第1章 3 勾股定理的应用(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

初中数学 指南针•课堂优化·八年级数学BS 第一章勾般定理 3勾股定理的应用 知识梳理 1.两点之间 最短 2.求一些几何体上两点间的最短距离，方法是将曲面或多个平面展开成 ,再依据 确定最短路径.利用 定理，在 三角形中求线段长.若图形缺少直角 条件，则可以通过作垂线段的方法构造直角三角形，为勾股定理的应用创造必要条件 课后演练 【基础过关】 知识点① 平面内的最短路线问题 1.一艘轮船以16海里每小时的速度从港口A出发 向东北方向航行，另一轮船以12海里每小时的 速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3 小时后，则两船相距 A.36海里 B.48海里 C.60海里 D.84海里 2.要登上40米高的建筑，为了安全起见，梯子的 底端离建筑物要达到9米远，那么梯子至少需 要 米长的梯子. 3.(宿迁中考)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问 题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引 葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题 意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正 方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水 面部分BC为1尺，如果把该 B 芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，那么芦苇的顶部C 恰好碰到岸边的C处（如图）， 水深和芦苇长各多少尺？则 A 该问题的水深是 尺 4.如图，在一棵树10m高处(B点)有两只猴子， 其中一只猴子爬下树，走到离树20m的池塘 A处，另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这棵 树有多高？ 所以DA=30一. 在Rt△ACD中，AD=CD2+AC2, 即(30一x)2=(10+x)2+202,解得x=5, 所以CD=x+10=15(m). 故这棵树高15m. 知识点② 圆柱中的最短路线问题 5.如图，一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为 5cm,BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着 圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm 6.(金华中考)如图，圆柱的底面直径为AB,高 为AC,一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到 B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展 开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是 B A C D 7.如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB =5,P点位于圆周顶面，处，小虫在圆柱侧面 爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则 小虫爬行的最短路程为 A.26 B B.13+√61 C.13√2 D.2√/61 8.一只壁虎在一底面半径为2m,高为5m的油 桶下边缘A处，发现油桶的上边缘B处有一 只害虫，便决定捕捉它(B点在A点的正上 B 方).为了不引起害虫的注意，它故意不走直 线，而是绕着油桶（如图所示）沿一条螺旋路 线爬行，从背后对害虫进行突袭，结果偷袭成 功，壁虎获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬 行多少路程才能捕捉到害虫.（π取3） 解：将油桶抽象为一圆柱体，沿侧棱AB剪开展 成如答案图所示的长方形.由题意知，AC=2π·r= 2π×2=4π=12，BC=5. .BC⊥AC, B .'.AB2=AC2+BC2, 即AB2=122十52， A ..AB=13m. 答案图 故这只壁虎至少应爬行 13m才能捕捉到害虫. 知识点③ 棱柱中的最短路线问题 9.(陕西中考)如图，是一个棱长为1的正方体纸 B 盒.若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从 顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最 短路程是 A A.√3 B.2 C.√5 D.3 10.如图，一个长、宽、高分别为4cm,3cm, 12cm的长方体盒子能放进的最长木棒长 为 11.如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有 的面都分成3×3个小正方形，其边长都为 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从 下底面A点沿表面爬行至右侧的B点，最少 要花几秒钟？ 解：将正方体的右侧面展开，使下底面和右侧面在 同一平面内（如答图所示）. 由A到B的最短路径是线段AB,线段AB恰为直 角边是3和4的直角三角形的斜边.AB2=32十4 =52,所以AB=5cm,5÷2=2.5(s),最少要 花2.5s. 【能力提升】 12.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、 高分别为100cm,15cm和10cm,A和B是这 个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂 B 蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最 短路线长度为 13.(黄冈中考)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm, 底面周长为32cm在杯内壁离杯底5cm的点 B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外 蚂蚁A 壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则 B蜂蜜 蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计)。 14.我国古代有这样一道数学问 题：“枯木一根直立地上，高 二丈，周三尺，有葛藤自根缠 绕而上，五周而达其顶，问葛 A 藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作 一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕 而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问 题中葛藤的最短长度是 尺 15.如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处 吹折，杆顶C着地，离杆脚2m,修好后又被 风吹折，因新断处D比前一次低0.5m,故杆 顶E着地比上次远1m,求原标杆的高度. B -AB)2, 整理，得x2一2AB·x=4, 同理，得(AB一0.5)2+32=(x-AB+0.5)2, 整理，得x2一2AB·x十x=9, 解得x=5. .原来标杆的高度为5米。 【核心素养】 16.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出 发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三 条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最 短路线长为多少？ D 4 B 解：(1)如图①中AC. 因为AB=4,BC1=BC+CC1=2+1=3, 所以AC1=/42+32=5. C D C 2 4 图① (2)如图②中AC1.因为AB=4,BC=2,所以AC =6. 又因为CC1=1,所以AC1=62+12=√/37. A B C 4 B 2 图② (3)如图③中AC1.因为AA1=1,A1B1=4,B1C1 =2, 所以AC1=√52+22=√29. D D 2 A 1Ar 4 Bu 图③ 所以按第一种路线走路线最短，最短路线长为5。