1.2 一定是直角三角形吗 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

【新教材】北师版·八年级上册 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗 直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两个锐角互余； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理 复习回顾 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 新知探究 如果∠A +∠B = 90°，那么△ABC 就是一个直角三角形，∠C为直角. 即有如下的直角三角形的判定方法： 两个角互余的三角形是直角三角形. 思考：如何判定一个三角形是直角三角形？ 除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？ 新知探究 思考交流 下面的每组数分别是一个三角形的三边长度a，b，c （1）3 4 5 （2）6 8 10 （3）5 12 13 ①这三组数都满足a2+b2=c2吗？ 新知探究 ②分别以每组数为三边作三角形，用量角器量量，它们都是直角三角形吗？ 是 新知探究 思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 新知探究 ？ A　 B　 C　 a b c 如图，已知△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ ∠C是直角　 △ABC是直角三角形　 △ABC≌△ A′B′C′ 新知探究 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB， 在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA， 连接 A1B1. 在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2. 所以 A1B1 = AB. 所以△ABC≌△A1B1C1 (SSS). 所以∠C =∠C1 = 90°. 所以△ABC 是直角三角形. a c b A C B b C1 M N B1 A1 归纳总结 新知探究 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角. 特别说明： 新知探究 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. A B C c a b 常见的勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k（k 为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数. 做一做 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 分析：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和，而A选项中62+82=102，符合勾股数的定义，所以选A. A 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 随堂练习 1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由. （1）9，12，15 （2）12，18，22 （3）12，35，36 （4）15，36，39 分析：因为92+122=225=152，所以这个三角形是直角三角形，这组数可以作为直角三角形的三边长. 分析：因为152+362=1521=392，所以这个三角形是直角三角形，这组数可以作为直角三角形的三边长. 分析：因为122+182=468=222，所以这个三角形不是直角三角形，这组数不可以作为直角三角形的三边长. 分析：因为122+352=1369，而362=1296，所以122+352≠362，这个三角形不是直角三角形，这组数不可以作为直角三角形的三边长. 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 勾股定理逆定理的应用 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 ①找：先找三角形的最长边 ②算：计算最长边的平方及另外两边的平方和； ③判：若两者相等，则该三角形为直角三角形，若两者不相等，则该三角形不是直角三角形。 例1.一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 题型一 题型探究 小亮 例1.一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 解：在△ABD中，AB2 + AD2 = 9+16= 25=BD2， 所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD 中，BD2 + BC2 = 25+144=169 = CD2， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 勾股定理逆定理的应用 利用三边数量关系判定直角三角形 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 (1) 已知两角可以求出另外一个角；(2) 使用勾股定理的逆定理验证.(3) 将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证. 例2.判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形. (1)在△ABC 中，∠A = 20°，∠B = 70°； (2)在△ABC 中，AC = 7，AB = 24，BC = 25； (3)△ABC的三边长 a，b，c满足(a＋b)(a－b)=c². 解：(1) 在△ABC 中，∵∠A = 20°，∠B = 70°， ∴∠C = 180°－∠A－∠B = 90°， 即△ABC 是直角三角形. (2) ∵ AC² + AB²=7²+24²=625，BC²=25²=625， ∴ AC²+AB²=BC². 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形. (3) ∵ (a＋b)(a－b) = c²， ∴ a²－b² = c²，即 a² = b²＋c². 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC 是直角三角形. 利用勾股定理及其逆定理求线段长 题型三 题型探究 小亮 方法技巧 利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长。 例3.如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求 CD 的长. A B D C 勾股定理的逆定理 △ABD为直角三角形 △ACD为直角三角形 求CD 利用勾股定理及其逆定理求线段长 题型三 题型探究 小亮 解：因为AB ＝13，AD ＝12，BD＝5， 所以 AD2＋BD2 ＝122＋52＝169＝132＝AB2. 所以△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝ 90°. 所以∠ADC ＝ 180°－∠ADB＝ 90°. 所以△ACD 是直角三角形. 根据勾股定理， 得 CD2 ＝AC2－AD2＝152－122＝81， 所以 CD ＝ 9. A B D C 利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长 方法技巧 3.一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为( ) A.60 　　　 B.30 　　 　　 C.24 　　　　 D.12 新课讲授 C 典例分析 例1：三角形的三边的比为3：4：5，它的周长为12cm，则它的面积是( ) A. 12cm2 B. 10cm2 C. 6cm2 D. 15cm2 C 变式训练 1.若某三角形的三边长为a，b，c，且满足(a＋b)(a－b)＝c2，则下列说法正确的是(　A　) A. 边a所对的角是直角 B. 边b所对的角是直角 C. 边c所对的角是直角 D. 此三角形不是直角三角形 A 变式训练 2.若△ABC 的三边 a，b，c满足a2 +b2 +c2 +50=6a+8b+10c. 试判断 △ABC 的形状. 解：因为 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， 所以 a2 - 6a + 9 + b2 -8b+16+c2 -10c+25=0， 即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0. 所以 a = 3，b = 4，c = 5. 所以 a2 + b2 = c2. 所以△ABC 是直角三角形. 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9， AD=12，AC=20，则△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 C D B A 学以致用 4.将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A.　直角三角形 B.　锐角三角形 C.　钝角三角形 D.　不能确定 D A 7.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的面积为______． 学以致用 5.已知，则x，y，z三边组成的三角形是_________三角形． 直角 6. 三角形的三边长a，b，c满足(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是______三角形． 直角 5 8.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 学以致用 4 1 2 2 4 3 解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形. 由勾股定理知 BE2=22+42=20， EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, ∴BE2+EF2=BF2, ∴ △BEF是直角三角形, ∴图中共有4个直角三角形. 解：在△ABC中， ∵AB⊥BC， ∴根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5. 在△ACD中， ∴AC2＋CD2＝AD2. ∴△ACD是以AD为斜边的直角三角形，∠ACD＝90°. ∴AC⊥CD. ∵AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9， 9. 如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2， CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC. 试说明：AC⊥CD. 课堂小结 $