精品解析：广东 揭阳市华美实验学校2026-2027学年八年级上学期数学第一次学情自测

2026学秋季学期第一次月考 八年级数学科试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数，，0.101001000100001……（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8. 某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. D. 100 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ） A. 5cm B. 4cm C. D. 15cm 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 12. 的平方根是_______． 13. 在中，，则的度数为____． 14. 如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 15. 在中，，斜边上的高为，则两直角边的和与斜边与高的和的大小关系是_________（填“”、“”、“”）． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： 17. 若，求的值． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB的长是______； （2）在图中画出一条线段EF，使EF的长为，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高2.6m，宽2.4m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 21. 完成下面的问题： （1）问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； （2）问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： （1）正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； （2）若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． （1）则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； （2）当点C在上运动时，求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学秋季学期第一次月考 八年级数学科试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数，，0.101001000100001……（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，求一个数的立方根和算术平方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：开方开不尽，是无理数； 是分数，是有理数； 0.101001000100001……（相邻两个1之间依次多一个0），是无限不循环小数，为无理数； 是无理数； 是分数，为有理数； 是整数，为有理数， ∴无理数有3个， 故选：C． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，根据算术平方根，立方根，平方根的定义逐一进行化简即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项不成立，不符合题意； 、，原选项成立，符合题意； 故选：． 4. 如图，以直角三角形的三边为边作正方形，三个正方形的面积如图所示，正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为8和14，且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A的面积． 故选：C． 5. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 6. 如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：， 故选：． 7. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴点表示的数． 故选：． 8. 某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论，找到规律是解题的关键． 分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：根据题意可得： 第1步：；第2步：；第3步：； 第4步：；第5步：；第6步：； 第7步：；第8步：…… ∵显示的数是六步一个循环， ∴， ∴第2026步之后荧幕显示的数与第四步相同，显示的结果是， 故选：A． 9. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，，        ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 10. 如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ） A. 5cm B. 4cm C. D. 15cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意先画出几何体的侧面展开图，分两种情况，利用勾股定理即可求解，再进行比较． 【详解】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 【详解】解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 12. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 13. 在中，，则的度数为____． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，算术平方根，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14. 如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用网格结构和勾股定理计算出边的长度，然后利用割补法（即矩形面积减去周围三个直角三角形面积）计算出的面积，最后根据三角形面积公式求出边上的高． 【详解】解：由图可知，点A、B、C均在格点上，设边上的高为， 根据勾股定理得：， ， ， ， 解得：， 即边上的高是． 15. 在中，，斜边上的高为，则两直角边的和与斜边与高的和的大小关系是_________（填“”、“”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】通过两式平方作差法比较大小，结合直角三角形的面积公式和勾股定理进行推导即可． 【详解】解：在中，，斜边上的高为，两直角边为， 由三角形的面积公式得，即， 又根据勾股定理，得， 两式平方作差，得． ， ， ． 均为正数， ，， ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：． 17. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB的长是______； （2）在图中画出一条线段EF，使EF的长为，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由． 【答案】（1）； （2）如图所示：EF即为所求， AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长 理由：∵AB2=()2=5，DC2=8，EF2=13， ∴AB2+DC2=EF2， ∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长． 【解析】 【分析】(1)直接利用勾股定理得出AB的长； (2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案． 【详解】(1)线段AB的长是：=； 故答案为：； (2)略 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中，，一辆装满货物的运输车，其外形高2.6m，宽2.4m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由． 【答案】 这辆货车能通过储藏室的门．理由如下： 如图M，N为卡车的宽度，过M，N作的垂线交半圆于F，G，过O作，E为垂足， 则，，由作法得，， 又∵， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴这辆货车能通过储藏室的门． 【解析】 【分析】M，N为卡车的宽度，过M，N作的垂线交半圆于F，G，过O作，E为垂足，，，则且，在中，利用勾股定理可求出，这样，，即可判断． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20. 已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． （1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解； （2）将求解得代入进行求值，再求解平方根． 【小问1详解】 解:根据题意得，， 解得， 的立方根是， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 21. 完成下面的问题： （1）问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； （2）问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴、、、都是直角三角形， 由勾股定理可得，，，，， ∴； （2）米 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）利用勾股定理与等量代换可得，结合为的中点可得米． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，，，，都是直角三角形， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， 又∵为的中点，即， ∴， ∴米． 答：骑行小道的长为米． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如图1所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图2是由个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为，，，请回答以下问题： （1）正方形的面积是_____，正方形的面积是_____，正方形的面积是_____；（用含，的式子表示）； （2）若正方形的面积是，正方形的面积为，求正方形的边长； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，，若的周长为，求的面积． 【答案】（1），， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式，以及勾股定理求解即可； （2）由题意得，正方形的面积是，正方形的面积是，两式相加得到，即可得解； （3）设，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （4）设的两直角边分别为，，则，，根据完全平方公式变形求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：正方形的面积是， 正方形的面积是， 正方形的面积是， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：正方形的面积是，正方形的面积是， ， ， ， ， ， 正方形的面积是， 正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设，，则， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：设的两直角边分别为，， ，的周长为， ， 在中，，， ，即， ， 的面积为． 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接，已知，设． （1）则的长为_______（用含x的代数式表示），的长为_______（用含x的代数式表示）； （2）当点C在上运动时，求的最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，则代数式的最小值为_______； （4）仿照上面的方法，则代数式（x是任意实数）的最大值为_______． 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确运用数形结合的思想． （1）对运用勾股定理求解； （2）当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，过点作交的延长线于点，然后对运用勾股定理求解; （3）可作，过点作，过点作，使，，当点共线时，则的长即为代数式的最小值，然后构造，根据勾股定理即可求得的值； （4）构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， 则，，过点作于点，则同上可得，则，那么由勾股定理得，，，，由，得当点共线时，的长即为代数式的最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当 A、C、E 三点共线时，的值最小，即为，如图： 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图所示，作线段，C为线段上一动点，过点作，过点作，使，， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴当点共线时，取得最小值即，即为的长， 过点作交的延长线于点， 则同上可得，，， ， 即的最小值为13． 【小问4详解】 解：如图，构造数轴，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，过点A作，且，过点作，且， ∴，， 过点作于点，则同上可得， ∴， ∴由勾股定理得，，，， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴， ∴ ∴当点共线时，的长即为代数式的最大值， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $