精品解析：安徽六安市裕安区2026-2027学年九年级上学期阶段性目标检测（二）数学试卷

初三阶段性目标检测（二） 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 下列图形中，一定相似的一组是（　　） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是厘米和厘米的两个菱形 3. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列叙述中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数有最小值 D. 当时，函数值随自变量的增大而减小 5. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. t≥1 B. ﹣1≤t＜8 C. 3＜t＜15 D. ﹣1≤t＜15 10. 如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（ ） A. 7 B. C. D. 二．填空题（每小题5分，共20分） 11. 若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 12. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为_____． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为______． 三．解答题（本大题两题，每小题8分，共16分） 15. 已知，且，求的值． 16. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 四．（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 18. 智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息回答下列问题： （1）__________，__________； （2）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能服务系统，并说明理由． 五．（本大题两小题，每小题10分，共20分） 19. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … （1）下列关于该二次函数的说法中，正确的是__________（填序号）： ①；②；③当时，的最小值为；④当时，的值随值的增大而增大． （2）若将该二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度，交轴于，两点，求的长． 20. 如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 六．（本大题两小题，每小题12分，共24分） 21. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 22. 某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 七．（本大题满分14分） 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三阶段性目标检测（二） 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 2. 下列图形中，一定相似的一组是（　　） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 有一个内角为的两个菱形 D. 边长分别是厘米和厘米的两个菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定． 根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵菱形的四边相等，且对角相等，邻角互补， ∴如果一个内角为，则其余内角分别为、、， ∴两个有一个内角为的菱形，所有对应角相等，且对应边成比例（因边长比恒定）， ∴它们一定相似． 对于A：两个直角三角形，锐角不一定相等，故不一定相似； 对于B：两个等腰三角形，顶角不一定相等，故不一定相似； 对于D：两个菱形仅边长给定，但内角不一定相等，故不一定相似； 故选：C． 3. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，函数图象在一、三象限，并且在每个象限内都有随增大而减小；当时，函数图象在二、四象限，并且在每个象限内都有随增大而增大．根据反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小， ， 解得：．   故选：C ． 4. 已知二次函数，下列叙述中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数有最小值 D. 当时，函数值随自变量的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】解：A. ∵a=-1<0， ∴图象的开口向下，故选项A错误； B. ∴图象的对称轴为直线，故选项B错误； C. ∵a=-1<0， ∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C错误； D. ∴当时，函数值随自变量的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可． 5. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 6. 已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴点位于第一象限，且， ∵ ∴位于第三象限，且， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 7. 把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的法则“上加下减、左加右减”即可解答． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为， 故选：D． 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 9. 二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. t≥1 B. ﹣1≤t＜8 C. 3＜t＜15 D. ﹣1≤t＜15 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的对称轴求出b的值，从而可得二次函数的解析式和顶点坐标，进一步即可求出当x＝﹣3和x＝3时的函数值，再根据x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2+bx与直线y＝t在﹣3＜x＜3的内的交点横坐标和二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴ ， ∴b＝﹣2， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x， ∴其顶点坐标为（1，﹣1）． 当x＝1时，y＝1﹣2＝﹣1，x＝﹣3时，y＝9+6＝15，x＝3时，y＝9﹣6＝3． ∵抛物线的开口向上， ∴当−3<x≤1时，−1≤y<15，当1<x<3时，1<y<3， ∵x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2+bx与直线y＝t在﹣3＜x＜3的内的交点横坐标， ∴当﹣1≤t＜15时，一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质、将方程解的问题转化为两个函数的交点是解题的关键． 10. 如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键． 在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，则． 当时，，解得∶（负值已舍去）， ， 抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，解得， ． 当时，，解得或（舍去）， ． 在中，由勾股定理得． 故选D． 二．填空题（每小题5分，共20分） 11. 若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： 比例中项的定义是：若线段是线段的比例中项，则满足，即． 已知两条线段长为和，代入得：， 解得（线段长度为正，舍去负根）． 12. 如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵轴 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵由图像可知， ∴． 故答案为：10． 13. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______（用含的式子表示）； （2）设，为该抛物线上的两点，若，，且，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数对称轴的求解，解决本题的关键是分类讨论的正负． （1）通过将抛物线方程化为顶点式或利用对称轴公式，可求得对称轴； （2）根据抛物线开口方向分类讨论：当时，抛物线开口向上，利用点与对称轴的位置关系及值不等式求解；当时，抛物线开口向下，验证条件是否成立，最终确定的取值范围． 【详解】解：（1）抛物线（）的对称轴公式为， 其中，，代入得， 故对称轴为直线； 故答案为：； （2）设点和在抛物线上，且，， 满足 ， 当时，抛物线开口向上，对称轴为 ， 由和，得 ， 由于，且开口向上，点离对称轴越远 值越大， 故，即 ， 代入和：，简化得 ，即 ， 又，即， 代入得， 因式分解为， 由于，需，解得 ， 综上，； 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 由和，得和，两点均在对称轴右侧， 开口向下时，右侧函数递减，需才能满足， 即 ，解得 ， 但与 结合得 ， 此时验证：即， 但在范围内，，，， 乘积为负，不满足不等式，故无解； 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 三．解答题（本大题两题，每小题8分，共16分） 15. 已知，且，求的值． 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，理解比例的性质是解答关键． 根据题意设，，，（）．代入求出，，，再代入中进行计算求解． 【详解】解：∵， 设，，，（）． ， ， 解得， ，，， ． 16. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由有实数根可推出，代入对应的系数即可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系：，即可求得m的值． 【小问1详解】 解： 有实数根 解得：； 【小问2详解】 解： ， 又 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 四．（本大题共两小题，每小题8分，共16分） 17. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示. （1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （2）在该过程中，水温不低于的时间有多长? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为4分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用（1）中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解：开始加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是； 【小问2详解】 解：在加热过程中，水温为时，所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 18. 智能科技点亮生活，某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息回答下列问题： （1）__________，__________； （2）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能服务系统，并说明理由． 【答案】（1）； （2）示例：选拔甲模型部署，理由：甲模型平均数和中位数均更高，表现更优． 示例：选拔乙模型部署，理由：乙模型方差小，更稳定；乙模型低成功率区间表现更优且无明显极端低值． 【解析】 【小问1详解】 解：计算乙模型第一四分位数，乙模型数据排序为：，，，，，，，，，，共个数据，前个数据为，，，，，中位数为第个数：；计算甲模型第三四分位数，甲模型数据排序为：，，，，，，，，，，共个数据，后个数据为，，，，，中位数为第个数：； 【小问2详解】 解：示例：选拔甲模型部署，理由：甲模型平均数为高于乙模型的，且甲模型中位数也高于乙模型的，表现更优． 示例：选拔乙模型部署，理由：乙模型方差为低于甲模型的，更稳定；乙模型第一四分位数高于甲模型的，低成功率区间表现更优，最小值为也高于甲模型的，无明显极端低值． 五．（本大题两小题，每小题10分，共20分） 19. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … （1）下列关于该二次函数的说法中，正确的是__________（填序号）： ①；②；③当时，的最小值为；④当时，的值随值的增大而增大． （2）若将该二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】（1）①②③ （2） 【解析】 【分析】（1）①利用对称点和的值相等，得到对称轴为，结合顶点坐标，判断开口方向，验证的符号；②由于图象过点，结合对称性可知，另一交点为，因此图象与轴存在两个不同交点，判别式大于；③开口向上的二次函数，在顶点处取得最小值，对应，；④二次函数的增减性以对称轴为分界点，对称轴右侧随的增大而增大，左侧随的增大而减小，因此时并非全部递增； （2）已知二次函数的顶点坐标，故优先使用顶点式设解析式，代入表格内的已知点求出参数，得到原函数解析式，由于图象沿轴向下平移个单位长度，故直接在解析式的常数项处减去，得到平移后的新函数，令新函数得到一元二次方程，利用直接开平方法解得两根，两根作差即可求得轴上，两点的距离． 【小问1详解】 解：当和时的值都为，得到对称轴为，结合顶点坐标可判断二次函数开口向上，因此，①正确； 二次函数图象与轴有交点，结合对称性可得，另一个交点为，故存在两个不同的交点，因此，②正确； 二次函数的对称轴为，开口向上，因此当时，取得最小值，③正确； 由于二次函数的对称轴是，因此当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，④错误． 综上所述，说法正确的是①②③． 【小问2详解】 解：设二次函数的解析式为， 将点代入得，解得． 抛物线的解析式为． 二次函数的图象沿轴向下平移个单位长度， ，即为． 令，则， 解得，． 与轴的交点为，． ． 20. 如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵点是中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先运用菱形的性质结合得出，，再通过点是中点、推出四边形是平行四边形，等量代换推出四边形是平行四边形，最后通过证明平行四边形是矩形即可； （2）先通过菱形的性质推出为等边三角形，结合运用三线合一求出的值，再通过菱形的性质和矩形的性质推出的值，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 由（1）得，四边形是矩形， ∴，． ∵在中，， ∴． 六．（本大题两小题，每小题12分，共24分） 21. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 22. 某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】（1） （2）第35天时，最大利润为4050元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【小问1详解】 当时，； 【小问2详解】 当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 七．（本大题满分14分） 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $