精品解析：江苏泰州市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次限时作业数学试题

泰州二中高一年级第一次限时作业 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 汽车在行驶过程中，遇到特别情况需要刹车，从刹车（刹死车轮）到停止汽车所走过的路程称为刹车距离．已知某汽车的刹车距离s（单位：m）与速度v（单位：m/s）之间的关系可近似表示为．若该汽车在某路段行驶过程中，前方48 m处可能会突然出现障碍物，驾驶员从发现障碍物到刹车需经过1 s的反应时间，为了安全，汽车必须在障碍物的8 m处停住．则这辆汽车在该路段最大限制速度是（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 24 7. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知均为正实数，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题；每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则最小值为2 B. 若，则的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为6 10. 对于非空集合，，我们把集合记作．例如，，，则有，，，，下列说法正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，则 C. 已知集合有个元素，集合有个元素，则有个元素 D. 若非空集合，满足，则 11. 已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分． 12. 设m为实数，，，若，则实数________． 13. 一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货．若拖3只小船，则每天能往返14次；若拖6只小船，则每天能往返8次．已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例，则每次拖________只小船时，能使每天运货总量最大． 14. 已知，，满足，求的最小值________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．” （1）请解释这段话，“小故”代表数学里的什么条件？“大故”代表数学里的什么条件？ （2）设全集，集合 ，集合 ，①若“”是“”的充分条件，求a的取值范围； ②若“”的小故是“”，求a的取值范围． 17. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，，求此不等式的解集． 18. （1）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为2cm的空白，顶部和底部都留有宽为4cm的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？ （2）串联电路中，电源的电动势为，内阻为，为固定电阻，是一个滑动变阻器，已知消耗的电功率为，当调至何值时，电功率P最大？最大值为多少？ 19. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最大值； （3）设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰州二中高一年级第一次限时作业 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和并集的定义先求出，再求即可. 【详解】因为全集，，所以或， 所以或. 2. 已知命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定方法，前面改变量词，后面否定结论即可. 【详解】，改为；改为， 所以的否定为，. 3. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，设，， 因为不等式的一个充分不必要条件为，所以是的真子集， 所以且两个等号不能同时成立，解得. 4. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令， 解得， 又，， 则，， 两式相加可得. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质可判断ABC，由作差法可判断D. 【详解】对于选项A，∵，∴不等式同乘以可得， 不等式同乘以可得，即，A正确. 对于选项B，∵，且，∴，即，B正确， 对于选项C，取，则，但，C错误， 对于选项D，∵，， ∴，， ∴，故，D正确. 6. 汽车在行驶过程中，遇到特别情况需要刹车，从刹车（刹死车轮）到停止汽车所走过的路程称为刹车距离．已知某汽车的刹车距离s（单位：m）与速度v（单位：m/s）之间的关系可近似表示为．若该汽车在某路段行驶过程中，前方48 m处可能会突然出现障碍物，驾驶员从发现障碍物到刹车需经过1 s的反应时间，为了安全，汽车必须在障碍物的8 m处停住．则这辆汽车在该路段最大限制速度是（ ） A. 15 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，解得即可得出答案. 【详解】由题意可知， 即，解得， 故该路段最大限制速度为. 7. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 当且仅当即时取等号. 8. 已知均为正实数，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对已知条件进行化简，利用换元法将换元为，再运用基本不等式即可求解. 【详解】因为 均为正实数，则 ，即 ，所以 ， 故 ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 故 的最小值为 2 ．故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题；每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则最小值为2 B. 若，则的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用基本不等式求最值，注意取值条件判断A、C、D，由对勾函数的性质确定的最值判断B. 【详解】对于选项A，由，则，此时，当且仅当时取等号， 命题“若，则最小值为”为真命题； 对于选项B：由，则，故在上单调递增， 所以， 命题“若，则的最小值为”为假命题； 对于选项C：由，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为， 命题“的最大值为”为真命题； 对于选项D，由，则， 当且仅当，即时取等号， 命题“的最小值为6”为真命题. 10. 对于非空集合，，我们把集合记作．例如，，，则有，，，，下列说法正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，则 C. 已知集合有个元素，集合有个元素，则有个元素 D. 若非空集合，满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】用题中的新定义，容易判断前三个选项；根据集合相等的判定条件，即证明且，可得. 【详解】对于选项A，根据题中定义，若，，则，选项A正确； 对于选项B，若，根据题中定义，可知，，因此，选项B错误； 对于选项C，集合中的每一个元素，都分别与集合中的每一个元素配成数对，因此有个元素，选项C正确； 对于选项D，集合和集合为非空集合， 对于集合中的任意元素，集合中的任意元素，则， 因为，所以，即，， 因此有对于任意的，则，即；任意的，则，即，所以，选项D正确； 11. 已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集的端点值对应方程的根，利用韦达定理即可判断选项A；由，，，利用基本不等式即可判断选项B；由，则，利用二次函数开口向上取最小值即可判断选项C；由，则，利用基本不等式“1”的应用，即可判断选项D. 【详解】由题可知，且为方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，，所以， 即，因此，选项A错误； 由，，，根据基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，选项B正确； 由，则，所以， 根据二次函数开口向上，当时，的最小值为，选项C正确； 由，则，又，，所以，因此， 即， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，选项D正确. 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分． 12. 设m为实数，，，若，则实数________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为，所以， 若，则，此时，集合不满足条件，故舍去， 若，则，此时，，满足条件. 13. 一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货．若拖3只小船，则每天能往返14次；若拖6只小船，则每天能往返8次．已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例，则每次拖________只小船时，能使每天运货总量最大． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意可得，求出，设一次拖小船的只数为，列出运货总量表达式，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设，则， 设一次拖小船的只数为，即在拖3只小船的基础上增加了只小船，则每天往返次数为， 设一只小船可带的载货量，则每天运货总量为， 因为，所以抛物线开口向下，当时，有最大值， 故每次拖5只小船能使每天运货总量最大. 14. 已知，，满足，求的最小值________． 【答案】 【解析】 【分析】令换元变成，由通过1的代换构造利用基本不等式可求最值. 【详解】令，则 所以 因为，所以，故， 而，，故，同理， 而， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 【点睛】合理利用换元将复杂式子转化成熟悉的基本不等式问题求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合，集合， （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先化简求得集合，当时，求得集合，根据集合运算求解； （2）按照集合是否为空集分类讨论，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 ， ；或， 当时，， ，或. 【小问2详解】 当时，，即，此时满足； 当时，由，有或，解得； 综上，实数的取值范围为或. 16. 《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．” （1）请解释这段话，“小故”代表数学里的什么条件？“大故”代表数学里的什么条件？ （2）设全集，集合 ，集合 ，①若“”是“”的充分条件，求a的取值范围； ②若“”的小故是“”，求a的取值范围． 【答案】（1）＂小故＂对应数学中的必要条件，＂大故＂对应数学中的充分条件. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）理解题意，解释题目这段话即可. （2）根据充分条件、必要条件的概念，利用集合的包含关系，并通过对于子集是否为空集进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 理解题意，＂小故＂对应数学中的必要条件，＂大故＂对应数学中的充分条件. 【小问2详解】 ① 是 的充分条件， ，解得 . ② 是 的必要条件. 当 时， ，解得 ， 当 时，，解得 ，即 . 综上，. 17. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，，求此不等式的解集． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值. （2）将原不等式转化为，对分成三种情况，讨论不等式的解集. 【小问1详解】 由题意知，且1和5是方程的两根， ∴，且， 解得，，∴． 【小问2详解】 若，，原不等式为， ∴，∴． ∴时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 时，，原不等式解集为， 综上所述：当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为． 当时，原不等式解集为． 18. （1）如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为，它的两边都留有宽为2cm的空白，顶部和底部都留有宽为4cm的空白．如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？ （2）串联电路中，电源的电动势为，内阻为，为固定电阻，是一个滑动变阻器，已知消耗的电功率为，当调至何值时，电功率P最大？最大值为多少？ 【答案】（1）纸张长为cm，宽为cm，纸的用量最少；（2）当时，电功率最大，为 【解析】 【分析】（1）设排版矩形的宽为cm，则排版矩形的长为cm，表示出面积，利用基本不等式即可求出面积最小时矩形的长和宽；（2）利用基本不等式求出电功率最大值即可. 【详解】（1）设排版矩形的宽为cm，则排版矩形的长为cm，纸张的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号，面积取最小值为，此时，纸张宽为cm，纸张长为cm， 因此，当纸张长为cm，宽为cm时，纸的用量最少； （2）令，则， 当且仅当，即时取等号，此时电功率P最大，为. 19. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）求的最大值； （3）设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由已知条件将用含的表达式替换，再由基本不等式可求得最小值； （2）将用含的表达式替换，再分别结合二元基本不等式和不等式性质可求出的最大值； （3）将用含的表达式替换，再利用提示由三元基本不等式求解目标式的最值即可. 【小问1详解】 由已知，，得， 所以， 当且仅当时，又，即时，等号成立； 即的最小值为. 【小问2详解】 由已知得，因此 ， 由可得，当且仅当，即时等号成立； 因此，此时符合条件， 即的最大值为 【小问3详解】 将代入得 ； 对，有， 当且仅当即，时等号成立； 此时，符合条件，因此， 即的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $