精品解析：安徽省六安市裕安中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋学期自主学习诊断（一） 九年级数学学科 试题卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，“形如（为常数，且），这样的函数叫做二次函数”，逐项进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，不符合题意； 、是反比例函数，不符合题意； 、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段成比例，符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C 3. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据该知识求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 5. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数当时，函数图象在一、三象限，并且在每个象限内都有随增大而减小；当时，函数图象在二、四象限，并且在每个象限内都有随增大而增大．根据反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小， ， 解得：．   故选：C ． 6. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，，故A不符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，，故C不符合要求； 当时，无法证明，故D符合要求； 故选：D． 7. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意得出行驶路程是解题关键．根据题意分别得出第秒和第时行驶的总路程进而得到答案． 【详解】解：由题意可得，当时，飞机停下， 此时，． 当时，． 故飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是． 故选：D． 8. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点； ∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意； B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意； C、D选项均不符合该种情况； 当时，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D ． 9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（ ） A. B. 方程有两个相等的实数根 C. 当时， D. 抛物线与x轴的另一个交点是 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点A的坐标是，且开口向下， ∴对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴交点位于正坐标轴上， ∴， ∴， 故A选项正确，不合题意； ∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故D选项正确，不合题意； 根据图象，当时， 故C选项错误，符合题意． ∵抛物线的顶点A的坐标是， ∴直线与有且只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根，且为， 故B正确，不合题意. 故选：C． 10. 如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点E作于点F，首先得出，得到，等量代换得到，即可判断A；结合即可得到，即可判断D；根据同角的余角相等得到，等量代换得到，然后根据角平分线的性质定理得到，，即可得到，进而判断C；首先得到，证明出，得到，然后等量代换得到，即可判断B； 【详解】解：如图所示，过点E作于点F ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴平分，故A正确； 又∵ ∴，故D正确； ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴，故C正确； ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴，故B错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值并计算． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 12. 已知线段，那么线段a和b的比例中项为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，若，那么c是a，b的比例中项，据此列式求解即可． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为x， 由题意得，， ∴， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴线段a和b的比例中项为， 故答案为：． 13. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 14. 如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为______． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最低点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 三．解答题（15－18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15. 已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线解析式写出顶点坐标，代入直线解析式求出即可. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，， ， 点在直线上， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线顶点坐标公式是解题的关键． 16. 已知，，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．设，然后表示出a，b，c，再求解，进一步可得答案． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：4． 17. 如图，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】略 18. 一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】（1） （2）平均每天至少要回填30吨土 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【小问1详解】 设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 19. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，即， 解得：， ②当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 20. 已知：如图，在中，，点、分别在边上，． （1）求证：； （2）如果点在边上，且，，求证：∽ 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：如图， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ∽ 【解析】 【分析】（1）通过证明∽，可得，可得结论； （2）通过证明∽，可证，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，写出关于的不等式的取值范围； （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数的图象交于两点，代入解析式计算即可． （2）利用交点坐标的横坐标，结合数形结合思想，给出解答即可． （3）取的中点E，连接，则，则，故，根据解答即可． 本题考查了待定系数法，反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，两点间距离公式，根据图象交点求不等式的解集，熟练掌握待定系数法，求不等式的解集是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据一次函数与反比例函数的图象交于两点， 则，， 解得， 故点， ∴， 解得， 故解析式为；． 【小问2详解】 解： ∵， ∴不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：根据图象，得一次函数与轴交于点，与轴交于点． 故点，， 故，， 取的中点E，连接，则， 则， 故， ∵， 故， ∴． 22. 如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 23. 已知抛物线与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【答案】（1） （2）①；②该矩形周长的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数与几何综合； （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出B点坐标，设，则，表示出和， ①根据列方程求出m，进而可得点坐标； ②易得直线解析式，则可知，，用含m的式子表示出矩形的周长，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：与轴交于、， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设，则， ，， ①， ， 解得：（舍去）或， ； ②∵ ∴直线解析式为， ∴， ， 设矩形周长为， 则， ∴当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期自主学习诊断（一） 九年级数学学科 试题卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 5. 若反比例函数的图象在每个象限内函数值随的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是，则飞机从着陆滑行到停止，最后滑行的路程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（ ） A. B. 方程有两个相等的实数根 C. 当时， D. 抛物线与x轴的另一个交点是 10. 如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则________． 12. 已知线段，那么线段a和b的比例中项为_________． 13. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 14. 如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为______． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围______． 三．解答题（15－18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15. 已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标． 16. 已知，，求的值． 17. 如图，．求证：． 18. 一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 19. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 20. 已知：如图，在中，，点、分别在边上，． （1）求证：； （2）如果点在边上，且，，求证：∽ 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当时，写出关于的不等式的取值范围； （3）连接，求的面积． 22. 如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． 23. 已知抛物线与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $