专题21.5一元二次方程应用9类必考题 优等生讲义(知识梳理+典例+练习)2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程应用的9类核心问题，系统梳理单循环（总场数n(n-1)/2）、双循环（总场数n(n-1)）、传播（1+x+(1+x)x）、增长率（a(1+x)²=b）等模型公式，通过知识总结表构建从基础模型到实际应用的学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 该资料以思维导图整合知识框架，培养学生用数学眼光观察现实问题的分类能力。典例结合商品促销、病毒传播等生活情境，通过建模过程发展模型意识（数学语言），动态几何问题的分类讨论（如等腰三角形存在性）提升推理能力（数学思维）。课中考点精讲辅助教师高效授课，课后针对性练习及错题整理建议帮助学生查漏补缺，强化应用能力。

专题21.5一元二次方程应用9类必考题 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 掌握单循环、双循环问题的基本模型，会用一元二次方程求参赛队数、人数等。 1. 理解传播问题的两轮传播模型，会列方程并检验实际意义。 1. 掌握增长率（下降率）公式 ，会解决连续增长或降低的实际问题。 1. 掌握商品销售利润模型：总利润 单件利润 销售量，会解决降价促销问题。 1. 掌握图形面积问题中设未知数、列面积方程的方法，会处理道路、围栏、动点面积等问题。 1. 掌握数字问题的设元方法，会表示两位数并建立方程。 1. 掌握动态几何中“时间—线段—面积”的表示方法，会分类讨论解决等腰三角形等问题。 1. 了解一元二次方程在酒精倒出、标准体重、几何法构图等综合问题中的应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 单循环问题 单循环赛制：每两个队之间只比赛一场。若有 个队，则比赛总场数为 。合影、握手、两两行礼等问题也属于单循环模型。 【典型例题】 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则 ______。 解析： 由 ，整理得 ，解得 ，（舍去）。答案：。 ☆ 2. 双循环问题 双循环赛制：每两个队之间进行两场比赛。若有 个队，则比赛总场数为 。互赠贺卡、互发微信等问题属于双循环模型。 【典型例题】 一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠132张贺卡，则参加聚会的同学共有______人。 解析： 设参加聚会的同学有 人，则 ，整理得 ，解得 ，（舍去）。答案：。 ☆ 3. 传播问题 传播问题通常按“一人传染 人”计算。第一轮后共有 人感染；第二轮后共有 人感染。 【典型例题】 有1人感染了“甲流病毒”，经过两轮传染后共有225人感染，设每轮传染中平均1人传染 人，则可列方程为______。 解析： 第一轮传染 人，第二轮传染 人，总人数为 。答案：。 ☆ 4. 增长率（下降率）问题 增长率公式：；下降率公式：。其中 为初始量， 为两次变化后的量。 【典型例题】 某旅游景点6月份共接待游客64万人次，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为 ，则这个增长率为______。 解析： 由题意得 ，解得 ，（舍去）。答案：。 ☆ 5. 商品销售问题 总利润 单件利润 销售量。降价促销时，通常“每降价 元，多售出 件”，需要根据变化后的单件利润和销售量列方程。 【典型例题】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，要使商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 解析： 设每件衬衫降价 元，则单件利润为 元，销售量为 件。列方程 ，解得 ，。为尽快减少库存，取 。答案： 元。 ☆ 6. 图形面积问题 图形面积问题中，常用“平移法”将道路集中到边上，从而得到剩余部分的长和宽；也常利用矩形、正方形面积公式建立一元二次方程。 【典型例题】 小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为多少？ 解析： 设 ，则 。由题意得 ，解得 或 （因墙长 ，舍去 ）。答案：。 ☆ 7. 数字问题 两位数表示为 ，其中 为十位数字， 为个位数字。常见关系：个位数字比十位数字大几、个位数字的平方等于原数等。 【典型例题】 一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　） A. 　　B. 　　C. 或 　　D. 无法确定 解析： 设个位数字为 ，则十位数字为 ，原数为 。由题意得 ，解得 或 ，对应两位数为 或 。答案：C。 ☆ 8. 动态几何问题 动点问题中，先用时间 表示相关线段长度，再根据面积公式、等腰三角形条件等建立方程。注意分类讨论和取值范围。 【典型例题】 矩形 中，，，点 从 沿 向 以 移动，点 从 沿 向 以 移动，同时出发，当一点到达终点时停止。经过几秒时， 的面积等于 ？ 解析： 设经过 秒，则 ，，。由 ，解得 或 。答案： 秒或 秒。 ☆ 9. 其他综合问题 其他问题包括：酒精倒出问题、标准体重判断、几何法解一元二次方程、销售中的单利复利、读书活动人数增长等。关键是转化为一元二次方程模型。 【典型例题】 形容周瑜的诗词：“而立之年睿东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为______岁。 解析： 设十位数字为 ，则个位数字为 ，年龄为 。由题意得 ，解得 （舍 ，年龄 不符“而立之年”），年龄为 。答案：。 ☆ 知识总结表 模型 核心公式/等量关系 注意事项 单循环问题 总场数 比赛、握手、合影、行礼等 双循环问题 总场数 互赠贺卡、互发微信等 传播问题 两轮后总人数 注意起始人数是否只有1人 增长率问题 增长率取正，下降率取正且小于1 商品销售问题 总利润 单件利润 销售量 根据“让利于顾客”“减少库存”取舍 图形面积问题 矩形面积 长 宽 道路问题常用平移法，注意墙长限制 数字问题 两位数 注意十位数字不能为0 动态几何问题 用 表示线段，再列方程 注意运动时间范围，分类讨论 核心考点 ·9大典型考点精讲 【考点1】单循环问题（第1-4题） 1. 设参赛队数或人数为 。 1. 利用 总次数列方程。 1. 解方程后舍去不符合实际意义的负值。 1. 常见背景：比赛、握手、合影、两两行礼。 1．（2025秋•静安区校级月考）n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则n＝　 　 ． 2．（2025秋•松江区校级月考）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是　 　 人． 3．（2024秋•浦东新区校级期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计45场比赛．则有 　 　 支队伍参加比赛． 4．（2025秋•杨浦区期末）古书中记载了这样一个问题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”其大意是：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有　 　 人． 【考点2】双循环问题（第5-8题） 1. 设参加人数或队数为 。 1. 利用 总次数列方程。 1. 注意区分单循环与双循环。 1. 常见背景：互赠贺卡、互发微信、双循环比赛。 5．（2025秋•闵行区校级月考）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠132张贺卡，则参加聚会的同学共有　 　 人． 6．（2023秋•松江区校级月考）元旦期间，某小队每个队员都要给其他每一位队员发一条微信，如果本次活动共发出90条微信，则这个小队的人数是 　 　 人． 7．（2024秋•鄂温克族自治旗期末）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，则参赛队伍有 　 　 支． 8．（2024秋•东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 　 　 ． 【考点3】传播问题（第9-12题） 1. 明确每轮传染人数 。 1. 第一轮后共有 人，第二轮后共有 人。 1. 若初始有 人，则两轮后为 。 1. 注意检验解的实际意义。 9．（2025•丽江模拟）甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若未得到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”．设每轮传染中平均1人传染x人则根据题意列出的方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 10．（2023秋•闵行区期中）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为 　 　 ． 11．（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 12．（2025秋•平塘县期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 【考点4】增长率问题（第13-19题） 1. 增长率公式：。 1. 下降率公式：。 1. 若给出三个季度总量，注意各项相加。 1. 增长率通常取正值，下降率需满足 。 1. 注意“平均增长率”“月平均下降率”等关键词。 13．（2025秋•普陀区校级月考）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的产值共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（　　） A．10% B．20% C．30% D．33.1% 14．（2022秋•静安区期中）上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长20%，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降15.2%．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（　　） A．（1+20%）（1﹣2x）＝1﹣15.2% B．（1+20%）（1﹣x）＝1﹣15.2% C．（1+20%）（1﹣15.2%）＝（1﹣x）2 D．（1+20%）（1﹣x）2＝1﹣15.2% 15．（2025秋•宝山区校级期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 　 　 ． 16．（2025秋•杨浦区期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精　 　 升． 17．（2024秋•静安区校级期末）元旦期间，某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同，已知该商品原来每件售价为750元，降价两次后每件售价为480元，那么每次降价的百分率是 　 　 ． 18．（2025春•崇明区校级期中）某起重机厂四月份生产A型起重机25台，生产B型起重机若干台，从五月份起，A型起重机产量的月增长率相同，而B型起重机每月增加3台，已知五月份A型起重机产量是B型起重机产量的2倍，六月份A、B两型起重机共生产54台，求四月份生产B型起重机的台数及从五月份起的A型起重机产量的月增长率． 19．（2024秋•奉贤区期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； （2）按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【考点5】商品销售问题（第20-24题） 1. 总利润 单件利润 销售量。 1. 降价后单件利润 原利润 降价。 1. 降价后销售量 原销售量 增加量。 1. 根据“尽可能让顾客得到实惠”“减少库存”等取舍。 1. 注意售价、进价、利润之间的关系。 20．（2025秋•黄浦区校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21．（2025秋•宝山区校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 22．（2025秋•松江区期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 23．（2024•浦东新区校级开学）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 24．（2026春•蜀山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条纵向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【考点6】图形面积问题（第25-34题） 1. 设道路宽、矩形边长等未知数。 1. 利用平移法求剩余部分的长和宽。 1. 根据面积公式列一元二次方程。 1. 注意墙长、门宽、材料总长等限制条件。 1. 几何法解方程时注意构图与面积关系。 25．（2025秋•宝山区校级期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 26．（2025春•浦东新区校级月考）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 27．（2025秋•宝山区校级期末）某园林设计师规划一个矩形花坛ABCD，并在其中种植一株景观树（记作点P），要求将矩形花坛的长边AB分成两段，且满足AP2＝AB×PB．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是　 　 ．（用含t的代数式表示） 28．（2025秋•虹口区校级期末）如图，某市近郊有一块长为60m、宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．若塑胶场地总占地面积为2430m2，则通道的宽为　 　 m． 29．（2025秋•浦东新区校级期末）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． （1）求通道的宽是多少米． （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 30．（2025秋•浦东新区校级月考）工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 31．（2025秋•杨浦区校级月考）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积恰好为40m2． （1）求此时花圃AB边的长； （2）花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由． 32．（2025秋•上海校级期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图）．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 33．（2024秋•长宁区月考）校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度；（参考数据：662＝4356，332＝1089） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 34．（2025秋•金山区期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以x2+12x＝64的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于x2+12x＝64，因此x（x+12）＝64．分别以x和x+12为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是x2的小正方形和两个面积是6x的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为64+36＝100，边长是x+6的正方形，显然该正方形的边长为10，故x+6＝10，得x＝4． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程x2+4x＝32的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程x2+4x＝32的正数根． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求x3+9x2+27x＝973的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体 　 　 块； 需要准备图（5）中的几何体 　 　 块； 需要准备图（6）中的几何体 　 　 块； 需要准备图（7）中的几何体 　 　 块； 请直接写出方程x3+9x2+27x＝973的一个正数根：x＝ 　 　 ． 【考点7】数字问题（第35-38题） 1. 设个位数字或十位数字为 。 1. 两位数表示为 。 1. 根据“个位数字比十位数字大几”“个位平方等于原数”等列方程。 1. 注意数字范围：十位数字为 ，个位数字为 。 35．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 36．（2024秋•清原县期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（　　） A．6 B．7 C．14 D．16 37．（2023秋•陇县期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 38．（2024秋•沙坡头区校级期中）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 【考点8】动态几何问题（第39-43题） 1. 用时间 表示相关线段长度。 1. 根据三角形、矩形面积公式列方程。 1. 等腰三角形问题需要分类讨论：、、。 1. 注意动点运动时间范围，舍去不符合题意的解。 39．（2025秋•崇明区期中）如图，AO＝BO＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3cm/s的速度沿OC方向爬行，则　 　 秒后两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450cm2． 40．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）△PBQ的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 41．（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿边CA运动，速度为1cm/s．与此同时，点E从点B开始沿边BC运动，速度为2cm/s．当点E到达点C时，点D，E同时停止运动．连接AE，DE，设运动时间为ts，△ADE的面积为Scm2． （1）用含t的代数式表示：CD＝ 　 　 cm，CE＝ 　 　 cm； （2）当CD为何值时 42．（2025秋•浦东新区期中）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36cm2，若图中阴影部分面积为10cm2，求正方形ABCD的面积． 43．（2024秋•嘉定区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为2cm/s，点N的速度为3m/s，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止，问经过几秒，△MCN的面积为36cm2？ 【考点9】其他综合问题（第44-46题） 1. 酒精倒出问题注意浓度变化和剩余纯酒精量。 1. 标准体重、肥胖程度问题先计算标准体重。 1. 几何法构图解一元二次方程注意面积拼接。 1. 单利、复利问题注意本金和利息的计算方式。 1. 把实际问题转化为一元二次方程模型。 44．（2025秋•浦东新区校级月考）形容周瑜的诗词：“大江东去浪涛尽，千古风流人物；而立之年睿东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为　 　 岁． 45．（2026春•虹口区校级期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 7～16岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）＝年龄×2+8； 肥胖程度的计算公式：肥胖程度． 一般地，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 20%～30% 30%～40% 40%以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 （1）小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ （2）为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低10%．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑7圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（π取3.14）． （3）小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为552千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）≈体重（千克）×跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量．他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 46．（2025秋•嘉定区期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　 　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　 　 ，b＝　 　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 准确建模： 先判断题目属于哪一类模型，再套用相应公式。 注意取舍： 根据实际意义舍去负值、超过限制的值、不符合“减少库存”“优惠大众”等条件的值。 增长率公式： 牢记 ，注意是“两次”变化。 销售问题： 总利润 单件利润 销售量，不要写错符号。 动态几何： 用时间 表示线段，分类讨论等腰三角形，注意 的取值范围。 错题整理： 把面积、销售、动点问题的易错点分类整理。 【作业1】（2025秋•徐汇区校级期中）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为100πcm3，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为16cm；将瓶子倒放时，空余部分的高度为4cm．则瓶子的底面半径为（　　） A．3cm B． C．2cm D． 【作业2】（2024秋•宝山区校级月考）如图，公园里有一段长20米的墙AB，工人师傅计划利用墙AB和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙AB的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（　　） A．由题意得2x•（40﹣2x）＝198 B．x的取值范围是0＜x≤20 C．只有一种围法 D．只有两种围法 【作业3】（2026秋•朝阳区校级同步）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（　　） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【作业4】（2025秋•黄浦区期末）2025年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动同学人数为　 　 ． 【作业5】（2025秋•浦东新区校级月考）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为　 　 ．（参考数据：1.414） 【作业6】（2025秋•普陀区校级月考）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为　 　 米． 【作业7】（2025秋•黄浦区期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【作业8】（2025秋•杨浦区期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息；复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息．小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【作业9】（2025秋•松江区校级月考）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在2023年国庆长假期间，接待游客达600万人次左右，预计在2025年国庆长假期间，接待游客达726万人次左右． （1）求桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价20元，则平均每天可销售200杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售25杯．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的利润额？ 【作业10】（2025秋•普陀区校级月考）现准备用50m长的木板建一个面积为324m2的长方形仓库，仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为1m的门． （1）当墙面足够长时，求仓库的长和宽； （2）在仓库一侧且离墙13m远处修一条小路，那么墙长至少为多少米，才能修建符合要求的仓库？ 【作业11】（2024秋•上海月考）今年家乐福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率． （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【作业12】（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　 　 ，6月份借阅图书的学生人数 　 　 ． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了m%，进货量比九月底增加3m%，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求m%的值． 【作业13】（2024秋•浦东新区校级期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为acm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为　 　 cm． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是600cm2，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为608cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【作业14】（2025秋•新疆期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点 （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.5一元二次方程应用9类必考题 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习)新沪教版（五四制）数学8年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 1. 掌握单循环、双循环问题的基本模型，会用一元二次方程求参赛队数、人数等。 1. 理解传播问题的两轮传播模型，会列方程并检验实际意义。 1. 掌握增长率（下降率）公式 ，会解决连续增长或降低的实际问题。 1. 掌握商品销售利润模型：总利润 单件利润 销售量，会解决降价促销问题。 1. 掌握图形面积问题中设未知数、列面积方程的方法，会处理道路、围栏、动点面积等问题。 1. 掌握数字问题的设元方法，会表示两位数并建立方程。 1. 掌握动态几何中“时间—线段—面积”的表示方法，会分类讨论解决等腰三角形等问题。 1. 了解一元二次方程在酒精倒出、标准体重、几何法构图等综合问题中的应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 单循环问题 单循环赛制：每两个队之间只比赛一场。若有 个队，则比赛总场数为 。合影、握手、两两行礼等问题也属于单循环模型。 【典型例题】 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则 ______。 解析： 由 ，整理得 ，解得 ，（舍去）。答案：。 ☆ 2. 双循环问题 双循环赛制：每两个队之间进行两场比赛。若有 个队，则比赛总场数为 。互赠贺卡、互发微信等问题属于双循环模型。 【典型例题】 一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠132张贺卡，则参加聚会的同学共有______人。 解析： 设参加聚会的同学有 人，则 ，整理得 ，解得 ，（舍去）。答案：。 ☆ 3. 传播问题 传播问题通常按“一人传染 人”计算。第一轮后共有 人感染；第二轮后共有 人感染。 【典型例题】 有1人感染了“甲流病毒”，经过两轮传染后共有225人感染，设每轮传染中平均1人传染 人，则可列方程为______。 解析： 第一轮传染 人，第二轮传染 人，总人数为 。答案：。 ☆ 4. 增长率（下降率）问题 增长率公式：；下降率公式：。其中 为初始量， 为两次变化后的量。 【典型例题】 某旅游景点6月份共接待游客64万人次，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为 ，则这个增长率为______。 解析： 由题意得 ，解得 ，（舍去）。答案：。 ☆ 5. 商品销售问题 总利润 单件利润 销售量。降价促销时，通常“每降价 元，多售出 件”，需要根据变化后的单件利润和销售量列方程。 【典型例题】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，要使商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 解析： 设每件衬衫降价 元，则单件利润为 元，销售量为 件。列方程 ，解得 ，。为尽快减少库存，取 。答案： 元。 ☆ 6. 图形面积问题 图形面积问题中，常用“平移法”将道路集中到边上，从而得到剩余部分的长和宽；也常利用矩形、正方形面积公式建立一元二次方程。 【典型例题】 小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为多少？ 解析： 设 ，则 。由题意得 ，解得 或 （因墙长 ，舍去 ）。答案：。 ☆ 7. 数字问题 两位数表示为 ，其中 为十位数字， 为个位数字。常见关系：个位数字比十位数字大几、个位数字的平方等于原数等。 【典型例题】 一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　） A. 　　B. 　　C. 或 　　D. 无法确定 解析： 设个位数字为 ，则十位数字为 ，原数为 。由题意得 ，解得 或 ，对应两位数为 或 。答案：C。 ☆ 8. 动态几何问题 动点问题中，先用时间 表示相关线段长度，再根据面积公式、等腰三角形条件等建立方程。注意分类讨论和取值范围。 【典型例题】 矩形 中，，，点 从 沿 向 以 移动，点 从 沿 向 以 移动，同时出发，当一点到达终点时停止。经过几秒时， 的面积等于 ？ 解析： 设经过 秒，则 ，，。由 ，解得 或 。答案： 秒或 秒。 ☆ 9. 其他综合问题 其他问题包括：酒精倒出问题、标准体重判断、几何法解一元二次方程、销售中的单利复利、读书活动人数增长等。关键是转化为一元二次方程模型。 【典型例题】 形容周瑜的诗词：“而立之年睿东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为______岁。 解析： 设十位数字为 ，则个位数字为 ，年龄为 。由题意得 ，解得 （舍 ，年龄 不符“而立之年”），年龄为 。答案：。 ☆ 知识总结表 模型 核心公式/等量关系 注意事项 单循环问题 总场数 比赛、握手、合影、行礼等 双循环问题 总场数 互赠贺卡、互发微信等 传播问题 两轮后总人数 注意起始人数是否只有1人 增长率问题 增长率取正，下降率取正且小于1 商品销售问题 总利润 单件利润 销售量 根据“让利于顾客”“减少库存”取舍 图形面积问题 矩形面积 长 宽 道路问题常用平移法，注意墙长限制 数字问题 两位数 注意十位数字不能为0 动态几何问题 用 表示线段，再列方程 注意运动时间范围，分类讨论 核心考点 ·9大典型考点精讲 【考点1】单循环问题（第1-4题） 1. 设参赛队数或人数为 。 1. 利用 总次数列方程。 1. 解方程后舍去不符合实际意义的负值。 1. 常见背景：比赛、握手、合影、两两行礼。 1．（2025秋•静安区校级月考）n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则n＝　6　 ． 【分析】根据总场数为，令其等于15，解方程即可． 【解答】解：依题意，比赛总场数为， 整理得，n（n﹣1）＝30， 因式分解得，（n﹣6）（n+5）＝0， ∴n﹣6＝0，n+5＝0， 解得：n＝6或n＝﹣5（不符合题意，舍去）． 则n的值为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 2．（2025秋•松江区校级月考）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是　50　 人． 【分析】设这个班的学生人数是x人，根据每两个同学之间会留下一张合影，最终拍摄了1225张照片，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这个班的学生人数是x人， 由题意得：x（x﹣1）＝1225， 整理得：x2﹣x﹣2450＝0， 解得：x1＝50，x2＝﹣49（不符合题意，舍去）， 即这个班的学生人数是50人， 故答案为：50． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024秋•浦东新区校级期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计45场比赛．则有 　10　 支队伍参加比赛． 【分析】有x支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计45场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设有x支队伍参加比赛， 由题意得：x（x﹣1）＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， 即有10支队伍参加比赛， 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2025秋•杨浦区期末）古书中记载了这样一个问题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”其大意是：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，则诸侯有　6　 人． 【分析】设诸侯共有x人，则每人行礼（x﹣1）次，根据每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设诸侯有x人，则每人行礼（x﹣1）次， 由题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）， 即诸侯有6人． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点2】双循环问题（第5-8题） 1. 设参加人数或队数为 。 1. 利用 总次数列方程。 1. 注意区分单循环与双循环。 1. 常见背景：互赠贺卡、互发微信、双循环比赛。 5．（2025秋•闵行区校级月考）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠132张贺卡，则参加聚会的同学共有　12　 人． 【分析】根据共送出贺卡数＝共有人数×每人需送出的贺卡数，列出方程，求出方程的解即可，注意n取正整数． 【解答】解：设参加聚会的同学有n人． 依题意得：n（n﹣1）＝132， n2﹣n﹣132＝0， （n﹣12）（n+11）＝0， 解得：n1＝12，n2＝﹣11（舍）． 答：参加聚会的同学有12人． 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意除了不给自己送贺卡外，其余同学都需送出． 6．（2023秋•松江区校级月考）元旦期间，某小队每个队员都要给其他每一位队员发一条微信，如果本次活动共发出90条微信，则这个小队的人数是 　10　 人． 【分析】设这个小队有x人，则每人需发（x﹣1）条微信，根据设这个小队有x人，则每人需发（x﹣1）条微信，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这个小队有x人，则每人需发（x﹣1）条微信， 根据题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， ∴这个小队的人数是10人． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2024秋•鄂温克族自治旗期末）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，则参赛队伍有 　20　 支． 【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程． 【解答】解：设参赛队伍有x支，则 x（x﹣1）＝380． 解得x＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 8．（2024秋•东城区校级期中）参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 x（x﹣1）＝90　 ． 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝90． 故答案为：x（x﹣1）＝90． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点3】传播问题（第9-12题） 1. 明确每轮传染人数 。 1. 第一轮后共有 人，第二轮后共有 人。 1. 若初始有 人，则两轮后为 。 1. 注意检验解的实际意义。 9．（2025•丽江模拟）甲型流感是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，其早期症状包括发热、咳嗽、喉痛、身体疼痛、头痛、畏寒和浑身乏力等．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，若未得到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”．设每轮传染中平均1人传染x人则根据题意列出的方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【分析】由每轮传染中平均1人传染x人，可得出第一、二轮被传染的人数，结合经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中平均1人传染x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2023秋•闵行区期中）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为 　2+2x+（2+2x）x＝72　 ． 【分析】由平均每轮传染x人，可得出第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有（2+2x）x人被传染，再结合经过两轮传染后共有72人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵有2个人患了流感，且平均每轮传染x人， ∴第一轮传染中有2x人被传染，第二轮传染中有（2+2x）x人被传染． 依题意得：2+2x+（2+2x）x＝72． 故答案为：2+2x+（2+2x）x＝72． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（2024秋•新会区校级月考）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）每轮传播中平均一人传染几个人？ （2）经过三轮传染后会超过700人患流感吗？请说明理由． 【分析】（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数×（1+8），即可求出结论． 【解答】解：（1）设每轮传播中平均一人传染x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）． 答：每轮传播中平均一人传染8个人； （2）经过三轮传染后会超过700人患流感，理由如下： 根据题意得：81×（1+8） ＝81×9 ＝729（人）， ∵729＞700， ∴经过三轮传染后会超过700人患流感． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（2025秋•平塘县期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”． （1）求出m的值； （2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 【分析】（1）根据两周后将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）由三人号召人数间的关系可得出小丽号召了（n+2）人、小红号召了（15﹣2n）人，根据小红的成功率比小颖的两倍少10%，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n的值，再利用号召的成功率100%，即可求出他们三人号召的成功率． 【解答】解：（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121， 整理得：（1+m）2＝121， 解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合题意，舍去）． 答：m的值为10． （2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人， ∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人． 依题意得：100%＝2100%﹣10%， 解得：n＝4， ∴100%100%＝40%，100%100%＝70%，100%100%＝60%． 答：小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【考点4】增长率问题（第13-19题） 1. 增长率公式：。 1. 下降率公式：。 1. 若给出三个季度总量，注意各项相加。 1. 增长率通常取正值，下降率需满足 。 1. 注意“平均增长率”“月平均下降率”等关键词。 13．（2025秋•普陀区校级月考）曹杨影院七月份的票房10亿元，第三季度的产值共33.1亿元，若每个月的增长率相同，则这个增长率为（　　） A．10% B．20% C．30% D．33.1% 【分析】设每月增长率为r，则七月票房为10亿元，八月为10（1+r）亿元，九月为10（1+r）2亿元，第三季度总票房为三者之和，列出方程求解． 【解答】解：设每月增长率为r， ∵第三季度总票房为33.1亿元， ∴10+10（1+r）+10（1+r）2＝33.1， 化简得：r2+3r﹣0.31＝0， 解得：r1＝0.1，r2＝﹣3.1（舍去）， ∴增长率为10%． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程解决实际问题，掌握其相关知识点是解题的关键． 14．（2022秋•静安区期中）上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长20%，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降15.2%．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（　　） A．（1+20%）（1﹣2x）＝1﹣15.2% B．（1+20%）（1﹣x）＝1﹣15.2% C．（1+20%）（1﹣15.2%）＝（1﹣x）2 D．（1+20%）（1﹣x）2＝1﹣15.2% 【分析】设一月份的产值为a，根据题意可用a和x表示出四月份的产值为a（1+20%）（1﹣x）2或a（1﹣15.2%），则a（1+20%）（1﹣x）2＝a（1﹣15.2%），即（1+20%）（1﹣x）2＝（1﹣15.2%）． 【解答】解：设一月份的产值为a， 则二月份的产值为a（1+20%）， ∴三月份的产值为a（1+20%）（1﹣x）， 四月份的产值为a（1+20%）（1﹣x）2． ∵四月份的产值比一月份的产值下降15.2%， ∴四月份的产值还可表示为a（1﹣15.2%）， ∴a（1+20%）（1﹣x）2＝a（1﹣15.2%）， 则（1+20%）（1﹣x）2＝（1﹣15.2%）． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 15．（2025秋•宝山区校级期末）某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则这个增长率为 　12.5%　 ． 【分析】设这个增长率为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，8月份共接待游客81万人次，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设这个增长率为x， 由题意得：64（1+x）2＝81， 解得：x1＝0.125＝12.5%，x2＝﹣2.125（不符合题意，舍去）， 即这个增长率为12.5%， 故答案为：12.5%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2025秋•杨浦区期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精　10　 升． 【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升， 根据题意得：•[60﹣（x+14）]＝60， 整理得：x2﹣106x+960＝0， 解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去）， 即第一次倒出了酒精10升． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2024秋•静安区校级期末）元旦期间，某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同，已知该商品原来每件售价为750元，降价两次后每件售价为480元，那么每次降价的百分率是 　20%　 ． 【分析】设每次降价的百分率是x，根据该种商品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每次降价的百分率是x， 根据题意得：750（1﹣x）2＝480， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．（2025春•崇明区校级期中）某起重机厂四月份生产A型起重机25台，生产B型起重机若干台，从五月份起，A型起重机产量的月增长率相同，而B型起重机每月增加3台，已知五月份A型起重机产量是B型起重机产量的2倍，六月份A、B两型起重机共生产54台，求四月份生产B型起重机的台数及从五月份起的A型起重机产量的月增长率． 【分析】设从五月份起A型起重机产量的月增长率为x，则五月份A型起重机产量为25（1+x）台，B型起重机产量为台，根据六月份A、B两型起重机共生产54台，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，可得出从五月份起的A型起重机产量的月增长率，再将其代入3中，即可求出四月份生产B型起重机的台数． 【解答】解：设从五月份起A型起重机产量的月增长率为x，则五月份A型起重机产量为25（1+x）台，B型起重机产量为台， 根据题意得：25（1+x）23＝54， 整理得：50x2+125x﹣27＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.7（不符合题意，舍去）， ∴33＝12． 答：四月份生产B型起重机12台，从五月份起的A型起重机产量的月增长率为20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（2024秋•奉贤区期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； （2）按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【分析】（1）设该生产线日产量的增长率为x，利用第三试验阶段的日产量＝第一试验阶段的日产量×（1+该生产线日产量的增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四试验阶段的日产量＝第三试验阶段的日产量×（1+该生产线日产量的增长率），可求出第四试验阶段的日产量，再将其与2500件比较后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该生产线日产量的增长率为x， 根据题意得：1500（1+x）2＝2160， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为20%； （2）根据题意得：2160×（1+20%）＝2592（件）， ∵2592＞2500， ∴他们的目标能实现． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点5】商品销售问题（第20-24题） 1. 总利润 单件利润 销售量。 1. 降价后单件利润 原利润 降价。 1. 降价后销售量 原销售量 增加量。 1. 根据“尽可能让顾客得到实惠”“减少库存”等取舍。 1. 注意售价、进价、利润之间的关系。 20．（2025秋•黄浦区校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量＝该品牌头盔4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价上涨y元，则每个的销售利润为（40+y﹣30）元，月销售量为（600﹣10y）个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其代入（40+y）中，可求出售价，再结合尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：200×（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设售价上涨y元，则每个的销售利润为（40+y﹣30）元，月销售量为6005＝（600﹣10y）个， 根据题意得：（40+y﹣30）（600﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， 当y＝10时，售价为40+10＝50（元/个）， 当y＝40时，售价为40+40＝80（元/个）， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（2025秋•宝山区校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 【解答】解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝10，x2＝20． ∵扩大销售量，减少库存， ∴x1＝10应舍去， ∴x＝20． 答：每件衬衫应降价20元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 22．（2025秋•松江区期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【分析】设该公司每辆车降低a万元，则下调后每辆汽车的售价为（25﹣a）元，利润为（25﹣a﹣12）元，根据使平均每周的销售利润为144万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设该公司每辆车降低a万元，则下调后每辆汽车的售价为（25﹣a）元，利润为（25﹣a﹣12）元， 由题意得：（25﹣a﹣12）（8+2a）＝144， 整理得：a2﹣9a+20＝0， 解得：a1＝5，a2＝4（不符合题意，舍去）， ∴25﹣a＝25﹣5＝20， 答：该公司每辆车的下调价格为20万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（2024•浦东新区校级开学）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． （1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ （2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【分析】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【解答】解：（1）设总共生产了a袋手工汤圆， 依题意得，， 解得a＝9000， 答：总共生产了9000袋手工汤圆； （2）设促销时每袋应降价x元， 依题意得，前10天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225x）， 第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润：（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]， ∴（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225x）]＝40500， 解得x1＝0，x2＝4． ∵要促销， ∴x＝4， 即促销时每袋应降价4元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 24．（2026春•蜀山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条纵向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【分析】（1）由中间部分种植面积是13552m2，列出一元二次方程，求解方程得x的值，再进行取值即可； （2）设草莓存放了m天，根据利润＝总销售额一收购成本﹣冷库费用，且利润为800元列一元二次方程并求解即可． 【解答】解：（1）依题意得：（100﹣4x）（160﹣2x）＝13552， 整理得：x2﹣105x+306＝0， 解得：x1＝3，x2＝102（2.5≤x≤6，不符合题意，舍去）， 答：小路的宽为3米符合要求； （2）设草莓存放了m天， 依题意得：（8+0.4m）（1000﹣10m）﹣8000﹣200m＝800， 整理得：m2﹣30m+200＝0， 解得，m1＝10，m2＝20（超出最大保存期限，不合题意，舍去）， 答：在第10天出售． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式或一元二次方程． 【考点6】图形面积问题（第25-34题） 1. 设道路宽、矩形边长等未知数。 1. 利用平移法求剩余部分的长和宽。 1. 根据面积公式列一元二次方程。 1. 注意墙长、门宽、材料总长等限制条件。 1. 几何法解方程时注意构图与面积关系。 25．（2025秋•宝山区校级期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是（x+x+2）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5，在下面四个选项中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣6＝0， ∴x（x﹣5）＝6， 拼图如图， ∴中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25， 大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7， 因此，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 26．（2025春•浦东新区校级月考）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 【分析】设BC长为xm，则AB的长为（10+1﹣x）m，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：设BC长为xm，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 27．（2025秋•宝山区校级期末）某园林设计师规划一个矩形花坛ABCD，并在其中种植一株景观树（记作点P），要求将矩形花坛的长边AB分成两段，且满足AP2＝AB×PB．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是　　 ．（用含t的代数式表示） 【分析】先根据线段比例关系和已知等式建立关于k的一元二次方程，求出正数k的值，再比较AP与BP的大小确定较小矩形的长，最后结合矩形面积公式计算面积； 【解答】解：∵AB＝t， ∴由得AP＝kt，则PB＝AB﹣AP＝t﹣kt， ∵AP2＝AB×PB， ∴（kt）2＝t（t﹣kt）， ∵t≠0，两边同时除以t2得， k2＝1﹣k，即k2+k﹣1＝0， 解得， ∵k是线段长度的比值， ∴k＞0， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴PB＜AP， ∵矩形花坛的宽为kt， ∴较小矩形的面积为PB×kt，代入得： ． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，比较实数的大小，掌握其相关知识点是解题的关键． 28．（2025秋•虹口区校级期末）如图，某市近郊有一块长为60m、宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．若塑胶场地总占地面积为2430m2，则通道的宽为　2　 m． 【分析】设通道的宽为xm，根据塑胶场地总占地面积为2430m2，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得到结论． 【解答】解：设通道的宽为xm，则a， 根据题意得：（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•2430， 整理得：x2﹣40x+76＝0， 解得：x1＝2，x2＝38（不符合题意，舍去）． 即通道的宽为2m， 故答案为：2． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．（2025秋•浦东新区校级期末）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． （1）求通道的宽是多少米． （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【分析】（1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【解答】解：（1）设通道的宽是x米， （50﹣2x）（30﹣2x）＝1056， 解得x1＝3，x2＝37（舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元，可租出个车位， ， y1＝40，y2＝400， 又∵要优惠大众， ∴y＝40． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 30．（2025秋•浦东新区校级月考）工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 【分析】设这个长方形的长为x米，则宽为，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案． 【解答】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：，即x2﹣50x+600＝0， 解得x＝20或x＝30， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴x＝20， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解． 31．（2025秋•杨浦区校级月考）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积恰好为40m2． （1）求此时花圃AB边的长； （2）花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设花圃AB边的长为x，则花圃的边BC的长为（22﹣3x）米，由墙的最大可用长度为11m，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令x（22﹣3x）＝50，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【解答】解：（1）设花圃AB边的长为x，则花圃的边BC的长为（22﹣3x）米， ∵墙的最大可用长度为11m， ∴根据题意列一元一次不等式得，22﹣3x≤11， 整理得，3x≥11， 解得：， 由题意可列方程得：x（22﹣3x）＝40， 整理得：3x2﹣22x+40＝0， 解得：x＝4或（舍弃）． 答：花圃AB边的长为4米； （2）花圃的面积不能达到50m2，理由如下： 令x（22﹣3x）＝50， 整理得：3x2﹣22x+50＝0， 因为Δ＝（﹣22）2﹣4×3×40＝﹣116＜0， 所以方程3x2﹣22x+50＝0无解，即花圃的面积不能达到50m2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． 32．（2025秋•上海校级期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图）．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【分析】设剪去的小正方形的边长为xcm，则长方体盒子的底面是边长为（10﹣2x）cm的正方形，侧面相邻两边长分别为（10﹣2x）cm，xcm，根据这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则长方体盒子的底面是边长为（10﹣2x）cm的正方形，侧面相邻两边长分别为（10﹣2x）cm，xcm， 根据题意得：（10﹣2x）2＝（10﹣2x）x， 整理得：3x2﹣25x+50＝0， 解得：x1，x2＝5， 又∵x，（10﹣2x）均为正数， ∴x． 答：剪去的小正方形的边长为cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 33．（2024秋•长宁区月考）校园内有一块长为40m，宽为30m的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． （1）如图1，测得草坪的面积是1064m2，求道路的宽度；（参考数据：662＝4356，332＝1089） （2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【分析】（1）设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形，根据草坪的面积是1064m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为ym，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设道路的宽度为xm，则剩余部分可合成长为（40﹣x）m，宽为（30﹣x）m的矩形， 根据题意列一元二次方程得：（40﹣x）（30﹣x）＝1064， 整理得：x2﹣70x+136＝0， 解得x1＝2，x2＝68（不符合题意，舍去）， 即道路的宽度为2m， 答：道路的宽度为2m； （2）设道路的宽度应设计为ym，则剩余部分可合成长为（40﹣2y）m，宽为（30﹣2y）m的矩形， 根据题意列一元二次方程得：， 整理得：y2﹣35y+150＝0， 解得y1＝5，y2＝30（不符合题意，舍去）． 即道路的宽度应设计为5m， 答：道路的宽度应设计为5m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（2025秋•金山区期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以x2+12x＝64的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于x2+12x＝64，因此x（x+12）＝64．分别以x和x+12为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是x2的小正方形和两个面积是6x的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为64+36＝100，边长是x+6的正方形，显然该正方形的边长为10，故x+6＝10，得x＝4． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程x2+4x＝32的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程x2+4x＝32的正数根． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求x3+9x2+27x＝973的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体 　1　 块； 需要准备图（5）中的几何体 　3　 块； 需要准备图（6）中的几何体 　3　 块； 需要准备图（7）中的几何体 　1　 块； 请直接写出方程x3+9x2+27x＝973的一个正数根：x＝ 　7　 ． 【分析】（1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由x3+9x2+27x＝1•x3+3•3x2+3•9x可得需要准备图（4）中的几何体1块；需要准备图（5）中的几何体3块；需要准备图（6）中的几何体3块，需要准备图（7）中的几何体1块，因此（x+3）2＝973+27＝103，由此求解即可． 【解答】解：（1）①∵x2+4x＝x2+x+x+x+x， ∴作图如下； ， ②根据①中所画图形求出方程x2+4x＝32的正数根， 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为1的小正方形切拼成了一个面积为32+4＝36，且边长是（x+2）的正方形． 显然该正方形的边长为（x+2），故（x+2）2＝36，得x＝4； （2）x3+9x2+27x＝1•x3+3•3x2+3•9x， 故需要准备图（4）中的几何体1块；需要准备图（5）中的几何体3块；需要准备图（6）中的几何体3块，需要准备图（7）中的几何体1块， 因此（x+3）2＝973+27＝103， 故方程x3+9x2+27x＝973的一个正数根为x＝7． 故答案为：1，3，3，1，7． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． 【考点7】数字问题（第35-38题） 1. 设个位数字或十位数字为 。 1. 两位数表示为 。 1. 根据“个位数字比十位数字大几”“个位平方等于原数”等列方程。 1. 注意数字范围：十位数字为 ，个位数字为 。 35．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 【分析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【解答】解：个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得： 10（x﹣3）+x＝x2， 原方程可化为：x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，x﹣3＝2，两位数为25； 当x＝6时，x﹣3＝3，两位数为36； 答：这个两位数是25或36． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 36．（2024秋•清原县期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（　　） A．6 B．7 C．14 D．16 【分析】设这个最大的数为x，则最小的数为（x﹣9），根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，设这个最大的数为x，则最小的数为（x﹣9）， 依题意得：x（x﹣9）＝112， 解得：x1＝16，x2＝﹣7（不合题意，舍去）， 答：这个最大的数为16， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 37．（2023秋•陇县期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可． 【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x， 依题意得：x2＝10（x﹣3）+x， ∴x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， ∴x﹣3＝2或3． 答：这个两位数是25或36． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 38．（2024秋•沙坡头区校级期中）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 【分析】设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可． 【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2， 根据题意列出方程得： [10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2， 整理得11x2+3x﹣14＝0， 解得x1＝1，x2（不合题意舍去）． 答：这原来的两位数是31． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【考点8】动态几何问题（第39-43题） 1. 用时间 表示相关线段长度。 1. 根据三角形、矩形面积公式列方程。 1. 等腰三角形问题需要分类讨论：、、。 1. 注意动点运动时间范围，舍去不符合题意的解。 39．（2025秋•崇明区期中）如图，AO＝BO＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3cm/s的速度沿OC方向爬行，则　15s或10s或30　 秒后两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450cm2． 【分析】分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在AO上运动；（2）当蚂蚁在OB上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【解答】解：有两种情况： （1）如图1，当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2， 由题意，得3x×（50﹣2x）＝450， 整理，得x2﹣25x+150＝0， 解得x1＝15，x2＝10． （2）如图2，当蚂蚁在OB上运动时， 设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2， 由题意，得3x（2x﹣50）＝450， 整理，得x2﹣25x﹣150＝0， 解得x1＝30，x2＝﹣5（舍去）． 答：15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2． 故答案为：15s或10s或30s． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物．分两种情况进行讨论是难点． 40．（2024秋•嘉定区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）△PBQ的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP＝xcm，BQ＝2xcm，BP＝（6﹣x）cm，根据△PBQ的面积等于8平方厘米，列出一元二次方程，解方程即可； （2）设运动时间为x秒，根据“△PBQ的面积等于10平方厘米”，列出一元二次方程，解方程即可判断． 【解答】解：（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则AP＝xcm，BQ＝2xcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）（cm）， 由题意得：（6﹣x）×2x＝8， 解得：x1＝2，x2＝4， 答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8平方厘米； （2）△PBQ的面积不能等于10平方厘米，理由如下： 设运动时间为x秒，△PBQ的面积等于10平方厘米， 由题意得：（6﹣x）•2x＝10， 整理得：x2﹣6x+10＝0， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×10＝﹣4＜0， ∴原方程无实数根， ∴△PBQ的面积不能等于10平方厘米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 41．（2025秋•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿边CA运动，速度为1cm/s．与此同时，点E从点B开始沿边BC运动，速度为2cm/s．当点E到达点C时，点D，E同时停止运动．连接AE，DE，设运动时间为ts，△ADE的面积为Scm2． （1）用含t的代数式表示：CD＝ t cm，CE＝ 　（8﹣2t）　 cm； （2）当CD为何值时 【分析】（1）由题意可知，CD＝tcm，BE＝2tcm，则CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm； （2）根据SS△ABC，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）∵点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s， ∴CD＝tcm， ∵BC＝8cm，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s， ∴BE＝2tcm， ∴CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm， 故答案为：t，（8﹣2t）； （2）由题意可知，0≤t≤4，CD＝tcm，BE＝2tcm，CE＝（8﹣2t）cm，AD＝（6﹣t）cm， ∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，SS△ABC， ∴SAD•CE（6﹣t）（8﹣2t）6×8， 整理得：t2﹣10t+9＝0， 解得：t1＝1，t2＝9（不合题意，舍去）， ∴CD＝1cm， 答：CD＝1cm时，SS△ABC． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 42．（2025秋•浦东新区期中）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36cm2，若图中阴影部分面积为10cm2，求正方形ABCD的面积． 【分析】根据正方形CEFG面积为36cm2，得出正方形CEFG边长为6cm，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解． 【解答】解：由题意可得：正方形CEFG边长为6cm， 设正方形ABCD边长为x，则DE＝6﹣x， ∴，， ∵阴影部分面积为10cm2， ∴， 整理得：， ∴36﹣x2＝20， 解得：x2＝16， ∴正方形ABCD面积为16cm2． 【点评】本题主要考查了整式乘法与图形面积，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解． 43．（2024秋•嘉定区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为2cm/s，点N的速度为3m/s，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止，问经过几秒，△MCN的面积为36cm2？ 【分析】设经过x秒，△MCN的面积为36cm2，利用路程＝速度×时间知CM＝（16﹣2x）cm，CN＝3xcm，根据“△MCN的面积为36cm2”作为相等关系列方程求解即可．最后注意对根进行检验，舍去不合题意的值． 【解答】解：设经过x秒，△MCN的面积为36cm2，依题意有 3x（16﹣2x）＝36， 解得x1＝2，x2＝6 经检验x2＝6不符合题意，舍去． 则x＝2． 答：经过2秒，△MCN的面积为36cm2． 【点评】考查了一元二次方程的应用，此类题目要读懂题意，准确地找到等量关系列方程，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行值的取舍． 【考点9】其他综合问题（第44-46题） 1. 酒精倒出问题注意浓度变化和剩余纯酒精量。 1. 标准体重、肥胖程度问题先计算标准体重。 1. 几何法构图解一元二次方程注意面积拼接。 1. 单利、复利问题注意本金和利息的计算方式。 1. 把实际问题转化为一元二次方程模型。 44．（2025秋•浦东新区校级月考）形容周瑜的诗词：“大江东去浪涛尽，千古风流人物；而立之年睿东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符”，则周瑜去世时的年龄为　36　 岁． 【分析】设周瑜去世时的年龄的十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据个位平方与寿符，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合年龄超过30岁，即可得出结论． 【解答】解：设周瑜去世时的年龄的十位数字为x，则个位数字为（x+3）， 根据题意得：10x+（x+3）＝（x+3）2， 整理得：x2﹣5x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， 当x＝2时，10x+（x+3）＝10×2+（2+3）＝25＜30，不符合题意，舍去； 当x＝3时，10x+（x+3）＝10×3+（3+3）＝36＞30，符合题意， ∴周瑜去世时的年龄为36岁． 故答案为：36． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 45．（2026春•虹口区校级期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 7～16岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）＝年龄×2+8； 肥胖程度的计算公式：肥胖程度． 一般地，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 20%～30% 30%～40% 40%以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 （1）小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ （2）为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低10%．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑7圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（π取3.14）． （3）小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为552千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）≈体重（千克）×跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量．他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 【分析】（1）先计算出标准体重，再由肥胖程度公式计算即可得解； （2）先求出跑道周长，再求出总路程，分别计算出第1个10分钟、第2个10分钟、第3个10分钟所跑的路程，结合题意判断即可； （3）先求出跑步距离，从而即可得出圈数． 【解答】解：（1）是肥胖，属于轻度肥胖， 标准体重为：12×2+8＝32（千克）， ∵40＞32， ∴小胖是肥胖． ∵肥胖程度为：， ∴属于轻度肥胖； （2）小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低10%． 跑道周长：2×100+3.14×80＝451.2（米）， 总路程为：7×451.2＝3158.4（米）， 满足大于3千米， 第1个10分钟跑的路程：120×10＝1200米， 第2个10分钟跑的路程：120×0.9×10＝1080米， 第3个10分钟跑的路程：120×0.9×0.9×10＝972米， 1200+1080+972＝3252米， ∵3158.4＜3252， ∴不能满足减重条件； （3）跑步距离＝552÷40＝13.8千米， 13.8×1000＝13800米， 13800÷451.2≈31圈， 故至少要跑31圈． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 46．（2025秋•嘉定区期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　﹣7　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　2　 ，b＝　3　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　﹣1　 ． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程（x+x+2）2＝144，即可得到方程的另一个根． （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4，画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为x+2，由题意得x（x+2）＝3，整理得x2+2x﹣3＝0，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 【解答】解：（1）由（x+x+2）2＝144得， （2x+2）2＝144， 2x+2＝±12， ∴x1＝5，x2＝﹣7， ∴原方程的另一个根是﹣7． 故答案为：﹣7； （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4， 画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x﹣3）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x﹣3）+32＝4×4+9＝25，因此，可得新的一元二次方程（x+x﹣3）2＝25， ∵x表示边长， ∴2x﹣3＝5， 即x＝4． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为x+2， 由题意得x（x+2）＝3， 整理得x2+2x﹣3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×3+4＝16，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝16， ∵x表示边长， ∴2x+2＝4， 即x＝1． ∴方程x2+ax+b＝0的一个正根为x＝1． 故答案为：2，﹣3，1． 【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 准确建模： 先判断题目属于哪一类模型，再套用相应公式。 注意取舍： 根据实际意义舍去负值、超过限制的值、不符合“减少库存”“优惠大众”等条件的值。 增长率公式： 牢记 ，注意是“两次”变化。 销售问题： 总利润 单件利润 销售量，不要写错符号。 动态几何： 用时间 表示线段，分类讨论等腰三角形，注意 的取值范围。 错题整理： 把面积、销售、动点问题的易错点分类整理。 【作业1】（2025秋•徐汇区校级期中）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为100πcm3，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为16cm；将瓶子倒放时，空余部分的高度为4cm．则瓶子的底面半径为（　　） A．3cm B． C．2cm D． 【分析】设瓶子的底面半径为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解． 【解答】解：设瓶子底面半径为xcm， 根据题意得：πx2×（16+4）＝100π， 得x2＝5， 解得：（负值舍去）， 故选：B． 【点评】此题考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程是解题关键． 【作业2】（2024秋•宝山区校级月考）如图，公园里有一段长20米的墙AB，工人师傅计划利用墙AB和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙AB的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（　　） A．由题意得2x•（40﹣2x）＝198 B．x的取值范围是0＜x≤20 C．只有一种围法 D．只有两种围法 【分析】由题意可得平行于墙的一边长为（40﹣2x）米，即可建立一元二次方程求解． 【解答】解：∵垂直于墙的一边长为x米， ∴平行于墙的一边长为（40﹣2x）米， 则：x（40﹣2x）＝198，故A错误； ∵， 解得：10≤x＜20，故B错误； 对于方程x（40﹣2x）＝198，化简得：x2﹣20x+99＝0， 解方程得：x1＝9，x2＝11， ∵10≤x＜20 ∴x＝11， 故只有一种围法，故C正确、D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【作业3】（2026秋•朝阳区校级同步）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（　　） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【分析】设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据总利润＝每件商品的利润×销售量建立方程求解即可． 【解答】解：设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为件，即（20+2x）件， 依题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得x1＝10，x2＝20， 当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合题意， 当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合题意， ∴每件商品降价10元． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系列式求解是关键． 【作业4】（2025秋•黄浦区期末）2025年暑假期间，某市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动同学人数为　12　 ． 【分析】设参加此次活动同学人数有x人，由题意得x（x﹣1）＝132，然后解方程并检验即可． 【解答】解：设参加此次活动同学人数有x人， 由题意列一元二次方程得：x（x﹣1）＝132， 整理得：x2﹣x﹣132＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去）， 则参加此次活动同学人数为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 【作业5】（2025秋•浦东新区校级月考）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为　29.3%　 ．（参考数据：1.414） 【分析】通过设每天“遗忘”的百分比为x，依据“两天不练丢一半”这一条件建立一元二次方程，求解方程并结合实际意义确定x的值． 【解答】解：设每天“遗忘”的百分比为x，由题意得： ． 解得，（x2＞1，不符合题意，舍去 ）． ∵， ∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故答案为：29.3%． 【点评】本题主要考查一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据等量关系列一元二次方程并求解是解题的关键． 【作业6】（2025秋•普陀区校级月考）小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为　15　 米． 【分析】设遮阳棚垂直于院墙的边长为x米，则平行于院墙的边长为（40﹣2x）米，根据遮阳棚的面积为150平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合院墙长为15米，即可确定结论． 【解答】解：设遮阳棚垂直于院墙的边长为x米，则平行于院墙的边长为（40﹣2x）米， 根据题意得：（40﹣2x）x＝150， 整理得：x2﹣20x+75＝0， 解得：x1＝5，x2＝15， 当x＝5时，40﹣2x＝40﹣2×5＝30＞15，不符合题意，舍去； 当x＝15时，40﹣2x＝40﹣2×15＝10＜15，符合题意， ∴遮阳棚垂直于院墙的边长为15米． 故答案为：15． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业7】（2025秋•黄浦区期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】设每件童装降价x元，则每件童装的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可售出（30+3x）件，利用总利润＝每件童装的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每件童装降价x元，则每件童装的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可售出（30+3x）件， 根据题意得：（40﹣x）（30+3x）＝1800， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵降价不能超过15元， ∴x＝10． 答：每件童装应降价10元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业8】（2025秋•杨浦区期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息；复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息．小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【分析】设年利率为x，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设年利率为x， 根据题意得：10000（1+x）2﹣10000（1+2x）＝100， 整理得：100x2＝1， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣0.1（不符合题意，舍去）． 答：年利率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业9】（2025秋•松江区校级月考）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在2023年国庆长假期间，接待游客达600万人次左右，预计在2025年国庆长假期间，接待游客达726万人次左右． （1）求桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价20元，则平均每天可销售200杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售25杯．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的利润额？ 【分析】（1）设年平均增长率为r，根据题意，列出一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据题意，列出一元二次方程求解． 【解答】解：（1）设年平均增长率为r， 则根据题意列一元二次方程得，600（1+r）2＝726， 解得：（不符合题意，舍去），r2＝10%， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为10%； （2）设降价x元， 售价：20﹣x元， 销量：200+25x杯， 单杯利润：售价﹣成本＝（20﹣x）﹣5＝15﹣x元， 总利润：利润＝（15﹣x）（200+25x）元， 则根据题意列一元二次方程得，（15﹣x）（200+25x）＝3250， 解得：x1＝2，x2＝5， 售价20﹣x元： 当x＝2时，售价18元； 当x＝5时，售价15元， 当每杯售价定为15元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的利润额． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【作业10】（2025秋•普陀区校级月考）现准备用50m长的木板建一个面积为324m2的长方形仓库，仓库的一边靠墙并在与墙垂直的一边留宽为1m的门． （1）当墙面足够长时，求仓库的长和宽； （2）在仓库一侧且离墙13m远处修一条小路，那么墙长至少为多少米，才能修建符合要求的仓库？ 【分析】（1）设垂直于墙的边长为xm，根据题意可得平行于墙的边长为（51﹣2x）m，而仓库的面积为324m2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题； （2）根据仓库一侧且离墙13m远处修一条小路，解答即可． 【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为50﹣（2x﹣1）＝（51﹣2x）m， 由题意，得x（51﹣2x）＝324， 解得x＝12或x＝13.5， 当x＝12时，另一边长为51﹣2×12＝27m； 当x＝13.5时，另一边长为51﹣2×13.5＝24m， ∴仓库的长和宽分别为27m和12m或24m和13.5m； （2）∵小路离墙13m， ∴垂直于墙的宽x＜13， 故选择x＝12，对应的长为27m． ∴墙长至少为27米，才能修建符合要求的仓库． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 【作业11】（2024秋•上海月考）今年家乐福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月的月平均增长率． （2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？ 【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量＝三月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件，利用商场销售该商品月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）， 答：四、五这两个月的月平均增长率为25%； （2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）件， 依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场月获利4250元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业12】（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　1100人　 ，6月份借阅图书的学生人数 　1440人　 ． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了m%，进货量比九月底增加3m%，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求m%的值． 【分析】（1）由题意分别列式计算即可； （2）设从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为x，根据在4月份有1000名学生借阅了图书，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）5月份借阅图书的学生人数是：1000×（1+10%）＝1100（人）， 6月份借阅图书的学生人数为：1100+340＝1440（人）， 故答案为：1100人，1440人； （2）设从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为x， 由题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x＝0.2＝20%（负值已舍去）， 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为20%； （3）由题意得：500（1+3m%）×[12﹣8（1+m%）]＝500（9.6﹣8）+1200， 设m%＝a， 整理得：6a2﹣a＝0， 解得：a1，a2＝0（不符合题意，舍去）， 即m%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【作业13】（2024秋•浦东新区校级期中）综合与实践：闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小明家走道旁靠墙处地面上有一块如图1大小的空闲区域，该区域可以放置合适大小的储物盒，小明家中有许多闲置的纸板箱． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为acm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小明分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 任务1 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入如图1的空闲区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为　40　 cm． 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 任务2 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是600cm2，求裁去小正方形的边长． 任务3 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为608cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【分析】任务1：根据储物区域的长为40cm，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； 任务2：设裁去的小正方形的边长为xcm，储物盒的底面积是600cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务3：设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据“EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为608cm2”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：任务1：∵储物区域的长为40cm，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图1中的四角裁去小正方形的边长为， ∴a＝30+2×5＝40（cm），即储物盒的宽a＝小正方形的边长为40cm， 故答案为：40； 任务2：设裁去的小正方形的边长为xcm， 根据题意列一元二次方程得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝600， 整理得，4x2﹣180x+1400＝0， 解得：x1＝10，x2＝35（不符合题意，舍去）， ∴裁去小正方形的边长为10cm． 任务3：设小长方形的宽为xcm，长为ycm， 根据题意列yiyuan二次方程组得：， 由2（y﹣x）＝100﹣2y得x＝2y﹣50， 把x＝2y﹣50代入（40﹣2x）（100﹣2y）＝608， 整理得（y﹣35）（y﹣50）＝76， 解得y1＝54，y2＝31， ∵100﹣2y＞0， ∴y＝31， ∴x＝2y﹣50＝12， 即小长方形的宽为12cm，长为31cm， 当EF和HG之间两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高12＜18， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． 【作业14】（2025秋•新疆期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问： （1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ； （2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形（直接写出答案）． 【分析】（1）等量关系为：AB﹣AP＝CQ，即16﹣2t＝t； （2）四边形PBCQ为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：BP＝QP，BP＝BQ和QP＝BQ三种情况． 【解答】解：（1）设两动点经过t秒时，使得BP＝CQ． 则16﹣2t＝t， 解得 t． 答：两动点经过秒时，使得BP＝CQ； （2）设两动点经过x秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的．则 （CQ+BP）•BCAB•AD，即（x+16﹣2x）×616×6， 解得 x． 答：两动点经过秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的； （3）两动点经过k（0≤k≤8）秒，使得△BQP是等腰三角形 ①当BP＝QP时，过点Q作QH⊥BP于点H． 则PQ， 所以 16﹣2k， 整理 得5k2﹣32k+36＝0， 解得 k1，k2； ②当BP＝BQ时，BQ． 则16﹣2k， 整理 得3k2﹣64k+220＝0． 解得k或（舍）； ③当QP＝BQ时，，即， 整理 得，（16﹣3k）2＝k2， 解得 k3＝4，k4＝8（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或秒或4秒或k时，使得△BQP是等腰三角形 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $