精品解析：内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年第一学期10月八年级数学阶段测试卷 满分：100分钟，限时：90分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ） A. 3 B. 10 C. 6.5 D. 3或6.5 【答案】C 【解析】 【分析】分3为等腰三角形的腰长和底边长两种情况，结合三角形的三边关系即可解答. 【详解】解：若一腰长为3，则另一腰长也为3，于是由三角形的周长是16可得：底边长为10，由于，所以此种情况不能构成三角形，舍去； 若底边长为3，则腰长为，满足题意； 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，正确分类是解题的关键. 2. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的认识，先观察图，再分析出边上的高是线段，即可作答． 【详解】解：观察图，得边上的高是线段， 故选：A 3. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（   ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性． 故选C． 4. 在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 5. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 6. 如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于． 7. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 8. 如图，O为内的一点，D为AB边上的一点，，，，连接CD．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易证，然后可判断①②，根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可判断③，过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，证明，根据全等三角形的性质可得，利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是______． 【答案】##110度 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质可得，再由，即可求解． 【详解】解：在直线m上点E的左侧取点D，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点分别在边上，过点E作于点H．当，，时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，勾股定理，根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在和中，与交于点E，已知．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先证明，，然后根据全等三角形的性质得到，再结合周角求出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 12. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有，，， ∵， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， ∴， 解得：，即点的运动速度是； 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是； 综上所述，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 已知的三边长是a，b，c. （1）若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长； （2）化简 【答案】（1）4或6 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的长； （2）根据三角形三边关系确定，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可． 【小问1详解】 解：∵的三边长是a，b，c，，， ∴， 即， ∵三角形的周长是小于18的偶数， ∴或； 【小问2详解】 解：∵的三边长是a，b，c， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 14. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，则______，______． （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明：平分， ∴． ， ． ， ， ． 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，根据三角形外角的定义和性质分别计算和； （2）由平分得到，再利用三角形外角的定义和性质表示出和，通过角度的等量代换即可证明． 【小问1详解】 解：，， . 是的平分线， ， ． 【小问2详解】 略 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC． （1）求证：△ABE≌△DCE． （2）试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 【答案】 （1）证明：∵∠EAD＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝135°， ∵∠EDC＝135°， ∴∠BAE＝∠CDE， ∵点D是AC的中点， ∴AC＝2CD， 又∵AC＝2AB， ∴CD＝AB， 在△ABE和△DCE中 ． ∴△ABE≌△DCE（SAS）； （2）BE＝EC，BE⊥EC，理由如下： 由（1）知，△ABE≌△DCE， ∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠BED＝90°， ∴∠DEC+∠BED＝90°， 即：∠BEC＝90°， ∴BE⊥EC． 【解析】 【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△DCE； （2）BE＝EC，BE⊥EC，证△ABE≌△DCE，推出BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，求出∠DEC+∠BED＝90°即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 16. 是的角平分线． （1）如图1，于点E．若，求的度数； （2）如图2，P是延长线上一点，过P作于点F．求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得的度数，即可求解； （2）根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可得，即可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 略 17. “万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），项目活动报告如下: 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得的长为． 任务1: 河流的宽度为_____________m； 任务2: 请你说明他们做法的正确性． 【答案】任务1：5； 任务2：证明：依题意得：点A，C，E在同一条直线上，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 所以他们的做法是正确的． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明即可得出结论． 【详解】解：任务1：5 任务2：略 18. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：成立，证明：如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3） ， 如图3，过点C作，，垂足分别为M、N， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【小问1详解】 证明：如图1， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月八年级数学阶段测试卷 满分：100分钟，限时：90分 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ） A. 3 B. 10 C. 6.5 D. 3或6.5 2. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（   ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 4. 在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 7. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，O为内的一点，D为AB边上的一点，，，，连接CD．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是______． 10. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点分别在边上，过点E作于点H．当，，时，则的长为______． 11. 如图，在和中，与交于点E，已知．若，则的度数为______． 12. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 已知的三边长是a，b，c. （1）若，，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长； （2）化简 14. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． （1）若，，则______，______． （2）求证：． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC． （1）求证：△ABE≌△DCE． （2）试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 16. 是的角平分线． （1）如图1，于点E．若，求的度数； （2）如图2，P是延长线上一点，过P作于点F．求证：． 17. “万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），项目活动报告如下: 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得的长为． 任务1: 河流的宽度为_____________m； 任务2: 请你说明他们做法的正确性． 18. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________； （2）【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $