精品解析：广东省江门市福泉奥林匹克学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题A班

广东省江门市福泉奥林匹克学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题A班 一、单项选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断． 【详解】解：不能看作轴对称图形，故A不符合； 不能看作轴对称图形，故B不符合； 能看作轴对称图形，故C符合； 不能看作轴对称图形，故D不符合， 故选：C． 2. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 3. 如图，在中，于点D，E是上一点．若，，，则的周长为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出 ，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴的周长为， 故选C 4. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=36°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C==72°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°． 故选B. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 5. 如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】A 【解析】 【详解】运用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B=∠C．根据三角形内角和定理可求∠C和∠CAE的度数． 解：∵BE=CD，∴BD=CE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠B=∠C． ∵∠BAC=80°， ∴∠C=（180°-80°）÷2=50°． ∴∠CAE=180°-110°-50°=20°． 故答案为A． 6. 下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A. 有两个角是的三角形 B. 有一个角是的等腰三角形 C. 有两个外角相等的等腰三角形 D. 三边都相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定条件，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法． 根据各选项结合等边三角形的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 有两个角是的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； B. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项不符合题意； C. 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该选项符合题意； D. 三边都相等的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质，关键是求出的度数．根据等腰直角三角形性质求出，求出的度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， , ， 故选：B． 8. 如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握相关性质是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先求出，再根据“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，最后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中，， 故选：B． 9. 如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平分面积，得到，根据角平分线的性质得到，综合可得结果． 【详解】解：点是边上的中点， ， 是的角平分线， 点到、的距离相等，设点到、的距离为， 则， 又， ． 10. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系中，点与点________关于y轴对称． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数来求解． 【详解】解：由点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 则它的底角的度数是或． 故答案为：或． 13. 如图，在中，，于点D，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识点，掌握等腰三角形两个底角相等成为解题的关键． 先求出等腰三角形的底角度数，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，和分别是边和的垂直平分线，且D点在边上，连接，则_____． 【答案】90 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而推出角相等，再结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：和分别是边和的垂直平分线， ，， ，， ， ， ，即． 15. 如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，解题关键是根据图形的变化寻找规律． 利用等边三角形的性质得到，，则可计算出，所以，利用同样的方法得到，，，利用此规律得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ， …， ∴． ∴的边长为． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，．求证：AC=DC． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到，再根据三角形的内角和定理可计算出，而，则，根据三角形外角性质得到，再根据等腰三角形的判定可得，这样即可得到结论． 【详解】∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∵∠C+∠BAC+∠B=180°， ∴， ∵∠DAB=45°， ∴； ∵∠DAB=45°， ∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°， ∴∠DAC=∠ADC， ∴DC=AC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，也考查了三角形的内角和定理，熟练掌握并运用这些定理是解题的关键． 17. 如图，中，D为边上一点，过点D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．求证：平分． 【答案】证明：， ，， ∵， ， 又∵， ， 平分． 【解析】 【分析】先由平行线的性质得到，，再根据已知条件结合对顶角相等可得，则可证明平分． 【详解】略 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，由三角形外角的定义和性质，由已知条件可得出，最后再根据等边对等角得出的度数． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：，是边的中点， ∴平分， ，， ； （2）证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵点在上， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形的“三线合一”得平分，结合，，即可作答； （2）根据题意可证明直线是线段的垂直平分线，可得，再通过证明，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由是的垂直平分线，根据垂直平分线性质得，由等边对等角推出；再由是角平分线得，经等量代换得到内错角，即可证明； （2）由垂直平分得，故；将两角拆分，，是的外角，等于；结合角平分线，等式两边消去等角，即可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，过点E作，交直线于点F，连接． 【初步思考】（1）如图①，若，则按边分类：是______三角形； 【深入探究】（2）若． ①如图②，当点D在线段上移动时，判断的形状并证明； 【拓展延伸】 ②当点D在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并说明理由． 【答案】（1）等边（2）①为等腰三角形，证明见解析；②为等腰三角形，画图和证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意推出为等边三角形，结合平行线的性质得出．然后通过求证，可得出，即可推出为等边三角形； （2）①由（1）同理可证，即得出．结合等腰三角形和平行线的性质即可证，即说明为等腰三角形；②根据题意可直接画出图形，由（1）同理可证，即得出，进而得出．同理结合等腰三角形和平行线的性质即可证，即说明为等腰三角形． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边； （2）①为等腰三角形， 证明：由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②为等腰三角形，作图如下： 证明：由（1）同理可证， ∴， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 23. 如图①，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，以为边作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）写出，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图②，若点E在线段的延长线上，其它条件不变，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ； （2）；理由如下： 为等边三角形， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由和均为等边三角形，可得，，，两边同时减去公共角，推得，根据判定定理即可证明； （2）先借助第一问的全等结论得，再结合推导角相等，结合等边三角形的角度性质证得、，利用证明，得到，由等量代换得； （3）先同理由证，得；再结合推导对应角相等，用证，得．此时点在延长线上，，代入变形后可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ； ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省江门市福泉奥林匹克学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题A班 一、单项选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，于点D，E是上一点．若，，，则的周长为（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 26 4. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 6. 下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A. 有两个角是的三角形 B. 有一个角是的等腰三角形 C. 有两个外角相等的等腰三角形 D. 三边都相等的三角形 7. 如图，，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 9. 如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 平面直角坐标系中，点与点________关于y轴对称． 12. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为______． 13. 如图，在中，，于点D，则______． 14. 如图，在中，和分别是边和的垂直平分线，且D点在边上，连接，则_____． 15. 如图，已知，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为 _____． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，．求证：AC=DC． 17. 如图，中，D为边上一点，过点D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．求证：平分． 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，，若，求的度数． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 20. 如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证： （1）； （2）． 21. 如图，是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．求证： （1）； （2）． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，过点E作，交直线于点F，连接． 【初步思考】（1）如图①，若，则按边分类：是______三角形； 【深入探究】（2）若． ①如图②，当点D在线段上移动时，判断的形状并证明； 【拓展延伸】 ②当点D在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并说明理由． 23. 如图①，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，以为边作等边三角形，连接． （1）求证：； （2）写出，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图②，若点E在线段的延长线上，其它条件不变，直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $