湖南道县敦颐学校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026年下期敦颐学校第一次学科素养竞赛 九年级（数学卷） （本试卷共24道小题，考试时量120分钟，满分120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 2．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 3．已知为锐角，且，那么的度数是（　　）姓名： 年级： 班级： 考号： A． B． C． D． 4．在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 5．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 6．对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） 第7题图 第8题图 第9题图 A． B． C． D． 8．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 9．如图，在中点、分别在边、上，下列四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） 第10题图 第15题图 第16题图 A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若，则的值为________. 12．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 13．已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为______． 14．在中，的余弦值是，那么的长是___________． 15．如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 16．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（8分）求下列各式的值： (1)； (2)． 18.（8分）在锐角中，，求的度数． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． ①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来 的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的 ． 判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出 位似中心，并写出点的坐标． 20．（8分）如图，，相交于点O，，，，，求的长． 21． （9分）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，． 求证：． 22．（10分）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 23．（10分）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求线段的长． (2)若的面积为36，求平行四边形的面积． 24．（10分）解答下列问题 (1)如图①，中，点为边上的点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，则___________． (2)如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； (3)如图③，中，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是___________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年下期敦颐学校第一次学科素养竞赛 九年级（数学卷）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B A A B C D B 1．C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 2．D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 3．D 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解∶∵为锐角，， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键． 4．B 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 5．A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 6．A 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 将选项中所给的条件添加后，由两个三角形相似的判定定理分析是否能确定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ， A、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； B、当时，则，由于不是边的夹角、不是边的夹角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知，此条件无法判定，符合题意； C、当时，则，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； D、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； 故选：B． 8．C 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 9．D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 10．B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据，结合，证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选B． 11． 【分析】根据比例设a=2k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设a=2k，b=3k， ∴ . 故答案为 【点睛】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键 12． 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， 则对应高的比等于相似比，即， 故答案为：． 14．16 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 15．9 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 16．/ 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 17．(1) (2) 【分析】代入特殊角的三角函数值，进行混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． 【详解】解：， ，，即， ，， ． 19．(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 20． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 21．证明：，，， ， 又， ． 【分析】根据两边成比例切夹角相等证明相似即可． 【详解】略 22．树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 23．(1)4 (2)16 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）由（1）中，根据相似三角形的性质求出的面积，然后证明，根据相似三角形的性质求出的面积，最后根据求解即可． 【详解】（1）解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴，即， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 24．(1)2.7 (2)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 同理， ， ； (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，利用平行线分线段成比例得到，即可求得； （2）由平行四边形性质得到，，证明得到，同理，，即可证明； （3）过点作以所在直线为对称轴的对称点，连接交于点H，则，，且、分别是边的中点，利用平行线分线段成比例得到为的中位线，则，连接与交于点，此时周长最小，即的周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出的最小值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ，即， ； （2）略 （3）解：过点作以所在直线为对称轴的对称点，连接交于点H，则，如图， ，且、分别是边的中点， ∴，， ∴点M为的中点，点N为的中点， 为的中位线， ∴， ， 连接与交于点，此时的周长最小，即的周长最小． ，， ∴， ∵， ，又， ∴， ∴， ， 在中， ， ． 即周长的最小值是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $