专题22.3 勾股定理 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027 学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题22.3 勾股定理 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学八年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方 · 能运用勾股定理进行计算和证明 · 了解勾股定理的几种经典证明方法（赵爽弦图等） · 掌握勾股定理的逆定理，能判断直角三角形 · 能运用勾股定理解决实际问题和最短路径问题 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 直角三角形两直角边a、b，斜边c，则a2+b2=c2 已知两边求第三边：c= 勾股定理只适用于直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 概念辨析例题：直角三角形两直角边分别为6和8，求斜边长。 解析：c===10 ☆ 2.勾股定理的证明 赵爽弦图：四个全等直角三角形围成大正方形，中间小正方形 面积法证明：大正方形面积=四个三角形面积+小正方形面积 毕达哥拉斯证法：两个正方形面积相等 勾股定理有数百种证明方法 概念辨析例题：赵爽弦图中大正方形面积13，小正方形面积1，求直角三角形两直角边。 解析：设直角边a,b，则a2+b2=13，(a-b)2=1，解得a=3,b=2 ☆ 3.勾股定理的逆定理与应用 逆定理：若三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2，则为直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数 实际应用：折叠问题、梯子问题、最短路径问题 折叠问题设未知数列方程是常用方法 概念辨析例题：一架梯子长2.5米，底端距墙0.7米，顶端距地面多高？ 解析：h====2.4米 📋 知识总结表 知识点 公式/内容 用途 勾股定理 a2+b2=c2 已知两边求第三边 逆定理 a2+b2=c2→直角三角形 判断直角三角形 勾股数 3,4,5等正整数 快速判断 赵爽弦图 面积法证明 理解定理来源 实际应用 建模直角三角形 解决生活问题 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理（第1-14题） · a2+b2=c2 · 已知两边求第三边 · 注意分类讨论斜边 1．如图，Rt△OBC的直角边BC的长为1，将斜边OB绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（　　） A．2.2 B． C． D． 【考点】勾股定理；实数与数轴． 【答案】D 【分析】利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【解答】解：∵点C的坐标为﹣2，点O在原点上， ∴OC＝2，又BC＝1 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得OB的长． 2．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【考点】勾股定理． 【答案】B 【分析】根据勾股定理分别求出第一个、第二个三角形的斜边长，根据规律得到第九个三角形的斜边长，根据估算无理数的大小的方法解答． 【解答】解：由题意，第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …， 第九个三角形的斜边长， ∴这海螺图形周长l， ∵34， ∴13＜1014， ∴周长l的整数部分是13． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，找到规律是关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 【考点】勾股定理；垂线段最短． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出AC，根据垂线段最短，求出BP的最小值即可解决问题． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10， 根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP4.8， ∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，动点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【考点】勾股定理；根与系数的关系． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系得到AC+BC＝3，AC•BC＝1，则由勾股定理求得AB边的长度． 【解答】解：根据题意，得AC+BC＝3，AC•BC＝1， 所以由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC＝32﹣2＝7． 所以AB． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，根与系数的关系，根据根与系数的关系求得AC+BC＝3，AC•BC＝1是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝6，S3＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C． D． 【考点】勾股定理． 【答案】D 【分析】由勾股定理得出S2+S1＝S3，求出S2＝9，进而求解即可． 【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S2+S1＝S3， ∴S2+6＝15， ∴S2＝9， ∴由图形可知，阴影部分的面积为． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出S2+S1＝S3． 6．在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上的高为12，则BC的长为　21或11　 ． 【考点】勾股定理． 【答案】21或11． 【分析】由于三角形的高的位置随三角形的形状改变而变化，分别根据题意画出当点D在线段BC上、点D在线段BC的延长线上时的图形，分别利用勾股定理得出答案即可． 【解答】解：设BC边上的高为AD， ①当点D在线段BC上时， 在Rt△ABD中，AB＝20，AD＝12， 根据勾股定理：16； 在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12， 根据勾股定理：5； ∴BC＝BD+CD＝16+5＝21； ②当D在线段BC的延长线上时， 同理可知：BD＝16，CD＝5， ∴BC＝BD﹣CD＝16﹣5＝11； 综上所述：BC＝21或11， 故答案为：21或11． 【点评】此题主要考查了三角形高的性质和勾股定理，根据题意利用分类讨论正确画出图形是解题关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝12，AC＝9，那么BD的长是　　 ． 【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【答案】． 【分析】过点D作DE⊥AB，如图所示：根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据勾股定理得到AB15，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝9，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图所示： ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵BC＝12，AC＝9， ∴AB15， 在Rt△ADE与Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）， ∴AE＝AC＝9， ∴BE＝AB﹣AE＝6， ∵DE2+BE2＝BD2， ∴（12﹣BD）2+62＝BD2， ∴BD， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，E是垂足．如果△BDE的周长为8，AC＝10，那么△ABC的周长是　28　 ． 【考点】勾股定理；角平分线的性质． 【答案】28． 【分析】根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据△BDE周长为8，得出DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8，证明Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），得出AE＝AC＝10，即可求出结果． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∵△BDE周长为8， ∴DE+BE+BD＝CD+BD+BE＝BC+BE＝8， ∵在Rt△ADC和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）， ∴AE＝AC＝10， ∴△ABC的周长为： AC+BC+BE+AE＝8+10+10＝28． 故答案为：28． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等． 9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD：DE为　3：2　 ． 【考点】勾股定理；角平分线的性质． 【答案】3：2． 【分析】由勾股定理得AC＝8，再由角平分线的性质得DA＝DF，进而由面积法求出DF＝3，则CD＝AC﹣DA＝5，然后由勾股定理得CF＝4，则BF＝6，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴DA⊥BA，， ∵BD平分∠ABC，DF⊥BC， ∴DA＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD+S△BCD， ∴， ∴6×8＝6DF+10DF， 解得：DF＝3， ∴DA＝3， ∴CD＝AC﹣DA＝8﹣3＝5， ∴， ∴BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6， ∵DF⊥BC，CE⊥BC， ∴DF∥CE， ∴， 即BD：DE＝3：2， 故答案为：3：2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 10．定义：当一个三角形有两个内角的差为90°时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝16，点D是边AB上的一动点（且AD＞BD），若△BCD是“差直角三角形”，则CD的长为 　或3　 ． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【答案】或3． 【分析】先作等腰△ABC的高CM，用勾股定理求出CM＝6，根据“差直角三角形“定义，分∠BDC﹣∠B＝90°和∠BDC﹣∠BCD＝90°两种情况讨论．第一种情况通过角的等量代换推导△CMD∽△BMC，用相似比求MD，再用勾股定理得CD；第二种情况构造平行线DN∥CM，得△NDB∽△CMB，结合CN＝DN列方程求BD，再用勾股定理得CD． 【解答】解：如图，过点C作CMAB于M，过点D作DNIICM，交BC于N． ∵AC＝BC＝10，AB＝16， ∴M为AB中点，AM＝MB＝8． ∴CM6．AD＞BD， ∴∠BDC为钝角． 分两种情况： ①∠BDC﹣∠B＝90°，则∠BDC＝∠B+90°， ∴∠MDC＝180°﹣∠BDC＝90°﹣∠B． ∵∠CMD＝∠BMC＝90°，∠MDC＝∠BCM＝90°﹣∠B， ∴△CMD∽△BMC， ∴，即， 解得MD， ∴CD； ②∠BDC﹣∠BCD＝90°，则∠BCD＝∠BDC﹣90°， ∴∠CDN＝∠BDC﹣90°， ∴∠CDN＝∠BCD． ∴DN∥CM， ∴△NDB∽△CMB， ∴，即 .， ∴ND，BNBD， ∵∠CDN＝∠BCD， ∴CN＝DN， ∴BC＝DN+BN＝/BDBD＝10．解得BD＝5， ∴MD＝BM﹣BD＝8﹣5＝3， ∴CD3， 综上，CD的长为或3． 故答案为：或3． 【点评】本题考查等腰三角形“三线合一“性质、相似三角形判定与性质、勾股定理，以及分类讨论思想的应用，理解定义是解题关键． 11．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线． （1）若∠B＝54°，求∠ECD的度数． （2）若AB＝10，BC＝6，求DE的长． 【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 【答案】（1）∠ECD的度数为18°； （2）DE的长为1.4． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠ADC＝∠CDB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCDB＝36°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝BE，从而可得∠BCE＝∠B＝54°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用面积法求出CD的长，最后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝54°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝36°， ∵∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线， ∴CE＝BEAB， ∴∠BCE＝∠B＝54°， ∴∠ECD＝∠BCE﹣∠BCD＝18°， ∴∠ECD的度数为18°； （2）在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6， ∴AC8， ∵△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∴AB•CD＝AC•BC， ∴10CD＝8×6， 解得：CD＝4.8， ∵CEAB＝5， ∴DE1.4， ∴DE的长为1.4． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 12．如图，在△ABC和△ACD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E是AC中点，∠DAB＝45°，AC＝6． （1）求证：DE＝BE； （2）求线段BD的长． 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线． 【答案】（1）∵在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，E是AC中点， ∴， 同理：， ∴DE＝BE； （2）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可； （2）先求出AE＝DE＝3，则由等边对等角和三角形外角的性质得到∠DEC＝2∠EAD，∠BEC＝2∠EAB，则可证明∠DEB＝2∠DAB＝90°，再利用勾股定理即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，E是AC中点， ∴， 同理：， ∴DE＝BE； （2）解：∵E是AC中点，且AC＝6，∠ADC＝90°， ∴， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴∠DEC＝∠EAD+∠ADE＝2∠EAD， 同理∠BEC＝∠EAB+∠ABE＝2∠EAB， ∴∠DEC+∠BEC＝2∠EAD+2∠EAB＝2（∠EAD+∠EAB）， ∴∠DEB＝2∠DAB， ∵∠DAB＝45° ∴∠DEB＝90°， 在直角三角形BDE中，由勾股定理得：∴BD2＝BE2+DE2， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 13．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，连结BD，F是BD的中点，连结EF． （1）求证：EF⊥BD； （2）如果CD＝6，BE+AD＝13，求AC的长． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线． 【答案】（1）如图，CD⊥BE，连结DE， ∴∠CGE＝90°， ∵BE∥AD， ∴∠ADC＝∠CGE＝90°， ∵∠ABC＝90°，E为AC的中点， ∴， ∴△BDE为等腰三角形， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）10． 【分析】（1）利用平行线性质得∠ADC＝90°，结合直角三角形斜边中线性质证BE＝DE，再由等腰三角形“三线合一”证EF⊥BD． （2）设BE＝x，直角三角形斜边中线定理得AC＝2x，再由BE+AD＝13表示出AD，最后在Rt△ACD中用勾股定理列方程，求解得AC的长． 【解答】（1）证明：如图，CD⊥BE，连结DE， ∴∠CGE＝90°， ∵BE∥AD， ∴∠ADC＝∠CGE＝90°， ∵∠ABC＝90°，E为AC的中点， ∴， ∴△BDE为等腰三角形， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：设DE＝BE＝x，则AC＝2x， ∵BE+AD＝13， ∴AD＝13﹣x， 在Rt△ADC中，CD＝6， 由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴（13﹣x）2+62＝（2x）2， 解得：（不合题意，舍去），x2＝5， ∴AC＝2×5＝10． 【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，解题关键是熟练掌握直角三角形性质和勾股定理． 14．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度达到点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是　　 ； （2）求|m+1|﹣|m﹣1|的值； （3）在数轴还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【考点】勾股定理；实数与数轴． 【答案】（1）； （2）； （3）在点B的右侧，理由：∵， ∴c﹣2≥0， 解得c≥2， ∴3﹣2c≤﹣1＜0， ∴，， ∴c﹣2+2c﹣3＝1， 解得c＝2， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为3×2＝6个单位长度， ∵点C表示的数为2，点D表示的数为， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 【分析】（1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断m+1、m﹣1的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出c＝2，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）∵， 则，， ∴， （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴c﹣2≥0， 解得c≥2， ∴3﹣2c≤﹣1＜0， ∴，， ∴c﹣2+2c﹣3＝1， 解得c＝2， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为3×2＝6个单位长度， ∵点C表示的数为2，点D表示的数为， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 【点评】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． 【考点2】勾股定理的证明（第15-20题） · 面积法证明 · 赵爽弦图 · 毕达哥拉斯证法 15．勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．小海在研究勾股定理证明的过程中用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为21，正方形ABGF的边长是正方形CDEG的边长的两倍．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中∠B'A'F'＝90°．则正方形B'C'E'F'的面积为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 【考点】勾股定理的证明． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°，根据全等三角形的性质得到BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c，证得四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c，推出四边形B′C′E′F′是正方形，设设FG＝2m，EG＝m，根据六边形ABCDEF的面积为14，列方程即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABGF、四边形CDEG是正方形， ∴GB＝GF，GC＝GE，∠BGF＝∠CGE＝90°， ∴∠BGC＝∠FGE＝90°， 在△BGC和△FGE中， ， ∴△BGC≌△FGE（SAS）， 同理可证△BGC≌△B′A′F′≌△E′D′C′， ∴BC＝EF，B′C′＝B′F′＝F′E′＝E′C′，设BC＝EF＝c， ∴四边形B′C′E′F′是菱形，B′C′＝c， ∵∠DEF＝∠A′F′E′，∠OEF＝∠A′F′B′， ∴∠B′F′E′＝90°， ∴四边形B′C′E′F′是正方形， ∵正方形ABGF的边长是正方形CDEG的边长的两倍， ∴设FG＝2m，EG＝m，∵六边形ABCDEF的面积为21， ∴4m2+m2+22m×m＝21， ∴m， ∴EFm， ∴E′F′＝EF， ∴四边形B′C′E′F′的面积＝15． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 16．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点】勾股定理的证明． 【答案】D 【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【解答】解：在①选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， 在①选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴ababc2（a+b）（a+b）， 整理可得a2+b2＝c2，故③可以证明勾股定理； 此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和， 所以S△ABC+S△ACD＝S△ABD+S△BCD 即b2abc2a（b﹣a）， 整理：b2+ab＝c2+a（b﹣a） b2+ab＝c2+ab﹣a2 ∴a2+b2＝c2． 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 17．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2 ． 【考点】勾股定理的证明． 【答案】c2＝a2+b2． 【分析】六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为c， ∴ ∵六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为2ab．中间小正方形的边长为b﹣a，面积为 （b﹣a）2． ∵正方形ABCD与六边形MNDEFB面积相等： ∴c2＝2ab+（b﹣a）2， ∴c2＝a2+b2． 所以关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2． 故答案为：c2＝a2+b2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时注意数形结合思想的运用． 18．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 　　 ． 【考点】勾股定理的证明． 【答案】． 【分析】方法一：由BE＝kAE可想到构造8字型相似，再利用比例线段求解即可；方法二：见到45°可构造等腰直角三角形，再利用手拉手全等和一个角平分线比例定理即可求解． 【解答】解：方法一：如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G， ∵AG∥BP， ∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE， ∴△AGE∽△BPE， ∴， 设AG＝1，则BP＝k， ∵∠NMP＝45°， ∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1， ∵AN＝BP＝k， ∴MN＝k﹣1， ∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2， ∴； 方法二：如图，过B作BG⊥BP交FE延长线于点G，则△GBP是等腰直角三角形， 易证△GBA≌△PBC， ∴∠BGP＝∠AGP＝45°， 根据角平分线比例定理得：， 设AG＝1，则BG＝k， ∴AM＝1，MD＝k＝AN， ∴MN＝k﹣1， ∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2， ∴； 故答案为：． 【点评】本题主要考查勾股定理得证明及正方形得性质、相似的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识和添加合适辅助线是解题关键． 19．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积＝4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理a2+b2＝c2． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若b＝2a，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于　，　 ． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a＝3，b＝5，那么空白部分的面积等于　19　 ． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC＝2，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：a2+b2﹣ab＝c2 ．（知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．） 【考点】勾股定理的证明． 【答案】（1）； （2）19； （3）； （4）a2+b2﹣ab＝c2． 【分析】（1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为＝小正方形的面积﹣两个三角形的面积，计算即可， （3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【解答】解：（1）∵，b＝2a， ∴， ∴，即小正方形面积：大正方形面积＝5：9， 故答案为：； （2）根据题意得， ， ∵空白部分的面积为＝小正方形的面积﹣两个三角形的面积， ∴，即空白部分的面积为19， 故答案为：19； （3）如图， 根据题意得， AB+AC＝28÷4＝7，OB＝OC＝2． 设AC＝x，则OA＝2+x，AB＝7﹣x． 在Rt△ABO中，OA2+OB2＝AB2， 即（x+2）2+22＝（7﹣x）2， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）a2+b2﹣ab＝c2． 理由：设大正三角形的高为h大，中心小正三角形的高为h小，三个全等三角形的边a上的高为h单． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， ∴大等边三角形的面积， ， ∴小等边三角形的面积， ， ， ∴三个这样的三角形面积之和为， ∴， 即（a+b）2＝c2+3ab， ∴a2+b2﹣ab＝c2， 故答案为：a2+b2﹣ab＝c2． 【点评】本题考查勾股定理的证明，根据图形得出面积关系是解题的关键． 20．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【考点】勾股定理的证明． 【答案】（1）证明：由图可知，， ， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）如图所示： ． 【分析】（1）先求出中间小正方形的边长为（b﹣a），再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【解答】（1）证明：由图可知，， ， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）解：根据题意设计方案即可，如图所示： 【点评】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． 【考点3】勾股定理的逆定理与勾股数（第21-34题） · 找最长边验证平方和 · 勾股数判断 · 逆定理判定直角三角形 21．下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（　　） A．三个内角之比为3：4：5 B．有一边的中线等于这边的一半 C．三边之比为 D．∠A﹣∠B＝∠C 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：A、∵三个内角之比为3：4：5， ∴三个内角的度数分别为45°、60°、75°， ∴不能确定三角形是直角三角形，符合题意； B、如图，由题意可知：CDAB＝AD＝BD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD， ∴∠A+∠B＝∠ACB， ∴∠ACB＝90°， 则能确定三角形是直角三角形，不符合题意； C、∵12+12＝（）2， ∴三边之比为1：1：是三角形是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∴∠A＝90°， 则能确定三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是直角三角形的判定，掌握三角形内角和定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． 22．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：13 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°75°≠90°，故△ABC不是直角三角形； B、因为∠C＝∠A﹣∠B，即∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°，解得∠A＝90°，故△ABC是直角三角形； C、因为b2＝a2﹣c2，所以a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形； D、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理． 23．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对的三条边长分别为a、b、c，则下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2＝b2﹣c2 B．∠A﹣∠B＝∠C C．a：b：c＝7：24：25 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可判断A和C，根据三角形内角和定理可判断B和D． 【解答】解：A、∵a2＝b2﹣c2， ∴a2+c2＝b2， ∴能判定△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠B+∠C＝∠A ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴能判定△ABC是直角三角形，不符合题意； C、设a＝7k，b＝24k，c＝25k， ∵a2+b2＝49k2+576k2＝625k2，c2＝625k2， ∴a2+b2＝c2， ∴能判定△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴， ∴不能判定△ABC是直角三角形，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．在△ABC中，∠B＝36°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为　54°　 ． 【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质． 【答案】54°． 【分析】由条件BC2﹣AC2＝AB2，根据勾股定理逆定理，得∠A＝90°，再根据直角三角形两锐角互余，求出∠C． 【解答】解：∵在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠A＝90°， 又∵∠B＝36°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°． 则∠C的大小为54°． 故答案为：54°． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 25．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　①②③　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【答案】①②③． 【分析】根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90°角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④． 【解答】解：①∠A﹣∠B＝∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C＝180°， 由∠A+∠B+∠A﹣∠B＝180°，解得∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则最大角， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ③（b+c）（b﹣c）＝a2，展开得b2﹣c2＝a2，即b2＝a2+c2， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ④a＝1，，c＝3，∵， ∴a+b＜c， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识点是关键． 26．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA，PB＝5，PC＝2，则△ABC的面积为 　　 ． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【答案】． 【分析】首先作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ与△ACP相似比为2，继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC的面积． 【解答】解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP， 则△ABQ∽△ACP， ∵AB＝2AC， ∴△ABQ与△ACP相似比为2， ∴AQ＝2AP＝2，BQ＝2CP＝4，∠QAP＝∠QAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°， ∵AQ：AP＝2：1， ∴∠APQ＝90°，∠AQP＝30°， ∴PQ3， ∴BP2＝25＝BQ2+PQ2， ∴∠BQP＝90°， ∴∠APC＝∠AQB＝90°+30°＝120°； 作AM⊥BQ于M， 由∠BQA＝∠BQP+∠AQP＝120°， ∴∠AQM＝60°，QM，AM＝3， ∴AB2＝BM2+AM2＝（4）2+32＝28+8， ∴S△ABCAB•ACsin60°AB2， 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度较大，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用． 27．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为　30　 ． 【考点】勾股定理的逆定理． 【答案】30 【分析】根据勾股定理的逆定理可求△ABC是直角三角形，再根据面积的和差关系可求阴影部分的面积． 【解答】解：∵52+122＝169＝132， ∴△ABC是直角三角形， S阴影π（）2π（）2﹣[π（）25×12]＝30． 故答案为：30． 【点评】考查了勾股定理的逆定理，观察图形的特点，用各面积相加减，可得出阴影部分的面积． 28．如图，点M、N把线段AB分割成线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝2，MN＝3，则BN2的值为 　5或13　 ． 【考点】勾股定理． 【答案】5或13． 【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得BN的长，本题得以解决． 【解答】解：当BN是斜边时， ∵AM＝2，MN＝3， ∴BN， 当MN为斜边时， ∵AM＝2，MN＝3， ∴BN， 故答案为：5或13． 【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 29．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米． （1）求∠ABC的度数； （2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）． 【考点】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线的性质． 【答案】这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为米． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可解答． 【解答】解：（1）∵AB2+BC2＝202+152＝625，AC2＝252＝625， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°； （2）设AD＝x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则CD＝AD＝x米，BD＝（20﹣x）米， 在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2， ∴x2＝（20﹣x）2+152， 解得x． 答：这架无人机向下飞行的距离（AD的长）为米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 30．如图，已知△ABC的三边满足AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）．l是过点B的一条直线，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，E是线段BD上一点，且∠BCE＝∠ABD． （1）求证：∠ABC＝90°； （2）取边AC的中点F，求证：FD＝FE． 【考点】勾股定理的逆定理． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）延长DF交CE于点G，证明△GCF≌△DAF后，利用直角三角形斜边中线性质即可得到结果． 【解答】证明：（1）∵AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）， ∴AB2+BC2＝（m2﹣n2）2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2， AC2＝（m2+n2）2＝[（m﹣n）2+2mn]2＝（m2+n2﹣2mn+2mn）2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴∠ABC＝90°． （2）如图，延长DF交CE于点G， ∵∠ABD+∠EBC＝90°，∠ABD ＝∠BCE， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∵∠BCE+∠EBC+∠CEB＝180°， ∴∠CEB＝90°，∠CED＝90°， ∵AD⊥l， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CED＝∠ADB， ∴CE∥AD， ∴∠GCF＝∠DAF， 在△GCF和△DAF中， ， ∴△GCF≌△DAF（ASA）， ∴FG＝FD， ∴FD＝FEGD． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 31．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．4，4，7 D．5，12，13 【考点】勾股数． 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，通过计算对四组作出判断． 【解答】解：A、∵22+32≠42， ∴2，3，4不是勾股数，故本选项不符合题意； B、∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意； C、∵42+42≠72， ∴4，4，7不是勾股数，故本选项不符合题意； D、∵52+122＝132， ∴正整数5，12，13是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 32．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．0.3，0.4，0.5 D．3，4，5 【考点】勾股数． 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：A、132+142≠152，错误，不是勾股数，不符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、52+122＝132，正确，是勾股数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键． 33．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　13，84，85　 ． 【考点】勾股数． 【答案】13，84，85． 【分析】观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，根据勾股定理列方程求解． 【解答】解：设第二个数字为b，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 则第三个数字为b+1， 由勾股定理，得132+b2＝（b+1）2， 即169+b2＝b2+2b+1， 整理得169＝2b+1， 解得b＝84， 故b+1＝85． 因此第⑥组勾股数为13，84，85． 故答案为：13，84，85． 【点评】本题考查了数的规律问题，勾股数．熟练掌握该知识点是关键． 34．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 　（11，60，61）　 ． 【考点】勾股数． 【答案】（11，60，61） 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，进而得出（11，60，61）． 【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 故答案为：（11，60，61）． 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理． 【考点4】勾股定理的应用（第35-41题） · 折叠设未知数列方程 · 梯子问题 · 最短路径展开图 35．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【考点】勾股定理的应用． 【答案】C 【分析】根据图形和勾股定理，可以得到x2+62＝（10﹣x）2，然后即可得到哪个选项符合题意． 【解答】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答． 36．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面距离为5米，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根C距离为3m，同时梯子顶端B下降至B′，那么BB′（　　） A．等于1米 B．小于1米 C．大于1米 D．以上都不对 【考点】勾股定理的应用． 【答案】B 【分析】由题意可知CA＝2，CB＝5，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB＝A′B′，又由题意可知CA′＝3，利用勾股定理分别求CB′长，把其相减得解． 【解答】解：在直角三角形ACB中，因为CA＝2，CB＝5 由勾股定理得：AB， 由题意可知AB＝A′B′，， 又CA′＝3，根据勾股定理得：CB′＝2， ∴BB′＝5﹣21． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中． 37．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度为3m．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度为9m．则旗杆的高度为　12　 m． 【考点】勾股定理的应用． 【答案】12． 【分析】由①得，绳子的长度比旗杆的高度多3m，设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度PF为（x+3）m，在Rt△PQE中，由勾股定理得PQ2+QF2＝PF2，列出方程，并解方程即可得到答案． 【解答】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多3m， 设旗杆PQ的高度为xm，则绳子的长度PF为（x+3）m， 在Rt△PQF中，PF＝x+3，QF＝9， 由勾股定理得：PQ2+QF2＝PF2，则x2+92＝（x+3）2， 整理得：6x+9＝81， 解得：x＝12， ∴旗杆的高度为12m， 故答案为：12． 【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 38．《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？”意思是“今有门，不知其高宽；有一竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．”问门高AB是　8　 尺． 【考点】勾股定理的应用． 【答案】8． 【分析】设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高AB为（x﹣2）尺，在Rt△ABD中，由勾股定理列出方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高AB为（x﹣2）尺， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得：x1＝10，x2＝2（不符合题意，舍去）， ∴x﹣2＝8，即门高AB为8尺， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 39．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 　4　 米． 【考点】勾股定理的应用． 【答案】4 【分析】由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可． 【解答】解：由勾股定理知，“路”长（米）， 12+5﹣13＝4（米）， 所以其实他们仅仅少走了4米． 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合的思想的应用． 40． 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为1：12，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过75cm，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道OV一休息平台VR一坡道VC′）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1：10，水平长度最大560cm，休息平台宽度最小150cm，轮椅入口宽度最小150cm． FG＝39cm，DE＝109cm，AC＝250cm． 乙组 NK＝91.2m，NM＝26.6cm． 丙组 C′Q＝9.8cm，PQ＝33.6cm． 休息平台宽为VR，轮椅入口宽为OT，A′T＝30cm，点T到连廊的距离TI为520cm． （1）根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（BC或B′C′），并判断是否安全； （2）为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道OV、坡道VC′）的坡度和坡高以及设计过程． 【考点】勾股定理的应用． 【答案】（1）坡度i＝7：24，坡高BC＝70cm，不安全； （2）坡道OV的坡高为22cm，坡度为1：10，坡道VC′的坡高为48cm，坡度为48：580． 【分析】（1）根据题意可知DH＝39cm，BC＝70cm，由勾股定理可得AB＝240cm，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点V作VJ⊥B′C′，可知四边形VWB′J为矩形，先求出OW、VW，即可求出坡道OV的坡高和坡度，再求出VJ、C′J，即可求出坡道VC′的坡高和坡度． 【解答】解：（1）由图1可知DH＝FG＝39cm，BC＝EH＝DE﹣DH＝109﹣39＝70（cm）， 在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝250cm， 由勾股定理得：AB240（cm）， 故原坡道的坡度为i＝BC：AB＝70：240＝7：24， ∵最大坡度为1：12，且， ∴原坡道不安全； （2）如平面示意图4，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点C′作C′B′⊥OT，过点V作VJ⊥B′C′，可知四边形VWB′J为矩形， 根据题意可知：OT＝150cm，RV＝SW＝150cm， ∵TI＝520cm， ∴OW＝IT﹣OT﹣SW＝520﹣150﹣150＝220（cm）， 当坡道OV的坡度为1：10时，VW＝22022（cm）， 由（1）可知A′B′＝240cm，B′C′＝70cm， ∵四边形VWB′J为矩形，A′T＝30cm， ∴B′J＝VW＝22cm，VJ＝WB′＝OW+OT﹣A′T+A′B′＝220+150﹣30+240＝580（cm）， ∴C′J＝B′C′﹣B′J＝70﹣22＝48（cm）， 故坡道VC′的坡度为C′J：VJ＝48：580， ∵， 故坡道VC′符合题目要求． 答：坡道OV的坡高为22cm，坡度为1：10，坡道VC′的坡高为48cm，坡度为48：580． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 41．李老师将笔记本水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角成为120°时，感觉最舒适（如图①）侧面示意图为图②；使用时为了散热，李老师将笔记本底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝26cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°． （1）求OC的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离（结果保留根号）． 【考点】勾股定理的应用． 【答案】（1）13cm； （2）（13+13）cm． 【分析】（1）解Rt△AOC即可求出OC的长； （2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△B′OE中求出B′E，进而求出B′D． 【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝26，∠OAC＝30°． ∴OC（cm）； （2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E， 由题意得，OA＝OB′＝26（cm）， 当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，可得，∠AOB′＝150° ∴∠B′OE＝60°， ∵∠ACO＝∠B′EO＝90°， ∴在Rt△B'OE中，B'E＝OB'×sin60°＝13（cm）， 又∵OC＝DE＝13（cm）， ∴B'D＝B'E+DE＝13+13（cm）， 即：点B′到AC的距离为（13+13）cm． 【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法． 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股定理只在直角三角形中用，先确认直角再套公式 · 已知两边求第三边注意分类讨论（哪边是斜边） · 逆定理判断时先找最长边，再验证较短两边平方和 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数列方程 · 实际问题先建模：画出直角三角形，标已知量求未知量 【作业1】已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝8，b＝13，c＝11 B．a＝6，b＝10，c＝12 C．a＝40，b＝41，c＝9 D．a＝24，b＝9，c＝25 【考点】勾股定理的逆定理． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵82+112＝185≠132，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵62+102＝136≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵402+92＝1681＝412，∴能构成直角三角形，故本选项正确； D、∵242+92＝657≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【作业2】如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 【考点】勾股定理；实数与数轴． 【答案】D 【分析】先计算出AM的长度，AM的长度即为AC的长度，结合矩形的性质和直角三角形勾股定理即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1， ∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°． ∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3， ∴AC， ∴AM＝AC， ∴点M所表示的数为1． 故选：D． 【点评】此题考查的是勾股定理，关键是分析题意，结合矩形的性质，利用数形结合的思想进行解答． 【作业3】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【考点】勾股定理的应用． 【答案】C 【分析】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可． 【解答】解：如图，∠ACB＝∠BDE＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.4m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 【点评】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键． 【作业4】下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．3，4，5 B．1，1， C．4，5，6 D．1，2，3 【考点】勾股定理的逆定理． 【答案】A 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、32+42＝52，可以构成直角三角形，故A选项正确； B、12+12≠（）2，不可以构成直角三角形，故B选项错误； C、42+52≠62，不可以构成直角三角形，故C选项错误； D、12+22≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【作业5】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】勾股定理的证明． 【答案】C 【分析】根据大正方形的面积为16结合a2+b2＝ab+10得出ab的值，再由小正方形的面积＝（b﹣a）2即可求解． 【解答】解：∵大正方形的面积是16， ∴a2+b2＝16， 又a2+b2＝ab+10， ∴ab＝6， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab ＝16﹣2×6 ＝4， 即小正方形的面积是4， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出小正方形的面积表示方法是解题的关键． 【作业6】等边三角形边长为6，则这个等边三角形的面积是　　 ． 【考点】勾股定理；等边三角形的性质． 【答案】． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等边三角形三线合一求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，然后根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，过点A作AD⊥BC于点D， ∴AB＝BC＝AC＝6，BD＝CD3，∠ADB＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【作业7】青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 　10　 ． 【考点】勾股定理的证明． 【答案】10 【分析】根据题意可得△IJC≌△KAM可以求出S△IJC＝S△KAM，即可得到图2中的阴影部分面积为S△GDC+S△BCM，用a，b表示后计算即可． 【解答】解：如图2， ∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b， ∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴△FNK≌△GHI， ∴FN＝GH＝a， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB， ∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a， ∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM ＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM ＝S△GDC+S△BCM ＝ab， ∵b﹣a＝3，a2+b2＝29， ∴， 即阴影部分的面积为10， 故答案为：10． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 【作业8】已知四边形ABCD的边长如图所示．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为　4　 ． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【答案】4． 【分析】根据三角形的三边关系确定AC的范围，再根据等腰三角形的性质解答． 【解答】解：在△ADC中，AD﹣DC＜AC＜AD+DC，即0＜AC＜6， 当△ABC为等腰三角形时，AC＝AB＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 【作业9】如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别为AC和BD的中点，连接MN，则MN的长度是　5　 ． 【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线． 【答案】5． 【分析】连接MB、MD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BMAC＝13，DMAC＝13，根据等腰三角形的性质得到MN⊥BD，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接MB、MD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝26，M为AC的中点， 则BMAC＝13， 同理可得：DMAC＝13， ∴BM＝DM， ∵N为BD的中点， ∴BN＝DNBD＝12，MN⊥BD， 由勾股定理得：MN5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 【作业10】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为1、2、3、4，则最大的正方形E的面积是　30　 ． 【考点】勾股定理． 【答案】30． 【分析】由正方形的面积结合勾股定理可得，SA+SB＝SF，SC+SD＝SH，SF+SH＝SE，据此解答即可． 【解答】解：如图，由正方形的面积结合勾股定理可得，SA+SB＝SF，SC+SD＝SH，SF+SH＝SE， ∴最大的正方形E的面积是SA+SB+SC+SD， ∵正方形A、B、C、D的边长分别为1、2、3、4． ∴最大的正方形E的面积是12+22+32+42＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关知识点是解题的关键． 【作业11】某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，求AE，BE的长． 【考点】勾股定理的应用． 【答案】AE＝66km，BE＝34km． 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出CE和DE，再根据CE＝DE建立方程求解． 【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（100﹣x）km． 根据题意，得CE＝DE． 在直角三角形ACE和直角三角形BDE中，AC＝20km， 由勾股定理得：202+x2＝（100﹣x）2+602， 解得：x＝66， ∴100﹣66＝34（km）， ∴AE＝66km，BE＝34km． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【作业12】不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【答案】在Rt△ABD中， ∵AD＝15dm，∠ABD＝90°，AB＝10dm， ∴BD2＝AD2﹣AB2， BD2＝152﹣102 ＝225﹣100 ＝125． 在△BCD中， ∵BC＝5dm，CD＝10dm， ∴BC2+CD2＝25+100＝125．BC2+CD2＝52+102， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 【分析】先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长度；再在△BCD中，通过勾股定理的逆定理判断∠BCD是否为90°，从而验证BC⊥CD是否成立． 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵AD＝15dm，∠ABD＝90°，AB＝10dm， ∴BD2＝AD2﹣AB2， BD2＝152﹣102 ＝225﹣100 ＝125． 在△BCD中， ∵BC＝5dm，CD＝10dm， ∴BC2+CD2＝25+100＝125．BC2+CD2＝52+102， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的内容是解题的关键． 【作业13】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，，． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【答案】（1）； （2）14． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定△ADC为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于△ABC与△ADC的面积之和，即可解答． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴． 则AC的长为2； （2）∵，，， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝SRt△ABC+SRt△ACD ＝14． 则四边形ABCD的面积为14． 【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【作业14】【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图④的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． （4）问题解决：如图⑤，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且∠BAC＝90°．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【考点】勾股定理的应用；勾股定理的证明． 【答案】（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2+abb2， 即a2+b2＝c2； （2）x； （3）如图， 由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （4）最短距离为米． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可； （3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可； （4）过点A作AD⊥BC于点D，根据三角形的面积公式求出AD的长即可． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2， 也可以表示为ababc2， ∴ababc2a2+abb2， 即a2+b2＝c2； （2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2； 在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2； 所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， 解得x； （3）如图， 由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （4）如图，过点A作AD⊥BC于点D，AD的长即为所求． ∵CA⊥BA， ∴根据①中得到的a，b，c之间的数量关系，得BC2＝AB2+AC2， ∵AB＝12米，AC＝5米， ∴BC13（米）， ∵S△ABCBC•ADAB•AC， ∴AD（米）， ∴最短距离为米． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 【作业15】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【考点】勾股定理的应用． 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km； （2）海港C会受到此次台风的影响，见解析； （3）台风影响该海港8小时． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【作业16】在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形ABCD，AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若AB＝3，BC＝4，CD＝4，求AD的长； （2）如图3，若AC＝BD＝5，求四边形ABCD的面积； （3）如图4，若AB＝3，，CD＝4，直接写出AD的长． 【考点】勾股定理． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可以求得AD的长； （2）根据三角形的面积公式，可以计算出四边形ABCD的面积； （3）先证明CD2+AB2＝AD2+BC2，然后即可计算出AD的长． 【解答】解：（1）∵CD＝BC＝4， ∴△BDC为等腰三角形． ∵AC⊥BD， ∴AC为DB的垂直平分线， ∴AD＝AB． ∵AB＝3， ∴AD＝3； （2）∵AC⊥BD， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC 5×5 ． （3）∵AC⊥BD， ∴CE2+DE2＝CD2，DE2+AE2＝AD2，AE2+BE2＝AB2，CE2+BE2＝BC2， ∴CD2+AB2＝CE2+DE2+AE2+BE2， AD2+BC2＝DE2+AE2+CE2+BE2， ∴CD2+AB2＝AD2+BC2， ∵AB＝3，，CD＝4， ∴42+32＝AD2+（）2， 解得AD＝2． 【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.3 勾股定理 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学八年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方 · 能运用勾股定理进行计算和证明 · 了解勾股定理的几种经典证明方法（赵爽弦图等） · 掌握勾股定理的逆定理，能判断直角三角形 · 能运用勾股定理解决实际问题和最短路径问题 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 直角三角形两直角边a、b，斜边c，则a2+b2=c2 已知两边求第三边：c= 勾股定理只适用于直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 概念辨析例题：直角三角形两直角边分别为6和8，求斜边长。 解析：c===10 ☆ 2.勾股定理的证明 赵爽弦图：四个全等直角三角形围成大正方形，中间小正方形 面积法证明：大正方形面积=四个三角形面积+小正方形面积 毕达哥拉斯证法：两个正方形面积相等 勾股定理有数百种证明方法 概念辨析例题：赵爽弦图中大正方形面积13，小正方形面积1，求直角三角形两直角边。 解析：设直角边a,b，则a2+b2=13，(a-b)2=1，解得a=3,b=2 ☆ 3.勾股定理的逆定理与应用 逆定理：若三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2，则为直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数 实际应用：折叠问题、梯子问题、最短路径问题 折叠问题设未知数列方程是常用方法 概念辨析例题：一架梯子长2.5米，底端距墙0.7米，顶端距地面多高？ 解析：h====2.4米 📋 知识总结表 知识点 公式/内容 用途 勾股定理 a2+b2=c2 已知两边求第三边 逆定理 a2+b2=c2→直角三角形 判断直角三角形 勾股数 3,4,5等正整数 快速判断 赵爽弦图 面积法证明 理解定理来源 实际应用 建模直角三角形 解决生活问题 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理（第1-14题） · a2+b2=c2 · 已知两边求第三边 · 注意分类讨论斜边 1．如图，Rt△OBC的直角边BC的长为1，将斜边OB绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（　　） A．2.2 B． C． D． 2．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 3．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（　　） A．14.8 B．15 C．15.2 D．16 4．△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝6，S3＝15．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．9 C． D． 6．在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上的高为12，则BC的长为__________ ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝12，AC＝9，那么BD的长是___________________ ． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，E是垂足．如果△BDE的周长为8，AC＝10，那么△ABC的周长是_______ ． 9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD：DE为________ ． 10．定义：当一个三角形有两个内角的差为90°时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝16，点D是边AB上的一动点（且AD＞BD），若△BCD是“差直角三角形”，则CD的长为 ____________________ ． 11．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，CE是AB边上的中线． （1）若∠B＝54°，求∠ECD的度数． （2）若AB＝10，BC＝6，求DE的长． 12．如图，在△ABC和△ACD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，E是AC中点，∠DAB＝45°，AC＝6． （1）求证：DE＝BE； （2）求线段BD的长． 13．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，连结BD，F是BD的中点，连结EF． （1）求证：EF⊥BD； （2）如果CD＝6，BE+AD＝13，求AC的长． 14．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度达到点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是_________________ ； （2）求|m+1|﹣|m﹣1|的值； （3）在数轴还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【考点2】勾股定理的证明（第15-20题） · 面积法证明 · 赵爽弦图 · 毕达哥拉斯证法 15．勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．小海在研究勾股定理证明的过程中用两张全等的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形ABCDEF由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形ABCDEF的面积为21，正方形ABGF的边长是正方形CDEG的边长的两倍．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中∠B'A'F'＝90°．则正方形B'C'E'F'的面积为（　　） A．18 B．15 C．12 D．10 16．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 17．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为_____________ ． 18．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 ____________________ ． 19．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积＝4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理a2+b2＝c2． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若b＝2a，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于___________________ ． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a＝3，b＝5，那么空白部分的面积等于_______ ． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC＝2，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：________________ ．（知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．） 20．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【考点3】勾股定理的逆定理与勾股数（第21-34题） · 找最长边验证平方和 · 勾股数判断 · 逆定理判定直角三角形 21．下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（　　） A．三个内角之比为3：4：5 B．有一边的中线等于这边的一半 C．三边之比为 D．∠A﹣∠B＝∠C 22．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝5：12：13 23．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对的三条边长分别为a、b、c，则下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2＝b2﹣c2 B．∠A﹣∠B＝∠C C．a：b：c＝7：24：25 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 24．在△ABC中，∠B＝36°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为________ ． 25．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 ________ ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 26．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA，PB＝5，PC＝2，则△ABC的面积为 ____________________ ． 27．如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为_______ ． 28．如图，点M、N把线段AB分割成线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝2，MN＝3，则BN2的值为 _________ ． 29．如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB＝20米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离AC＝25米，且BC＝15米． （1）求∠ABC的度数； （2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD，求这架无人机向下飞行的距离（AD的长）． 30．如图，已知△ABC的三边满足AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）．l是过点B的一条直线，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，E是线段BD上一点，且∠BCE＝∠ABD． （1）求证：∠ABC＝90°； （2）取边AC的中点F，求证：FD＝FE． 31．下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．4，4，7 D．5，12，13 32．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．0.3，0.4，0.5 D．3，4，5 33．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为_____________ ． 34．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 _______________ ． 【考点4】勾股定理的应用（第35-41题） · 折叠设未知数列方程 · 梯子问题 · 最短路径展开图 35．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 36．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面距离为5米，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根C距离为3m，同时梯子顶端B下降至B′，那么BB′（　　） A．等于1米 B．小于1米 C．大于1米 D．以上都不对 37．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度为3m．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度为9m．则旗杆的高度为_______ m． 38．《九章算术》“勾股”章中有一道题，原文是“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？”意思是“今有门，不知其高宽；有一竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．”问门高AB是_____ 尺． 39．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 _____ 米． 40． 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为1：12，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过75cm，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道OV一休息平台VR一坡道VC′）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1：10，水平长度最大560cm，休息平台宽度最小150cm，轮椅入口宽度最小150cm． FG＝39cm，DE＝109cm，AC＝250cm． 乙组 NK＝91.2m，NM＝26.6cm． 丙组 C′Q＝9.8cm，PQ＝33.6cm． 休息平台宽为VR，轮椅入口宽为OT，A′T＝30cm，点T到连廊的距离TI为520cm． （1）根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（BC或B′C′），并判断是否安全； （2）为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道OV、坡道VC′）的坡度和坡高以及设计过程． 41．李老师将笔记本水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角成为120°时，感觉最舒适（如图①）侧面示意图为图②；使用时为了散热，李老师将笔记本底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝26cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°． （1）求OC的长； （2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离（结果保留根号）． 💯 课后巩固 复习建议 · 勾股定理只在直角三角形中用，先确认直角再套公式 · 已知两边求第三边注意分类讨论（哪边是斜边） · 逆定理判断时先找最长边，再验证较短两边平方和 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数列方程 · 实际问题先建模：画出直角三角形，标已知量求未知量 【作业1】已知a、b、c分别是△ABC的三边，根据下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝8，b＝13，c＝11 B．a＝6，b＝10，c＝12 C．a＝40，b＝41，c＝9 D．a＝24，b＝9，c＝25 【作业2】如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 【作业3】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【作业4】下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．3，4，5 B．1，1， C．4，5，6 D．1，2，3 【作业5】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【作业6】等边三角形边长为6，则这个等边三角形的面积是________________ ． 【作业7】青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 _______ ． 【作业8】已知四边形ABCD的边长如图所示．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为_____ ． 【作业9】如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别为AC和BD的中点，连接MN，则MN的长度是_____ ． 【作业10】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为1、2、3、4，则最大的正方形E的面积是_______ ． 【作业11】某市准备在铁路AB上修建火车站E，以方便铁路AB两旁的C，D两城的居民出行．如图，C城到铁路AB的距离AC＝20km，D城到铁路AB的距离DB＝60km，AB＝100km，经市政府与铁路部门协商最后确定在到C，D两城距离相等的E处修建火车站，求AE，BE的长． 【作业12】不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝10dm，BC＝5dm，AD＝15dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【作业13】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，，． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【作业14】【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值． （3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图④的网格中，并标出字母a，b所表示的线段． （4）问题解决：如图⑤，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且∠BAC＝90°．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【作业15】台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【作业16】在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形ABCD，AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若AB＝3，BC＝4，CD＝4，求AD的长； （2）如图3，若AC＝BD＝5，求四边形ABCD的面积； （3）如图4，若AB＝3，，CD＝4，直接写出AD的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $