精品解析：江苏省南京市第二十九中学2026-2027学年第一学期高一第一次阶段性检测数学试题

南京市第二十九中学高一第一次阶段性检测 数学试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知命题为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. . C. D. 5. 已知全集，，是的子集，且，，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 7. 已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 若，则满足戴德金分割 B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则实数_________. 13. 若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 14. 对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 16. 求关于x的不等式的解集． 17. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 18. （1）已知，，关于x的不等式的解集为，求m，n的关系式； （2）若a，b都是正数，且，求的最小值； （3）若，求的最大值． 19. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数b，二次函数恒有不动点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市第二十九中学高一第一次阶段性检测 数学试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集的定义，将两个集合的范围合并即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为. 故选：D 3. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出的充要条件，利用充分必要条件概念判断. 【详解】，即，等价于，解得， 所以的充要条件为， 使“”成立的一个充分不必要条件是. 故选：B. 4. 已知命题为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. . C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式恒成立，借助判别式即可求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 若，则不等式等价为，对于不恒成立， 若，则，解得：， 所以实数的取值范围为； 故选：B 5. 已知全集，，是的子集，且，，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定，，再结合，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，又， 所以无论是否属于， 都有， 故选：C 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 7. 已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【详解】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 8. 若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数，恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案． 【详解】对任意实数，，不等式恒成立， 则对于任意实数，恒成立， 则只需求的最大值即可，， 设，则， 再设，则 ， 当且仅当，即时取得“＝”． 所以，即实数a的最小值为． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由可得，故，A正确， 对于B, ,故，B正确， 对于C, ,则，故C错误， 对于D,由可得，由得，故，进而，即，D正确， 故选：ABD 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对进行变形，结合基本不等式逐项进行分析. 【详解】选项A：由得，， 又，，所以， 所以， 因为，所以，所以.故选项A正确. 选项B：由得，， 则， 又，所以，当且仅当即时，等号成立.故选项B错误. 选项C：， 又，所以，当且仅当即时，等号成立. 故选项C正确. 选项D：由得，， 所以， 由选项C知，当时，取得最小值， 故的最小值为.故选项D正确. 故选：ACD 11. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 若，则满足戴德金分割 B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，，A错；BD选项，可举出例子；C选项，推理出，C错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，设，满足， 此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确； C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，故C错误； D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，结合集合元素特性求解即得. 【详解】集合中，，即，解得且， 则，由，得，所以. 故答案为： 13. 若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为二次函数，所以， 又二次函数有两个零点，所以的， 综上，实数a的取值范围是. 14. 对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用更换主元方法，将以x为变量的二次不等式转化为以为自变量的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的单调性求解即可. 【详解】将不等式整理为关于的一次函数形式：， 设， 对任意实数，恒成立，则且， 解得：或. 检验端点值：当时，原不等式为，不成立； 当时，对任意实数，恒成立. 综上：实数x的取值范围为或. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1），；（2），，. 【解析】 【分析】（1）分是否等于0两种情况讨论即可； （2）分是否等于0两种情况讨论即可. 【详解】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意； 情形二：若，且集合中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得； 综上所述，实数的所有取值可能为：，； （2）， 情形一：当时，，此时满足，故符合题意； 情形二：当时，， 若要，则当且仅当或， 解得或； 综上所述，实数的值可能是：，，. 16. 求关于x的不等式的解集． 【答案】当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】对含参数的不等式，按、、、分类讨论，比较两根与的大小，结合二次项系数正负求解不等式解集. 【详解】当时，，不等式可化为，解得或； 当时，不等式即，解得； 当时，不等式即，无解； 当时，，不等式即，解得； 当时，，不等式即，解得； 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 18. （1）已知，，关于x的不等式的解集为，求m，n的关系式； （2）若a，b都是正数，且，求的最小值； （3）若，求的最大值． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【解析】 【分析】(1）利用根与系数的关系即可求解；（2）结合基本不等式和一元二次不等式的解法可求解；（3）设，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】(1)由根与系数的关系可得：，解得， 所以. （2）因为a，b都是正数，则，即， 解得，则. 所以的最小值为9. (3)设，则 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 19. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数b，二次函数恒有不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）和3 （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，令，解一元二次方程即可. （2）根据已知条件列出不等式组，然后根据韦达定理化简表达式，最后利用基本不等式的性质计算即可. （3）根据已知条件列出方程与不等式，进而计算出结果. 【小问1详解】 令，则，即. 解得或，所以二次函数的不动点为和3. 【小问2详解】 解：令，整理得. 由题意得：，解得. . 令，则代入得. 当且仅当，即时，也即是时等号成立，此时的最小值为5. 【小问3详解】 解：令，整理得. 由题意得，对任意，恒成立， 即对任意恒成立，那么. 化简得，即，解得. 又，故，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $