四川省绵阳中学实验学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

绵阳中学实验学校2025级高二上学期第一次月考 数 学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将答题卡交回. 第 卷(选择题) 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在三棱锥中,( ) A. B. C. D. 2.已知直线经过, 两点,则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 3.直线和的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合 4.已知为空间的一组基底,能与,组成基底的向量是( ) A. B. C. D. 5.在空间直角坐标系中,是平面外一点,平面的一个法向量为,的面积为3,且,则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 6.已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( ) A. B. C. D. 7.如图,已知正四面体的棱长为3,点满足,为的中点,则( ) A. B. C. D. 8.已知是空间中3个两两垂直的单位向量,向量,(为正数)且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有( ) A. B. C.若,且,则 D.若且,则 10.已知直线:,则下列说法正确的是( ) A.直线恒过定点 B.若直线与直线垂直,则 C.若直线在轴上的截距为3,则 D.若,则直线的倾斜角的取值范围为 11.在棱长为2的正方体中,点P满足,其中,, 则( ) A. 当时,平面 B. 当时,点P在棱上 C. 当时,三棱锥的体积为定值 D. 当时,存在两个点P,使得 第II卷(非选择题) 3、 填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分. 12.直线方程为,它的一个方向向量为,则的值为 13.已知点,点,则点到直线的距离为 14.在棱长为8的正方体中,E是棱上的一个动点,F为线段上的一个动点,则的最小值为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在四棱锥中,四边形ABCD为正方形,平 . (1)求证:平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16.(15分)已知向量,,. (1)若,求; (2)设若四点共面,求实数的值 17.(15分)如图在平行六面体中,,.令,,,以为基底,解决下列问题: (1)用、、表示向量,并求; (2)求直线和夹角的余弦值. 18.(17分)已知直线过点,且与轴、轴的正方向分别交于,两点,分别求满足下列条件的直线方程: (1)当时,求直线的方程. (2)当的面积最小时,求直线的方程. 19.(17分)如图,在直三棱柱中,,,,为棱的中点. (1)求点到平面的距离; (2)若点在上,且平面. ①求的值; ②设点P为棱上的动点,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围 绵阳中学实验学校2025级高二上学期第一次月考 数学参考答案 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C A D B D 8.D【详解】以为单位正交基底建立空间直角坐标系,可得向量,, 所以,可得, 所以, 当时,的最小值. 故选:D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABC AC AC 11.AC【详解】对于A,当时,,得,即, 所以点P与重合,即为, 因为,平面,平面, 所以平面,即平面,故A正确; 对于B,当时,,得,即, 因为,所以点P在线段上,故B错误; 对于C,当时,,得,则, 因为,所以点P在线段上, 平面,即平面, 所以, 所以三棱锥的体积为定值,故C正确; 对于D,当时,取的中点,的中点,则, 则, 则,则, 因为,所以点在线段上, 设,则, 则,, , 若,则,则, 则,所以,即点为线段的中点, 即当时,存在一个点,使得,故D错误. 故选:AC. 三、填空题填空题:本题共3小题,每小题5分,共计15分. 12. 2 13. 14. 14. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系,则, 可得, 设, 则,即, 可得, 当,即时,取到最小值. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)【详解】(1)因为平面,又因为平面, 所以. 在正方形中,易知, 又因为,平面, 因此平面. (2)易知两两互相垂直, 因此可以为坐标原点,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系, 则, 则. 由(1)可知,平面,故是平面的法向量. 设平面的法向量为, 则有,即,得,取,则, 即, 则,故平面与平面夹角的余弦值为. 16.(15分)【详解】(1)由,得,解得,则,而, 因此,所以. (2)若四点共面,则向量共面,设, 即,因此,解得, 所以x的值是. 17.(15分)【详解】(1), 由已知可得,, 因此,. (2)由(1)知, 因为, 所以,所以; 且 , 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 18.(17分)【详解】(1)由题意,作于,故 ,由可得 故 直线的方程为,即 (2)由题意,设直线的方程为 则 由于直线过,故 由于,故, 当且仅当,即时等号成立 即 故 此时直线的方程为:,即 19.(17分)【详解】(1)在直三棱柱中,,,两两垂直, 以为空间直角坐标原点,以,,方向分别为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系. ,,, 则,, 设平面的法向量为, 则,则有, 所以,又,, 所以,点到平面的距离为; (2)①,,则, 设, 则, 因为平面, 所以,,即 , 得, 所以,得, 所以; ② 试题 第8页(共9页) 试题 第9页(共9页) 学科网(北京)股份有限公司 $