精品解析：湖南娄底市涟源市2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年下学期随堂练习（一） 九年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 2. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的判定，菱形，矩形和等边三角形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形，故D符合题意． ∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 3. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 4. 如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 的周长的周长 D. 的面积四边形的面积 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．根据中位线定理得到，，得到，，即可求出的周长的周长，，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ D、E分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴的周长的周长，， ∴的面积四边形的面积． 所以A，C，D正确，B错误； 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：B． 6. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 先由得到，再由即可得到，即可解答． 【详解】解： ． 故选：C． 8. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 9. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 10. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．由菱形性质先判定，可得，所以．再由，可得，故，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设,,代入所求式子中求解即可. 【详解】解：∵， ∴设，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例性质、分式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键． 12. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由相似多边形的性质得出，，再由四边形内角和为求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，， ∴． 13. 如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m． 【答案】20 【解析】 【分析】根据两边对应成比例，夹角相等证明，再由相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 14. 如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴，则与的位似比是． ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得，过点E作于点F，则，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到，根据等腰三角形三线合一计算即可． 【详解】解：矩形中，∵， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点E作于点F，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，如图，由题意可知，，，，，证明，得到，即，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题6分，共12分） 17. 已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查比例线段，熟练掌握比例的性质是解题关键． 设，依次表示出b和c，解方程求出k的值后，计算出a，b，c的值． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得，，即， ∴，，． 18. 如图，已知直线，直线和被直线，，所截，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系，先求出未知线段的长度，再通过计算得到的长． 【详解】解：， ， 将，，代入得，， 解得， ． 四、解答题（每小题8分，共16分） 19. 如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为、． （1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形； （2）点的对应点的坐标是__________；点的对应点的坐标是__________ （3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】（1）解：如图，为所作； （2）， （3）的坐标为 【解析】 【分析】（1）（2）把B、C点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点即可； （3）把P点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， 点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是； 【小问3详解】 解：从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以的坐标，因为的坐标为， 所以点的坐标为． 20. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，求树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．先证明，求得，根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为． 五、解答题（每小题10分，共20分） 21. 已知在四边形中，，是对角线上一点，且． （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定． （1）根据已知可得，根据平行线的性质可得，即可得证； （2）根据线段中点的性质可得，根据相似三角形的性质可得，代入数据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的中点， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得; 22. 在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P沿AC从A向终点C以的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后△PCQ与△ABC相似． 【答案】当或△PCQ与△ABC相似． 【解析】 【分析】根据题意可得，当△PCQ与△ABC相似时，分，两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解． 【详解】解：设点P、Q出发秒后△PCQ与△ABC相似，则，， ①当时，，即，解得， ②当时，，即，解得， 综上所述，当P、Q出发后s或，△PCQ与△ABC相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 六、解答题（每小题12分，共24分） 23. 综合与实践 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． （1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． （2）方方说：“．”请你证明方方的结论． （3）小明说：“若，则．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） 圆圆的说法正确，理由如下： 由作图可知， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2） 证明：因为，， 所以， 所以， 所以． （3） 小明的说法正确，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，余角的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，由及，得； （2）易得，由相似三角形的性质即可证明； （3）由得，结合得，，从而得，由即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图1，中，，于点，点，分别为边，中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，是边上一点，连接，且． 求证：； 若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， ； （2） 证明：，是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜得出，根据等边对等角得出，根据，得出，进而根据三角形内角和定理得出； （2）①先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． ②连接，证明，根据相似三角形的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②连接， ，分别为，中点，，， ，， 又，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期随堂练习（一） 九年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 2. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 3. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 的周长的周长 D. 的面积四边形的面积 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 10. 如图所示，在菱形中，E为边中点，连接，交于点P，过点P作，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为_________． 12. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 13. 如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点C，D，E，使得A，C，D在同一条直线上，B，C，E在同一条直线上，且．若测得的长为，则的长为____________m． 14. 如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为______． 15. 如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 16. 将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则________． 三、解答题（每小题6分，共12分） 17. 已知线段a，b，c满足，且．求a，b，c的值． 18. 如图，已知直线，直线和被直线，，所截，若，，，求的长． 四、解答题（每小题8分，共16分） 19. 如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为、． （1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形； （2）点的对应点的坐标是__________；点的对应点的坐标是__________ （3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点的坐标是__________． 20. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，求树的高度． 五、解答题（每小题10分，共20分） 21. 已知在四边形中，，是对角线上一点，且． （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的长． 22. 在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P沿AC从A向终点C以的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后△PCQ与△ABC相似． 六、解答题（每小题12分，共24分） 23. 综合与实践 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． （1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． （2）方方说：“．”请你证明方方的结论． （3）小明说：“若，则．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 24. 如图1，中，，于点，点，分别为边，中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，是边上一点，连接，且． 求证：； 若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $