相互依存的关系，不能单独说一个数是倒数。 2. 特殊数的倒数 （1）1的倒数是1。 （2）0没有倒数。 3. 求倒数的方法 （1）分数：直接交换分子、分母的位置。 （2）非0整数：先写成分母为1的分数，再交换分子、分母位置。 （3）小数：先化为分数，再求倒数。 4. 倒数大小规律 （1）真分数的倒数大于1。 （2）假分数的倒数小于或等于1。 二、分数除法计算法则 1. 通用计算法则 （1）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 2. 分数除以整数 （1）分数除以不为0的整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数 （1）整数、分数除以分数，统一转化为乘除数的倒数再计算。 4. 带分数计算要求 （1）含有带分数的除法，先把带分数化成假分数，再计算。 三、分数除法商的变化规律 1. 大小变化规律（被除数不为0） （1）除数大于1，商小于被除数。 （2）除数小于1（不为0），商大于被除数。 （3）除数等于1，商等于被除数。 四、分数混合运算 1. 运算顺序 （1）无括号算式，先算乘除，后算加减。 （2）只有乘除运算，从左往右依次计算。 （3）有小括号，先算括号里面的，再算括号外面的。 2. 运算定律 （1）整数的运算定律同样适用于分数运算，可用于简便计算。 五、分数除法实际应用核心关系 1. 核心数量关系 （1）单位“1”未知，用除法计算。 （2）对应量÷对应分率＝单位“1”的量。 2. 基础题型 （1）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用分数除法。 六、单元核心易错知识点 1. 倒数易错点 （1）误认为0有倒数、1没有倒数。 （2）单独描述某数是倒数，忽略倒数相互依存的关系。 2. 计算易错点 （1）分数除法未转化成乘法，直接分子分母相除。 （2）计算时错乘被除数的倒数，或找错除数的倒数。 （3）未先转化假分数，直接计算带分数除法。 3. 规律易错点 （1）记错商的变化规律，混淆除数大小与商的变化关系。 （2）忽略被除数为0的特殊情况。 4. 应用易错点 （1）分不清单位“1”已知和未知，乱用乘法、除法。 （2）找不准已知量对应的分率，导致列式错误。 例题讲解 【典型例题】40吨是( )吨的，3千米的与7千米的( )长度相等。 【答案】 100 【分析】第一空，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用40除以即可；第二空，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用3乘求出3千米的，然后根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算；用乘积除以7千米即可。 【详解】40÷＝40×＝100（吨） 3×÷7 ＝÷7 ＝× ＝ 所以，40吨是100吨的，3千米的与7千米的长度相等。 【典型例题】有两块试验田，第一块占地公顷，是第二块的，则第二块占地( )公顷。 【答案】//1.2 【分析】已知第一块占地公顷，是第二块的，把第二块试验田的面积看作单位“1”，单位“1”未知，用第一块试验田的面积除以，求出第二块试验田的面积。 【详解】÷ ＝× ＝（公顷） 【典型例题】小明在计算一个数除以时，看成了乘，得到的答案是，正确的答案是多少？ 【答案】 【分析】一个数乘等于，则这个数等于除以；接下来用得到的数除以，即可求出正确的答案。 【详解】 答：正确的答案是 【典型例题】惠民蜜桃不但是美味的时鲜果品，加工成桃汁饮料更受欢迎。乐乐最喜欢喝家乡特产的桃汁，一瓶桃汁升，家中有大杯子和小杯子，大杯子可以盛升，小杯子可以盛升。这瓶桃汁用大杯子装可以倒满几杯？用小杯子装可以倒满几杯？ 【答案】大杯3杯；小杯4杯 【分析】求升桃汁可以倒满升大杯子几杯，就是求升里面有几个升，用除法计算； 求升桃汁可以倒满升小杯子几杯，就是求升里面有几个升，用除法计算。 【详解】 （杯） （杯） 答：这瓶桃汁用大杯子装可以倒满3杯，用小杯子装可以倒满4杯。 提升练习 一、填空题 1．某果园今年售出苹果480吨，是售出水果总质量的。今年共售出水果( )吨。 【答案】576 【分析】把今年售出水果总质量看作单位“1”，已知果园今年售出苹果480吨是售出水果总质量的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。 【详解】480÷＝480×＝576（吨） 即今年共售出水果576吨。 2．用吨的大豆可以榨出吨的豆油，要榨1吨的豆油需要( )吨大豆，1吨大豆能榨出( )吨豆油。 【答案】 / 【分析】求榨1吨的豆油需要多少吨大豆，先求出1吨里面有多少个吨，就是需要多少个吨的大豆；要求1吨大豆能榨油多少吨，用豆油数量除以大豆数量即可。 【详解】1÷× ＝1×× ＝（吨） ÷ ＝× ＝（吨） 3．甲数的等于乙数的。如果甲数是100，那么乙数是( )。 【答案】120 【分析】用甲数×求出甲数的是多少，也就是乙数的。再根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法，列式：100×÷求出乙数。 【详解】100×÷ ＝20÷ ＝20×6 ＝120 4．比12米的多2米是( )米；12米比( )米的多2米。 【答案】 6 30 【分析】（1）求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；先求12米的，用乘法计算：再多2米，就是加上2即可。 （2）12米比某个数的还多2米，先把多出来的2米减掉，剩下的就刚好是这个未知数量的；已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，再用第一步的结果除以即可。 【详解】（1） （米） （2） （米） 5．如果a、b互为倒数，那么( )。 【答案】/0.125 【分析】互为倒数的两个数的乘积为1，所以a×b＝1，代入算式中计算即可解答。 【详解】a×b＝1 6．一根绳子，剪去后还剩12米，这根绳子原来长( )米。想：剩下的12米对应全长的( )，列式为( )。 【答案】 18 ＝18 【分析】把绳子的总长度看作单位“1”，剪去了全长的，用1减求出剩下的部分占全长的分率，也就是剩下的12米对应全长的（1－）；已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，所以用剩下的长度12米除以（1－），就能算出绳子原来的总长度。 【详解】 （米） 所以一根绳子，剪去后还剩12米，这根绳子原来长18米，想：剩下的12米对应全长的，列式为12÷（1－）＝18。 7．桃树有48棵，比梨树棵数的多8棵。梨树有( )棵。 【答案】50 【分析】先减去多出的8棵求出梨树棵数的有多少，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可。 【详解】 （棵） 8．一个数除以，就是把这个数扩大到原来的( )倍。 【答案】9 【分析】除以一个不为0的数等于乘它的倒数。 【详解】一个数除以，等于这个数乘9，也就是把这个数扩大到原来的9倍。 二、选择题 9．如果a与b互为倒数，那么的结果是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】互为倒数的两个数乘积为1，据此根据题意可知ab＝1；分数除法的计算规则：除以一个分数等于乘这个分数的倒数；据此将除法算式改写成乘法算式，再进一步解答即可。 【详解】由题意可知，ab＝。 ＝＝＝ 即的结果是。 10．有一面三角形小旗，面积是平方米。若它的底是米，则高是（    ）米。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，可知，高＝三角形的面积×2÷底，代入数据，即可求出高是多少米。 【详解】×2÷ ＝÷ ＝× ＝（米） 即高是米。 11．一个数（0除外）除以，这个数就（    ）。 A．缩小到原来的 B．扩大到原来的4倍 C．比原来减少了 D．比原来增加了4倍 【答案】B 【分析】一个数（0除外）除以分数等于乘这个数的倒数。 【详解】一个数（0除外）除以，等于乘以的倒数，的倒数是4，相当于这个数乘4，即扩大到原来的4倍。 故答案为：B 12．一个不为0的自然数除以后，这个数就（    ）。 A．增加9倍 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．减少 【答案】B 【分析】根据分数除法的计算方法，一个不为0的数除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，可以假设这个自然数为2计算出结果后，再除以2解答即可。 【详解】假设这个不为0的自然数是2 18÷2＝9 则一个不为0的自然数除以后，这个数就扩大到原来的9倍。 13．一个不为0的数的倒数比它本身大，那么这个数（    ）。 A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定 【答案】B 【分析】以2、1、为例，找出三个数的倒数，根据这三个数的倒数与三个数的关系作出判断即可。 【详解】2＞1，2的倒数是，＜2； ＜1，的倒数是2，2＞； 1＝1，1的倒数是1，1＝1； 所以，一个不为0的数的倒数比它本身大，那么这个数小于1。 三、判断题 14．虽然，但是3.7是小数，所以它不是的倒数。( ) 【答案】× 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，据此判断即可。 【详解】，所以3.7是的倒数，原说法错误。 故答案为：× 15．数学课上，小明说：“一个非0自然数除以，这个数就扩大到原来的4倍。”小明的说法对吗？( ) 【答案】√ 【分析】根据分数除法的计算法则，一个数除以分数等于乘这个分数的倒数，转化算式后判断数的变化情况。 【详解】假设这个非0自然数为a， 原数a经过运算后变为，即扩大到原来的4倍。题目说法正确。 故答案为：√ 16．一台空调现价比原价降低了，正好降低了300元，这台空调的现价是2100元。( ) 【答案】√ 【分析】已知一台空调现价比原价降低了，是把这台空调的原价看作单位“1”，降低的300元是原价的，单位“1”未知，用降低的钱数除以，求出这台空调的原价；再用原价减去降低的钱数，求出空调的现价，据此判断。 【详解】300÷ ＝300×8 ＝2400（元） 2400－300＝2100（元） 这台空调的现价是2100元。 原题说法正确。 故答案为：√ 17．某工程队2天完成一项工程的，照这样的进度，这支工程队完成这项工程需7天。( ) 【答案】√ 【分析】把这项工程看作单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间，据此求出工程队每天完成的工作量；工作时间＝工作总量÷工作效率，用总量1除以每天完成的工作量即可得到完成全部工程需要的总时间。 【详解】每天完成的工作量：＝＝ 完成总工程需要的时间：＝1×7＝7（天） 这支工程队完成这项工程需要7天，原题说法正确。 故答案为：√ 18．除以一个非零数可以写成乘这个数的倒数。( ) 【答案】√ 【分析】根据除法的基本法则内容，已经明确除数是“非零数”，对应倒数存在的前提条件，所以判断该表述是否符合除法法则的定义即可。 【详解】根据除法的计算法则：除以一个非零的数等于乘这个数的倒数，题干表述与该法则完全一致。 如： 故答案为：√ 四、计算题 19．计算下面各题。          【答案】；； 【分析】除以一个分数等于乘这个分数的倒数，据此将分数连除法或乘、除混合运算转化为分数连乘，能约分的先约分，约分后再将分子相乘的结果作为新的分子，分母相乘的结果作为新的分母即可。 【详解】 ＝ ＝     ＝ ＝ ＝    ＝     ＝ ＝     ＝ 五、解答题 20．青岛G204国道大沽河桥路段全长约千米，3天修了它的，平均每天修多少千米？ 【答案】千米 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用青岛G204国道大沽河桥路段全长乘3天修的长度占的分率，先求出3天修的长度，再除以3，即可求出平均每天修多少千米。 【详解】 ＝ ＝（千米） 答：平均每天修千米。 21．黄河文化是中华文明的重要组成部分，是中华民族的根和魂。黄河在山东境内全长为638千米，比黄河全长的少45千米。黄河全长多少千米？ 【答案】5464千米 【分析】将黄河的全长看作单位“1”，则山东境内的长度638千米和45千米的和为黄河全长的； 根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，可以用除法解决”，用（638＋45）除以对应的分率即可求出黄河的全长。 【详解】（638＋45）÷ ＝683÷ ＝683×8 ＝5464（千米） 答：黄河全长5464千米。 22．动物心跳的快慢和体重有关，体重越重，心跳越慢；体重越轻，心跳越快。大象每分钟的心跳次数是40次，大象每分钟的心跳次数约是老鼠的。老鼠每分钟的心跳约是多少次？ 【答案】500次 【分析】将老鼠每分钟的心跳次数设为单位“1”，因为单位“1”的量未知，所以用具体量除以对应分率直接计算单位“1”的量。 【详解】40÷ ＝40× ＝500（次） 答：老鼠每分钟的心跳是500次。 23．育才小学买来375本科技书，买来的故事书比科技书本数的还多45本。学校买来多少本故事书？ 【答案】270本 【分析】把科技书的本数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，计算出科技书本数的，然后加上多的45本即可得到故事书的本数。 【详解】 ＝225＋45 ＝270（本） 答：学校买来270本故事书。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $