四川省绵阳中学2025-2026学年高二上学期第一次测试月考数学试卷

绵阳中学高2024级第一次测试月考数学试卷 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出四个备选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知直线l：，则直线l的倾斜角为 A． B． C． D． 2．已知直线与直线，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．光线通过点A（2，3），在直线l：x+y+1=0上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A． B． C． D． 4．点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为 A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为 A． B． C．6 D．12 6．直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为 A．4 B．2 C．1 D．3 7．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为 A．20 B． C．10 D． 8．已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部选对的得6分，选对但不全的得2-3分，有选错的得0分） 9．已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.以下命题正确的是 A． B． C．P、A、Q、B均在圆上 D．A，B所在直线方程为 10．已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是 A．若时，圆与圆有两条公切线 B．若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C．弦长的最小值为 D．若点，则的最大值为 11．已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是 A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 13．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 14．已知椭圆的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆交于两点，其中点在第一象限，点在第三象限，若，则的离心率的取值范围是 . 四、解答题 15．已知直线，其中为实数. (1)当时，求直线之间的距离； (2)当时，求过直线的交点，且平行于直线的直线方程. 16．已知圆的圆心在直线上，与直线相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若的面积为，求该直线的方程. 17．已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 18．已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 19．已知点，，，动点到的距离是到点距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知动点在直线上，过作曲线的两条切线分别切于两点，直线与分别交于，连接交于． （i）直线是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由； （ii）求的最小值． 数学月考试题 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次测试月考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C B D A B ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用直线方程得到斜率，根据斜率与倾斜角关系求解即可． 【详解】由直线l：，可得，所以直线l的斜率设倾斜角为，则，所以．故选：C． 2．A 【解析】先由，求出的取值范围，然后再验证，最后根据充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】若，所以有，得，或. 当时，； 当时，， 因此当，或.时，.所以，“”是“”充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了两直线平行系数之间的关系，考查了数学运算能力. 3．A 【分析】根据对称的性质，设点关于直线的对称点为，，利用斜率和中点坐标可得 ，利用直线的点斜式方程可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点关于直线的对称点为，， 则解得：． 由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选A 【点睛】本题主要考查点线点对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 4．C 【分析】由方程表示圆及点在圆外构造不等式求解即可； 【详解】由题意可知：表示圆，可得：，解得：， 又在圆外，所以，得：，所以k的取值范围为，故选：C 5．B 【分析】由椭圆的定义结合题意可求出，，再利用余弦定理及椭圆的离心率求得的值，根据所得条件选择合适的公式计算三角形的面积，可求出，即可得答案. 【详解】由已知条件及椭圆的定义可得，故，， 设，因为椭圆的离心率为，所以， 由余弦定理可得， 则，故的面积为，故， 则，故椭圆的焦距为.故选：B． 6．D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 7．A 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】对于圆，整理可得：， 可知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则，可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果. 8．B 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为，所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即，联立，解得，即， 所以，中点为，故以为直径的圆的方程为，即，，又圆，两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 9．ACD 【分析】结合图象可知，逐项判断即可. 【详解】根据题意，圆心，半径为2， 过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图， 则，所以，， 所以A正确，B错误； 四边形为正方形，中心为 所以P、A、Q、B均在圆上，C正确； 所在直线方程为，D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； 对于C，直线恒过定点，，点在圆内， 当时，取得最小值，C正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此的最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题. 11．ABD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】由椭圆C：，得，则，所以，因为点P是椭圆上的一个动点，所以， 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得，， 即，则，所以，所以的面积为，故B正确； 对于C，当点位于椭圆得上下顶点时，最大，当点位于椭圆得上下顶点时，， 此时为等边三角形，故的最大值为，所以椭圆C上不存点，使得，故C错误； 对于D，因为，所以 ，当且仅当，即时，取等号， 经检验符合题意，所以的最小值为，故D正确.故选：ABD. 12．或 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 13． 【分析】直线过定点，曲线的图象是以为圆心，2为半径的半圆，数形结合可求实数的取值范围. 【详解】直线的方程可写为：，所以直线过定点. 又曲线可化为：，它的图象是以为圆心，2为半径的半圆，如图所示 当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 当直线过时，直线的斜率. 所以直线与半圆有两个不同的交点时，实数的的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 14． 【分析】首先画出图形，设，，根据椭圆的定义和圆的性质得到，，从而得到，再构造函数求其范围即可. 【详解】如图所示： 设，，因为点在第一象限，所以. 又因为均在以线段为直径的圆上， 所以四边形为矩形，即. 因为，所以，即. 因为，， 所以，即. 因为， 设，，即，. 因为，所以在区间单调递增. 所以，即. 当时，解得，即，解得； 当时，解得，即，即. 综上. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由两个直线平行求得，然后求平行直线距离即可； （2）先求两个直线的交点，然后设平行直线的方程，求解即可. 【详解】（1）由题可知，，解得， 所以， 此时直线，之间的距离为. （2）当时，则， 联立方程，解得，即交点坐标为， 设所求直线为，所以有，得， 所求直线为. 16．(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出经过切点的半径所在直线方程，再求出圆心坐标即可得解. （2）根据给定条件，利用点到直线的距离公式及弦长公式，列式计算即得. 【详解】（1）依题意，过点且垂直于直线的直线方程为， 则圆的圆心在直线上，由，解得， 即点，因此圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离，， 于是的面积，解得或， 所以直线的方程为或，即或. 17．(1)； (2). 【分析】（1）将问题化为直线与圆有公共点，应用点线距离公式求范围； （2）设坐标分别为，，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及求参数k范围. 【详解】（1）由，即， 设直线，即该直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得，则． （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， 则，，且，即， 当为锐角时， ，解得，又， 综上，可得的取值范围为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义个焦半径公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分两种情况讨论，①直线与轴重合，求出的值；②直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求出的取值范围，综合可得答案. 【详解】（1）因为是椭圆上任意一点，且的周长为，则，可得， 设点，则且，所以，， 易知，则 ， 所以，的最小值为，所以，，解得，则， 因此，椭圆的方程为. （2）如下图所示： 若直线与轴重合时，此时，，则， 若直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以， . 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19．(1)； (2)（i）过定点，定点坐标为；（ii）. 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）（i）设，写出两点直径式方程，再与圆方程作差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标； （ii）设，，写出相关直线方程，求出，，再写出直线和的方程，联立得到，则得到最短距离. 【详解】（1）由题意得，则，设， 则， 化简得 （2）（i）设， 则以为直径的圆为：. 与方程作差可得直线为：. 即，则，解得. 则过定点. （ii）首先证明一个结论，标准圆， 其圆上任意一点，在该点处的切线方程为， 证明如下，当直线的斜率和直线的斜率均存在且不为0时，则，， 则切线方程为，即。 当直线的斜率不存在时，此时，，易得切线方程为，适合， 当直线的斜率为0时，此时，，易得切线方程为，适合， 综上圆上任意一点，在该点处的切线方程为. 设，， 则化简直线为：. 过定点，所以有（*） 直线为：，令，则，则 同理，直线为：，则同理得 则直线为： 即 同理直线为： 由，交于可知 两式作差可得 对比（*）式可得 即，即也在直线上. 则. 数学月考答案 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $