精品解析：安徽安庆市部分校2026～2027学年度第一学期九年级第一次学情自测数学试题(人教版)

九年级数学（人教版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 与抛物线形状相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可． 【详解】解：两条抛物线的形状相同， 两条抛物线的二次项系数的绝对值相等， ，， 与 形状相同． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断一元二次方程需同时满足三个条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：A选项，仅含未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求． B选项，含有两个未知数，不符合． C选项，含有分式，不是整式方程，不符合． D选项，未明确，当时无二次项，不符合．故答案为A． 3. 抛物线的对称轴为y轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴公式的应用即可求解结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为y轴，y轴对应的直线为， ∴， ∵， ∴分母， 要使分式的值为0，仅分子为0即可，即， ∴． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式的形式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是． 5. 一元二次方程的两个根是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， ∴方程的两个根为，． 6. 已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴是轴，得到抛物线上横坐标互为相反数的点纵坐标相等，进而判断抛物线经过的点. 【详解】解：抛物线中不含一次项， 其对称轴为轴（即直线）， 又点在该抛物线上， 点关于轴的对称点也必在抛物线上，点关于轴对称的点为，即. 7. 随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 8. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2026 C. 2029 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，利用割补法表示出的面积，再由求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设直线，代入点，可得， 解得 ∴直线 设，则 ∴ ∵ ∴， ∴当时，取得最大值为， 设，则， ∴， 同理可求当时，取得最大值为， ∵， ∴当且仅当时，取得最大值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 12. 已知二次函数的图像开口方向向上，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于二次函数，当时，该函数的图像开口方向向上；当时，该函数的图像开口方向向下．据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像开口方向向上， ∴，解得． 13. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 【答案】2 【解析】 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可. 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的三个顶点、、均在抛物线上，顶点在轴上，且轴． （1）若、两点的坐标分别为，，则的值为_______； （2）若，则菱形的面积为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）令与轴的交点为，则，，，再利用勾股定理得出，即可得解； （2）由（1）可得，，，设，利用两点间距离公式，求出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，令与轴的交点为， 菱形， ，，， 轴， 轴，轴， 顶点、、均在抛物线上，顶点在轴上，且、两点的坐标分别为，， ，，， ， 在中，， ； （2）由（1）可得，，， 设，则， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的最低点为坐标原点，且该抛物线经过点，求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设该抛物线的函数解析式为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程不含的一次项，求的值和方程的解； （2）当时，求方程的解． 【答案】（1），方程的解为， （2）方程的解为， 【解析】 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； 【小问2详解】 解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可设该抛物线的函数解析式为，整理并化简，结合常数项相同可得，求解即可确定的值，然后计算的值即可； （2）根据二次函数图像的对称性可得，整理即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线的顶点为， 可设该抛物线的函数解析式为， 化简得，则， ， ， ，即，； 【小问2详解】 ∵点，在该抛物线上， ， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根； （2）若方程的两个实数根分别为、，则，． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 解得， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根、， ，， ， ，即， ， ． 20. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 六、（本题满分12分） 21. 定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】（1） （2）证明：当时，对于方程①及其“换位方程”均有， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“换位方程”的定义即可求得； （2）直接判断一元二次方程根的判别式是否大于即可得到证明； （3）把公共根代入两个方程，作差，可得到公共根与的等式，根据此等式可得公共根及的值． 【小问1详解】 解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为； 【小问2详解】 详解见答案 【小问3详解】 方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ，， ， ， 当时，方程①与其“换位方程”相同，有两个公共根，不符合题意， ，解得或（舍去）， 当时，代入方程①得，，解得， ，． 七、（本题满分12分） 22. 项目式学习 【项目主题】 函数解析式及函数值问题探究． 【知识学习】 以为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． （1）【知识运用】对于函数． ① ； ②计算：的值； （2）【项目拓展】已知函数，且． ①求证：； ②若，，求的值． 【答案】（1）①3；② （2）①证明：， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）①根据新定义直接代入计算即可；②根据新定义代入化简计算即可； （2）①根据题意得出，然后变形即可证明；②根据题意得出，确定，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； ② ； 【小问2详解】 ①略； ②， ， 化简得， 取任意值等式成立， ∴，，即， ， ， ， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； （3）设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （2）把两点代入小问1求出的解析式，作差，可求出与的关系，进而求得的值； （3）设，连接交对称轴于点，把用含的代数式表示出来，利用三角形的面积得出关于的二次函数，化成顶点式，再根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ， 由题意得， 解得，， ∴该抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，∵点在抛物线上， 设，， 连接交对称轴于点， 设直线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， 点坐标为， 设直线的函数解析式为， 把与代入得：， 解得： 直线的函数解析式为， ∴点坐标为， ， ，， ， 配方得， 的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 与抛物线形状相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴为y轴，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的两个根是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知点在抛物线上，则该抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 7. 随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2026 C. 2029 D. 4052 9. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线和相交于，两点，点为抛物线上，之间的动点，点为抛物线上，之间的动点（点，不与，重合），则四边形面积的最大值为（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 12. 已知二次函数的图像开口方向向上，则的取值范围是_______． 13. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过____落回地面． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的三个顶点、、均在抛物线上，顶点在轴上，且轴． （1）若、两点的坐标分别为，，则的值为_______； （2）若，则菱形的面积为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的最低点为坐标原点，且该抛物线经过点，求该抛物线的函数解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程不含的一次项，求的值和方程的解； （2）当时，求方程的解． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点为，求，的值； （2）若该抛物线经过点，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根、． （1）求的取值范围； （2）当时，求的值． 20. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 六、（本题满分12分） 21. 定义：方程与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 七、（本题满分12分） 22. 项目式学习 【项目主题】 函数解析式及函数值问题探究． 【知识学习】 以为自变量的函数可以用符号表示，例如：函数可表示为，函数可表示为，等等．而则表示当自变量时函数对应的函数值．例如：对于函数，；对于函数，，等等． （1）【知识运用】对于函数． ① ； ②计算：的值； （2）【项目拓展】已知函数，且． ①求证：； ②若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； （3）设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $