精品解析：广东江门市福泉奥林匹克学校2026-2027学年八年级上学期9月阶段学情检测数学试题A卷

江门市福泉奥林匹克学校2026-2027学年第一学期9月月考A 八年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意，，即， 故a的值可能是6． 3. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 4. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故A不符合题意； 当时，则，由可得，故B不符合题意； 当时，则，由可得，故C不符合题意； 当时，不能得出，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用． 5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，根据、为折痕，可知、分别为，的角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， 故选：B． 6. 如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； 综上分析可知：这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 8. 用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴（）， 故选：D． 【点睛】本题考查作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（　　） A. （3，1） B. C. D. （4，1） 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥x轴点E，DB与EA的延长线交于点F，通过证明△BFA≌△AEO可得AF＝OE，BF＝AE；利用B（1，4），可得BD＝1，EF＝4；通过说明四边形ODFE为矩形，可得DF＝OE．计算出线段OE，AE的长即可求得结论． 【详解】解：过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥x轴点E，DB与EA的延长线交于点F，如图， ∵BD⊥y轴，AE⊥x轴，OD⊥OE， ∴四边形ODFE为矩形， ∴EF＝OD，DF＝OE， ∵点B（1，4）， ∴OD＝4，BD＝1， ∵四边形OABC为正方形， ∴OA＝AB，∠BAO＝90°， ∴∠OAE+∠BAF＝90°， ∵AE⊥x轴， ∴∠OAE+∠AOE＝90°， ∴∠BAF＝∠AOE， 在△BAF和△AOE中， ， ∴△BAF≌△AOE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝OE， ∴DF＝AF＝OE， ∴OE+AE＝EF＝4，OE﹣AE＝BD＝1， ∴OE＝，AE＝， ∴A（，）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及坐标与图形，能利用“一线三垂直”构造三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于对称轴对称点的特点，根据点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的横坐标不变，为3，纵坐标变为相反数，即， 因此的坐标为． 故答案为． 12. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 13. 已知等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于9，则它的周长为________． 【答案】21或24 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查等腰三角形的定义，同时考查三角形的三边关系. 【详解】解：分两种情况： 当腰为6时，，周长是：； 当腰为9时，，周长是：． 故它的周长为21或24． 故答案为：21或24． 14. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】由点与点关于直线对称求出，再由和为两个全等的等腰直角三角形，求出，进而计算出，最后利用等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和即可求解． 【详解】∵点与点关于直线对称，， ∴，， ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于直线对称、全等三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键． 15. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， 故④正确； 即正确的有①②③④． 三、解答（每题7分，共21分） 16. 如图，是的角平分线，是的高线，且． （1）是直角三角形吗？为什么； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 是直角三角形，理由如下： ∵是的高线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线和高线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由高线得到，推出，然后等量代换得到，即可证明是直角三角形； （2）首先由角平分线得到，然后求出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ ∴． 17. 如图，中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，如果，，求的周长． 【答案】（1） 如图，直线DE为AB的垂直平分线． （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意，作线段的垂直平分线，即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，继而可得的周长，代入数值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵DE垂直平分AB， ∴， ∵，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 如图，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的图形． （2）已知P为x轴上一点，若的面积为10，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对称性即可在图中作出关于y轴对称的图形； （2）利用三角形的面积公式求出，可得结论． 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 ∵的面积为10， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标或． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 四、解答题（每顯9分，共27分） 19. 如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， （1）求证：， （2）猜想的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2） 解：，理由如下； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为． （1）求的长； （2）分别连接，，，若的周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，（1）由线段垂直平分线的性质推出，，由的周长为，得到，即可求出；（2）由线段垂直平分的性质得到，由的周长，，即可求出，得到．由线段垂直平分线的性质得到，，是解题的关键． 【小问1详解】 解：垂直平分， ， 同理，得， 的周长为， ， ； 【小问2详解】 如图，连接，，， 垂直平分， ． 同理，得， 的周长，， ， ． 21. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）54 【解析】 【分析】（1）利用证明； （2）得到，再利用证明可证明； （3）由全等三角形的性质得到，，则可证明，据此计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，用（）证明三角形全等（或者），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 五、解答题（22题13分，23题14分） 22. 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2； （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）,的面积为12 【解析】 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2） 略 （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图：已知、，且a、b满足． （1）如图1，求点A，点B的坐标； （2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】（1）、 （2） ． 证明：将绕点O逆时针旋转得到， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 故； （3）是定值，的值为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，，求得，，得到，，于是得到结果； （2）证明：将绕点O逆时针旋转得到根据已知条件得到，由，，同时，求出，推出，根据全等三角形的性质得到； （3）是定值，作于F，在上截取，由，得到，根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，于是得到．即：，根据等腰直角三角形的性质得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴、； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 是定值，作于F，在上截取， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市福泉奥林匹克学校2026-2027学年第一学期9月月考A 八年级数学 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 3. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 4. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是（ ） A. B. C. D. 5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（　　） A. （3，1） B. C. D. （4，1） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知点，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 12. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 13. 已知等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于9，则它的周长为________． 14. 《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图，）．图为某蝶几设计图，其中与为两个全等的等腰直角三角形，已知点与点关于直线对称，连接，．若，则=_____． 15. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的序号是__________． 三、解答（每题7分，共21分） 16. 如图，是的角平分线，是的高线，且． （1）是直角三角形吗？为什么； （2）若，求的度数． 17. 如图，中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，如果，，求的周长． 18. 如图，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的图形． （2）已知P为x轴上一点，若的面积为10，求点P的坐标． 四、解答题（每顯9分，共27分） 19. 如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， （1）求证：， （2）猜想的数量和位置关系，并说明理由． 20. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点．已知的周长为． （1）求的长； （2）分别连接，，，若的周长为，求的长． 21. 如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求四边形的面积． 五、解答题（22题13分，23题14分） 22. 八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 23. 如图：已知、，且a、b满足． （1）如图1，求点A，点B的坐标； （2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $