专题22.2 角平分线及其性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题22.2 角平分线及其性质 优等生讲义 2026-2027 沪教版（五四制）数学八年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 会用尺规作角平分线，理解作图的依据 · 掌握角平分线的性质定理，能熟练运用证明线段相等 · 掌握角平分线的判定定理，能熟练运用证明角相等 · 能综合运用角平分线的性质和判定解决几何问题 · 能应用角平分线的性质解决实际生活中的问题 📚 知识梳理 ☆ 1.角平分线的尺规作图 尺规作角平分线的依据是SSS证明三角形全等 作图步骤：①以顶点为圆心画弧交两边；②分别以两交点为圆心画弧交于一点；③连接顶点与交点 角平分线是一条射线，不是线段也不是直线 概念辨析例题：用尺规作∠AOB的平分线，并说明作图依据。 解析：作图依据是SSS：由作图得两组边相等，公共边相等，所以两三角形全等，对应角相等，即角平分线。 ☆ 2.角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE 作用：证明两条线段相等 注意：距离是指垂线段的长度，不是任意线段 概念辨析例题：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若DC=3，求点D到AB的距离。 解析：根据角平分线的性质定理，点D到AB的距离等于DC的长度，所以距离为3。 ☆ 3.角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上 作用：证明两个角相等或证明一条射线是角平分线 与性质定理是互逆定理 概念辨析例题：已知：点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，且PD=PE。求证：点P在∠BAC的平分线上。 解析：连接AP，证明Rt△APD≌Rt△APE（HL），得∠PAD=∠PAE，所以AP平分∠BAC。 ☆ 4.角平分线性质的实际应用 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等 应用：求三角形内到三边距离相等的点的位置 实际问题：如选址、修路、取水等问题 概念辨析例题：如图，要在△ABC内建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站应建在什么位置？ 解析：这个点是△ABC三条角平分线的交点（内心），因为内心到三边的距离相等。 📋 知识总结表 定理 条件 → 结论 作用 性质定理 角平分线上的点 → 到两边距离相等 证明线段相等 判定定理 到两边距离相等的点 → 在角平分线上 证明角相等 ⚠️ 核心考点 【考点1】作角平分线（尺规作图） · 牢记尺规作图的步骤和依据（SSS全等） · 作图时注意保留作图痕迹 · 能根据作图痕迹反推角平分线的性质 1．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 2．如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】根据三角形内角和定理得，由作法可知，是的平分线，得，由作法可知，是线段的垂直平分线，得，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作一个角的平分线以及平行线的性质，根据题意可知平分，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 4．在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 【答案】6 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查角平分线和垂线的尺规作图，含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图痕迹可知，平分，，因为，则，利用含的直角三角形的性质即可求． 【详解】解：根据作图痕迹可知，平分，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 5．如图，依据尺规作图的痕迹，______． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、等边对等角 【分析】本题考查作角平分线与线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，由尺规作图痕迹可知，所作是线段的垂直平分线和的平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作是线段的垂直平分线和的平分线， 设线段的垂直平分线和的平分线相交于点，线段的垂直平分线交于点， 则，，， 为等腰三角形， ， ， ． 故答案为：． 6．如图中，用尺规作图后得到直线m，连接，再次作图得到直线n，作图痕迹保留．若，则的大小是_________． 【答案】/36度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】根据题意得直线m垂直平分线段，直线n平分，得出，，利用三角形外角的定义及三角形内角和定理求解即可． 题目主要考查垂直平分线和角平分线的作法及性质，三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 【详解】解：根据题意得直线m垂直平分线段，直线n平分，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接． (1)如果，求的度数； (2)连接，交于点，如果是等腰三角形，求的度数．（直接写出度数） (3)在图中画出的平分线，交于点，交于点，连接．如果，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质 【分析】（1）分别求出，根据计算即可； （2）设，根据三角形内角和求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角求出，根据三角形内角和求出，根据三角形外角的性质得到，同（1）求出，则，根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的定义分三种情况作答即可； （3）根据要求画出图形即可；设，由推出，可得，，证明，推出，，，在中，根据，构建方程求出a，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 设，则， 由垂直平分得， 则， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，分三种情况： 当时，，解得，不成立； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； （3）解：如图2，是的平分线； 证明：连接， ∵平分， 设， ∵， ∴． ∵是等边三角形，E为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在区建立一个蔬菜配送中心，、两个蔬菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） 【答案】 解：如图，点即为所求； 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，线段的垂直平分线，涉及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先连接线段，然后作出线段的垂直平分线，再作出两公路m、n夹角的角平分线，与线段的垂直平分线相交于点，根据角平分线的性质定理可知点E到m、n的距离相等和线段垂直平分线的性质知，即点为所求． 【详解】略 【考点2】角平分线的性质定理 · 见到角平分线，想到向两边作垂线段 · 性质定理的核心是"垂线段相等" · 常与三角形面积、全等证明结合考查 9．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是，那么__________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质可得，进而由三角形的面积可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， 又由作图可知是的角平分线， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16   证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 【答案】(1)①如图： 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)结论不正确，理由：可以构造反例：两个三角形有两边对应相等，且其中一组等边上的高相等，但这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等．如图： ，，，则与不全等． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、判断命题真假 【分析】（1）①在和中，分别作和的角平分线、； 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 先证明，根据证明，得，再根据即可证明； （2）结论不正确，可以举反例说明． 【详解】（1）解：①在和中，分别作和的角平分线、； ②略 （2）略 11．如图，在中，，平分交于点，点在边上．增加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中，一定能推导出的条件有（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、等边对等角 【分析】由等边对等角可得，由角平分线的定义得出，再根据平行线的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①符合题意； ②当时，， ∴， ∴，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ④当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意． 12．如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连接．交于点，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】由是边上的高，，推导出，再根据角平分线性质定理，可判断A；假设一定成立，则，所以，推导出，可判断B；由，，根据三角形外角的性质，证得，再根据等角对等边，可判断C；根据平行线的性质和等边对等角，可证明，即可判断D． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ，是的平分线， ∴， ∴，故A不符合题意； 假设成立，则， ， ∴，无此已知条件， ∴不一定成立，故B符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意． 13．如图，在中，延长至点，延长至点的角平分线交于点P，交于点，垂足分别为点M、N．则下列结论中正确的个数（   ）． ①平分；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点P作于D，由角平分线的性质定理可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；证明，得出，同理可得，从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④；根据三角形的面积法可判断⑤． 【详解】解：①如图：过点P作于D， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 由不一定等于，故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，④正确． 如图：过O作， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故⑤正确． 综上，①③④⑤正确，共4个． 故选：D． 14．如图，中，，于点D，平分，于点E，交于F，H是的中点，连接交于G．则结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤中，正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】由可证可得可判断①正确．再证明以及等腰三角形的性质可进一步得出，可判断④正确，由角的关系得出是等腰三角形，可判断②正确，由全等三角形的性质可得则可得可判断③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求，可判断⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确． 平分，， ． 又，即， 在和中， ， ， ． 由①知， ∴，故④正确． 是等腰直角三角形，是中点， ，． ，， ， （等量代换）， （等角对等边）， 是等腰三角形，故②正确． 由①，得（全等三角形对应边相等）． ． 又由④，得（全等三角形对应边相等）． ，故③正确． 平分，， ∴等于中边上的高h， （高相同，约去），故⑤正确． 综上，①②③④⑤均正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质、角平分线性质定理及三角形面积公式的综合应用，熟练掌握全等三角形判定与性质、等腰三角形及角平分线相关定理是解题关键 15．如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，结合为直角三角形进行分类讨论，再进一步求解即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵为直角三角形，且， ∴分下面两种情况讨论： ①如图，当时， ∴， ∴； ②如图，当时，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 16．如图，是的角平分线，，垂足为点F，，和的面积分别为50和38，则的面积为______． 【答案】6 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】过点D作于点H，证明得到，根据四边形的内角和及，得到，根据同角的补角相等得到，从而证得，得到．设，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：过点D作于点H，则． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在四边形中，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 17．如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 18．如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于__________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ，平分， ， 的面积． 故答案为：． 19．如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【详解】解：略 20．如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【答案】①三角形的内角和定理；②；③；④；⑤；⑥三角形外角的性质；； 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在中，（三角形的内角和定理） 又， 度 平分， 度． （三角形外角的性质）， 度． 21．研究互逆命题的证明，是同学们课余进行数学探究的常用方法． (1)命题：等腰三角形两个底角的平分线相等． 请写出已知、求证，并证明上述命题为真命题． (2)1840年德国数学家莱莫斯提出了（1）中命题的一个逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形．这个命题难倒了众人，直到1844年由瑞士几何学家斯坦纳首次给出证明，于是该命题得名“斯坦纳-莱莫斯定理”． 下面给出了该命题证明过程的一部分，请将证明过程补充完整．（填写空白部分并完成剩余部分的证明） 已知：如图，在中，为的平分线，为的平分线，． 求证：． 证明：假设 ， ①若， 由大边对大角，所以． 因为分别为的平分线， 所以， 所以 ． 所以在的内部，作交于点． 因为， 所以对于，有 ， 由 ，所以． 所以在上截取一点Q使得． （请试着继续完成剩余部分的辅助线说明及后续证明） 【答案】(1)已知：在中，，，分别是，的平分线， 求证：． 证明：， ， 又，分别是，的平分线， ， 则， 在和中， ， ， ； (2)证明：假设， ①若， 由大边对大角，所以． 因为分别为的平分线， 所以， 所以． 所以在的内部，作交于点． 因为， 所以对于，有， 由大边对大角，所以． 所以在上截取一点Q使得,过作交于， ， 在和中， ， ， ，则，这与矛盾, 故不成立； 同理可得不成立， 综上，． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、写出一个命题的已知、求证及证明过程、用反证法证明命题 【分析】（1）写出已知、求证，根据题意证明即可 （2）利用反证法，假设，分、两种情况，推导出与题干矛盾即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 23．如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为_______． 【答案】/10度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质与判定，分别延长，，过点作交于，交于，交于，然后证明、、是内角或外角的角平分线，再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：分别延长，，过点作交于，交于，交于， ，， ，即平分， ∵，， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ， ， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，在中，，点、分别在边、上，，作于，交边于． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， 在与中， ， ， ， 平分． (2) 证明：在与中 ， ， ， ， ， ， ∴， ∴ ． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、线段的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 25．如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 【答案】(1) (2) 证明：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，平分， ，， ， 平分； 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分； 【详解】（1）解：， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2） 略 26．【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本的例1同时运用了角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例1．如图1，已知，在中，、分别是、的平分线，，，垂足分别为点、． 求证：点在的平分线上． 证明：如图2，过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理） 同理可得： 又，∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接、、． （1）点为三条___________的交点，点为三条___________的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线；②角平分线；③高；④中线； （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么___________．（用含的代数表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）； （3）示意图如图2所示． ， 由题意得，， ， 由（2）可知． ， ，， ， ， 点在的垂直平分线上． 在和中， ，，， ， ，， 是的垂直平分线， 点在直线上． 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）对于：根据角平分线的性质定理以及逆定理可得点是三条角平分线交点．对于：通过证明，得出点、在线段垂直平分线上，同理证、是、垂直平分线，从而确定点是三条边垂直平分线交点； （2）先利用、，结合等腰三角形性质表示出、，进而得出与的关系．再依据、，结合四边形内角和及，求出，进而得到，最终算出 ． （3）先根据、推出，结合（2）的结论得 ．由推出，得，即点在垂直平分线上 ．证明，得出、，即是垂直平分线，从而证得点在直线上 ． 【详解】解：（1）过点作，垂足为． 是的平分线，，， （角平分线的性质定理）， 同理可得：， ， 又，， ∴点在的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的角平分线上）． 由于、、分别是三个角的平分线， ∴点为三条角平分线的交点． 如图所示， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 同理：是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 因此，点O为三条边的垂直平分线的交点． 故答案为：②，①； （2）如图1所示， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ，， ， 即， ， ， ，． 故答案为：； （3） 略 27．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 【考点3】角平分线的判定定理 · 见到"到两边距离相等"，想到连接角顶点 · 判定定理的核心是"距离相等→角平分线" · 常用来证明某条射线是角平分线 28．已知点在内．如果点到边的距离相等，且，那么点的位置是（  ） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【详解】解：如图，分别作射线，，交于点M， 分别过点A，C作于点M，于点N， 当时， 由两个三角形同底等高，可知， ∵， ∴， 则有， 为边的中线， 由于点到边 的距离相等， ∴点H在平分线上， ∴点H为的角平分线与边上中线的交点 29．下列说法中，不正确的是（    ） A．有两个角是的三角形是等边三角形 B．已知，，，则可以画出唯一确定的 C．若中，，则是直角三角形 D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、用HL证全等（HL）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定定理，全等三角形的判定定理，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，根据等边三角形的判定定理可判断A；根据可判断B；根据三角形内角和定理可判断C；根据角平分线的判定定理可判断D． 【详解】解：A、有两个角是的三角形是等边三角形，原说法正确，不符合题意； B、由可证明两个三角形全等，故可以画出唯一确定的，原说法正确，不符合题意； C、∵中，， ∴， ∴是直角三角形，原说法正确，不符合题意； D、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三个内角的角平分线的交点，原说法错误，符合题意； 故选：D． 30．如图，分别以的边，向外作两个等边三角形与，连接、交点F，连接．以下四个结论：①；②；③平分；④，其中正确结论的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定等知识，证明，即可判断①；由①中，得出，然后结合三角形外角的性质即可判断②；过A作于M，于N，根据等面积法证明，然后根据角平分线的判定即可判断③；由②得，延长至点K，使，连接，可得是等边三角形，得到，，证明得到，根据线段的和差即可判断④． 【详解】解：、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； 由②知，， 延长至点K，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 31．如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为_______ 【答案】/21度 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点4】角平分线性质的实际应用 · 三角形的内心到三边距离相等 · 选址问题：到三边距离相等→角平分线交点 · 面积法：用角平分线性质求三角形面积 32．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 33．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 34．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 35．如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1) 、和如图所示： (2)是锐角三角形 【知识点】三角形的分类、角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 💯 课后巩固 简述尺规作角平分线的步骤 角平分线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若AB=10，CD=3，求△ABD的面积 已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边距离相等，且PA=PB 复习建议 · 角平分线的尺规作图是基础，要多动手画，记住作图步骤和依据 · 性质定理和判定定理是互逆的，要分清条件和结论，不要用反 · 见到角平分线就想到作垂线段，这是常用的辅助线作法 · 三角形的内心性质要牢记，常用来解决选址问题 · 角平分线常与全等三角形、等腰三角形结合考查，要综合运用 【作业1】．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用、三角形内心有关应用 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 【作业2】．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ①；②；③当时，分别是的中点；④若，则．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定．熟练掌握这些性质与判定，并能灵活运用是解决此题的关键． 根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质、等腰三角形的判定可判断②；根据三角形三边关系可判断③；根据角平分线的性质定理可判断④． 【详解】解：∵分别是、的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 故②正确； 当时，， 即E、F不是中点， 故③错误； 如图，过点O作于点H，连接， 则， ∴ ， 故④正确； 综上，正确的有①②④； 故选：A． 【作业3】．如图，是的平分线，点是上的一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质与垂线段最短是解题的关键． 过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：如图，过点作， 则， ∴， ∵点为直线上的一个动点， ∴当时，最短， ∵是的平分线， ∴当时，， ∴线段的长不可能是2． 故选：A． 【作业4】．下列说法错误的是（    ） A．在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B．到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C．在中，，D是边的中点，则有 D．在中，若，则 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质等，根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，故A正确； B、到角两边所在直线距离相等的点可能不在角的内部，不一定在角平分线上，故B错误； C、在中，，D是中点，则是斜边中线，有，故C正确； D、在中，，则，故D正确． 故选：B． 【作业5】．观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图的作法即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：线段是的角平分线． 故选：D． 【作业6】．如图，在中，，的角平分线交于点，，，则的面积是______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】过作于点，通过角平分线的性质可得，再由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积是． 【作业7】．如图，在中，，，，和的平分线交于点O，于点M，则的长为________． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．用角平分线的性质定理求得，再利用等积法求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 过O分别作的垂线，垂足为D、E，连接， ∵O是和的平分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 【作业8】．如图，依据尺规作图的痕迹，__________． 【答案】25 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、三线合一 【分析】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的作法．由尺规作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案． 【详解】解：如图，标记点、点， , , 由尺规作图可知，为线段的垂直平分线，为的角平分线， ，，， ， ， ． 故答案为：25． 【作业9】．如图，在中，，平分交于点，点在边上，连接，，如果，，那么_____． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理 【分析】过点Ｄ作于点Ｆ，证明，得到，接着再根据已知证明，得到，，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质，直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点Ｄ作于点Ｆ， ∵平分，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【作业10】．如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则______． 【答案】6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的知识点是三角形的面积、角平分线的性质．先分别作于F、于G，并连接，再根据角平分线的性质证出，再根据三角形面积公式和已知条件求出、的长，然后根据三角形面积公式求出，最后根据求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作于F，于G，连结， ∵是的外角平分线，，， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业11】．如图，是的外心，的平分线上一点，． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，，与交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：过点作于，于． ∵平分，，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴ ． 即． (2) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，（已证）， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）过点作于，于，利用角平分线性质得，结合，证明，从而得到． （2）由得，由得，结合，通过角度推导得到，进而证明． 【详解】（1）略 （2）略 【作业12】．（1）图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法．根据作法，我们可以用_______________的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的__________，得出，即射线平分． 如图，已知，求作的平分线． 作法 （1）以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交、于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于内的一点C； （3）作射线． 射线就是的平分线（图）． 图1 （2）乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与的两边重合，且两把三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O，则射线即为的平分线．请你根据乐乐的作法，证明射线为的平分线． 【答案】（1），对应角相等； （2）证明：由题意可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 即射线为的平分线． 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据作图的过程证明三角形全等即可； （2）由题意可知，，，先利用证明，可得，再利用证明，得，即射线为的平分线． 【详解】解：（1）如图，连接，， 根据作法可知，，， 在和中， ， ∴， ∴，即平分， 综上，根据作法，我们可以用的判定方法证明与全等，再根据全等三角形的对应角相等，得出，即射线平分． 故答案为：，对应角相等； （2） 略 【作业13】．如图，已知在中，． (1)用直尺和圆规在边上求作一点，使点到边和的距离相等（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）； (2)如果，点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2)2 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点． （1）作出的平分线与的交点即为点，根据角平分线的性质定理即可求解； （2）连接，先证明，则，再由直角三角形锐角互余得到，再证明为等腰三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【作业14】．如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中，与、分别交于，与分别交于点米，米，米．现规划在道路上的点之间建一个凉亭，要求凉亭到道路的距离相等． (1)用直尺和圆规作出满足上述条件的点；（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点） (2)后期规划在点、之间修一条路，将四边形以为分割线分为两个区域种花，已知点到的距离为80米． ①求的长； ②求四边形的面积．（忽略道路的宽度） 【答案】(1) 根据题意，点Ｐ即为所求． (2)①60米；②8000平方米． 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）用尺规作的平分线，与的交点就是所求点Ｐ． （2）①证明，后解答即可； ②根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，等腰三角形的证明，梯形的面积，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）①解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴（米）； ②解：过点P作，垂足分别为点G，点E， 根据题意，得米， ∴四边形的面积为：（平方米）． 【作业15】．如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵，， ∴平分． (2) 证明：∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵ ∴． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由角平分线的判定定理即可证明； （2）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由线段的和差即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【作业16】．已知，是的平分线，按以下要求解答问题： (1)如图1，将三角板的直角顶点在射线上移动并绕着点旋转，两直角边分别与边、交于点、，求证：． (2)将三角形的直角顶点在射线上移动，一直角边与边交于点，， ①如图2，若另一直角边所在的直线与边交于点，与的延长线交于点，使，求出此时的长． ②如图3，若另一直角边所在的直线与的延长线交于点、与边交于点，使，直接写出此时的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点，作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)①；② 【知识点】二次根式的除法、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）如图，过点作于点，作于点，根据角平分线的性质得，证明，即可得证； （2）①设交于点，推出，继而得到，再根据直角三角形斜边中线的性质可得答案； ②如图，过点作于点，作于点， 根据角平分线的性质得，结合等腰三角形判定推出，证明得，，进一步推出，设，利用勾股定理推出，，最后得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①设交于点， ∵点是三角板的直角顶点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， 此时的长为； ②如图，过点作于点，作于点， ∵点是三角板的直角顶点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 此时的长为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上中线的性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题22.2角平分线及其性质优等生讲义 2026-2027沪教版（五四制)数学八年级上册 才思维导图 会用尺规作角平分线，理解作图的依据 掌握角平分线的性质定理，能熟练运用证明线段相等 课程目标 掌握角平分线的判定定理，能熟练远用证明角相等 能综合运用角平分线的性质和判定解决几何问题 能应用角平分线的性质解决实际生活中的问题 女1.角平分线的尺规作图 女2.角平分线的性质定理 知识梳理 ☆3.角平分线的判定定理 ☆4.角平分线性质的实际应用 考点1：作角平分线（尺规作图） 考点2：角平分线的性质定理 核心考点 考点3：角平分线的判定定理 考点4：角平分线性质的实际应用 角平分线的尺规作图是基础，要多动手画，记住作图步骤和依据 性质定理和判定定理是互逆的，要分清条件和结论，不要用反 复习建议 见到角平分线就想到作垂线段，这是常用的辅助线作法 三角形的内心性质要牢记，常用来解决选址问题 角平分线常与全等三角形、等腰三角形结合考查，要综合运用 课程目标 ·会用尺规作角平分线，理解作图的依据 。 掌握角平分线的性质定理，能熟练运用证明线段相等 ·掌握角平分线的判定定理，能熟练运用证明角相等 ·能综合运用角平分线的性质和判定解决几何问题 能应用角平分线的性质解决实际生活中的问题 知识梳理 ☆1.角平分线的尺规作图 ●尺规作角平分线的依据是SSS证明三角形全等 ●作图步骤：①以顶点为圆心画弧交两边：②分别以两交点为圆心画弧交于一点：③连接顶点与交点 试卷第1页（共3页） ●角平分线是一条射线，不是线段也不是直线 概念辨析例题：用尺规作∠AOB的平分线，并说明作图依据。 解析：作图依据是SSS:由作图得两组边相等，公共边相等，所以两三角形全等，对应角相等，即角平分 线。 ☆2.角平分线的性质定理 ●角平分线上的点到角两边的距离相等 ●符号语言：，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,.PD=PE ●作用：证明两条线段相等 ●注意：距离是指垂线段的长度，不是任意线段 概念辨析例题：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D,若DC=3,求点D到AB的距离。 解析：根据角平分线的性质定理，点D到AB的距离等于DC的长度，所以距离为3。 ☆3.角平分线的判定定理 ●在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ●符号语言：，PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,.点P在∠AOB的平分线上 ●作用：证明两个角相等或证明一条射线是角平分线 ●与性质定理是互逆定理 概念辨析例题：已知：点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,且PD=PE。求证：点P在 ∠BAC的平分线上。 解析：连接AP,证明Rt△APD≌Rt△APE(L),得∠PAD=∠PAE,所以AP平分∠BAC。 ☆4.角平分线性质的实际应用 ●三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心 ●三角形的内心到三边的距离相等 ●应用：求三角形内到三边距离相等的点的位置 ●实际问题：如选址、修路、取水等问题 概念辨析例题：如图，要在△ABC内建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站应建在什 么位置？ 解析：这个点是△ABC三条角平分线的交点（内心），因为内心到三边的距离相等。 自知识总结表 定理 条件→结论 作用 性质定理 角平分线上的点→到两边 证明线段相等 距离相等 判定定理 到两边距离相等的点→在 证明角相等 角平分线上 试卷第2页（共3页） △ 核心考点 【考点1】作角平分线（尺规作图） ·牢记尺规作图的步骤和依据(SSS全等) ·作图时注意保留作图痕迹 。 能根据作图痕迹反推角平分线的性质 1.下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形 全等的依据是() D A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.如图，△ABC中，∠B=30°，∠BCA=70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠a=(） A.30° B.70° C.80° D.100° 3.如图，△ABC中，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA延长线，AC于点E,F,再分别以E, F为圆心，大于2EF的长为半径作弧，两弧交于点G,若4G∥BC,∠B=40,则∠BAC的度数是 ( 试卷第3页（共3页） A.40° B.50° C.80° D.100° 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB=12,结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出A0的长是 5.如图，依据尺规作图的痕迹，∠ABC=。 70 6.如图△ABC中∠A=16°，用尺规作图后得到直线m,连接DB,再次作图得到直线n,作图痕迹保留. 若∠E=18°，则∠C的大小是 7.在△ABC中，AB=AC，,在△ABC的外部作等边三角形△ACD,E为AC的中点，连接DE并延长交 BC于点F,连接BD D y B F 图1 图2 (1)如果∠BAC=100°，求∠BDF的度数： (2)连接AF，,交BD于点P,如果△ABF是等腰三角形，求∠BPF的度数.（直接写出度数） (3)在图中画出∠ACB的平分线，交AB于点M,交EF于点N,连接BN.如果BN=DN,求证： 试卷第4页（共3页） MB=MN 8.为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在S区建立一个蔬菜配送中心E,A、B两个蔬菜基地向 配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过m和两条高速公路送到市区菜场，要使这个配送中心到 蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中心应该建于何处？在图上标出配 送中心E的位置.（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） B。 【考点2】角平分线的性质定理 ·见到角平分线，想到向两边作垂线段 ·性质定理的核心是"垂线段相等” ·常与三角形面积、全等证明结合考查 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M N,再分别以点M,N为圆心，大于2MW长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,若 △ABC 6,AB+AC=20 CD= 的面积是 ，那么 10.在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究. 例16证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等. 如图，已知：在△ABC和△A'B'C中，AB=AB',BC=B'C',AD、AD'分别是边BC、B'C'上的中线， 且AD=A'D'.求证：△ABC≌△AB'C. 试卷第5页（共3页） B ()小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题， ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求 证”： ②写出由条件推出结论的完整过程。 (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题.该结论是否正 确？请简单说明理由，无需完整过程， 11.如图，在△ABC中，CA=CB,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在边AC上.增加下列条件中的 一个：①CD=CE:②AE=DE；③∠CED=2LADE:④∠CDE=2LADE.其中，一定能推导出 DEI‖AB 的条件有() A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 12.如图，己知△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠BAC的平分线，CE是AB边上的高，AD与CE交于点 F,过点D作DG∥CE交AB于点G,连接CG.交AD于点H,则下列结论中，不一定成立的是 () 试卷第6页（共3页） A.DC=DG B.GD=GB C.CF=GD D.FH=DH 13.如图，在△ABC中，延长BA至点E,延长BC至点F,∠ABC∠EAC的角平分线BP、AP交于点P, BP、AC.O,PM⊥BE,PN⊥BF 交于点 ,垂足分别为点MN则下列结论中正确的个数()， /E oCP平分∠4CF,@MBC+2∠1CP=180:@∠4CB=2∠4PB,05e=S+So,⑥ ④ BA:BC=AO:CO A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,BE⊥AC于点E,交CD于F,H 是BC的中点，连接DH交BE于G.则结论：①BF=AC;②△DGF是等腰三角形：③BD+DF=BC: SABDE=BD ④BF=2CE:⑤S△8CF BC中，正确的个数为() D G A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，点D为线段AB的中点，点M是直线BC上的一个动 试卷第7页（共3页） 点，连接MD,以MD为一边在MD的右侧作等边三角形MND,连接BN.当aBND为直角三角形时， ∠DMB= D 16.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为点F,∠BAC+∠EDG=180°，△ADG和△AED 的面积分别为50和38，则△EDF的面积为 E G D 17.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC.如果BC=5,AD=2,那么△BCD的面积是 B 18.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,如果CD=2,AB=8,那么△ABD的面积等于 19.如图，AO平分∠DAC,CO平分∠ACE,求证：BO平分∠EBD. 试卷第8页（共3页） 20.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，AD平分∠CAB,求∠ADC的度数. D B 解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（①） 又∠C=90°，∠B=36° .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-90°-36°=②度 :AD平分∠CAB, ·∠BAD=∠BAC=③ 度 ∠ADC=④十⑤—（⑥）， ∠ADC=度. 21.研究互逆命题的证明，是同学们课余进行数学探究的常用方法. (1)命题：等腰三角形两个底角的平分线相等。 请写出已知、求证，并证明上述命题为真命题， (2)1840年德国数学家莱莫斯提出了(1)中命题的一个逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线相等， 那么这个三角形是等腰三角形.这个命题难倒了众人，直到1844年由瑞士几何学家斯坦纳首次给出证明， 于是该命题得名“斯坦纳莱莫斯定理”， 下面给出了该命题证明过程的一部分，请将证明过程补充完整.（填写空白部分并完成剩余部分的证 明) 已知：如图，在△ABC中，BE为∠B的平分线，CF为∠C的平分线，BE=CF, 求证：AB=AC」 试卷第9页（共3页） y ?0 E 证明：假设_， ①若AC>AB 由大边对大角，所以∠ABC>∠ACB 因为BE、CF分别为∠B、∠C的平分线， 所以∠EBA=)∠ABC,∠FCA=)∠ACB】 2 2 所以 所以在∠EBA的内部，作∠EBP=∠FCA,BP交AC于点P 因为∠EBP=∠FCA,∠EBC>∠FCB 所以对于△PBC,有_， 由_，所以PC>PB」 所以在PC上截取一点e使得CO=BP (请试着继续完成剩余部分的辅助线说明及后续证明) 22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,连接AE,如果要求出∠CAE的度 数，只需知道下列哪个角的度数() D A,∠ABC B.∠ACB C.∠BAC D.∠AEC 23.如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD-180°，且∠ADE=30°，∠ADC=120°.若∠DAC=40°， 则∠ECD的度数为 试卷第10页（共3页） D 24.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在边AB、BC上，AD=CE,作EF⊥BC于E,交边 AC于F,DF=CF (I)求证：BF平分∠ABC: (2)求证：BC+BD=2BE」 25.如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点G. G G 图1 图2 (I)若∠BAC=60°，求∠BGC的度数： (2)如图2，连接AG,求证：AG平分∠BAC: 26.【例题回顾】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，数学课本P120的例1同时运用了 角平分线的性质定理及其逆定理完成了该几何问题的证明. 例1.如图1，已知，在△ABC中，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的平分线， OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为点D、E, 求证：点O在∠C的平分线上. 试卷第11页（共3页） E 证明：如图2，过点作 ，垂足 D D 图1 图2 OOF⊥AC 为F, :AO是∠BAC的平分线，OE⊥AB,OF⊥AC, ∴OE=OF(角平分线的性质定理) 同理可得：OE=OD ∴OD=OF 又~OD⊥BC,OF⊥AC·.点O在∠C的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线 距离相等的点，均在这个角的角平分线上)， 【研究原图形】在例1的图2中，分别连接DE、EF、FD (1)点O为△ABC三条 的交点，点O为△DEF三条 的交点；（填写序号） ①边的垂直平分线：②角平分线；③高；④中线： (2)小普发现△DEF和△ABC的内角之间存在一定的数量关系，如果∠BAC=m°，那么∠EDF= (用含m的代数表示) 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的△DEF叫做△ABC的“内三角形”，点O叫做 “共心”. (3)已知△DEF是△ABC的“内三角形”，点O是“共心”，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上， 且OE∥BC.先画出符合条件的示意图，再过点E作EG⊥DF于点G,求证：点G在直线AO上. AB BD 27.探索新知：如图①，AD是。4BC的角平分线，AC与DC之间有怎样的关系呢？过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC AH⊥BC 垂足分别为E,F,过点A作 ,垂足为H E E 平分 D 图① 图② 图③ .AD 试卷第12页（共3页) ∠ABC,DE⊥AB,DF⊥AC .DE=DF BDEDAH 4CDFDC 1 SM=AB =BD AB BD SAADC ACDC即ACDC 新知应用： BD ()如图②，AD是△ABC的角平分线，若AB=5,AC=3,则BC S△4Bp=aAB (2)如图②，AD是△ABC的角平分线，若S△MDcb,则AC (3)如图③， BD平分∠1BC,CE平分∠4CB,若MB:BC:AC=5:6:4,Sc=m 四边形AEFD= ,则 (用含的式子表示)， 【考点3】角平分线的判定定理 ·见到"到两边距离相等"，想到连接角顶点 ·判定定理的核心是“距离相等→角平分线” ·常用来证明某条射线是角平分线 28,己知点H在△1BC内.如果点H到边MB、AC的距离相等，且 =SAsa,那么点H的位置是 () A.∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B.∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C.∠ABC的角平分线与AB边上中线的交点 D.∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 29.下列说法中，不正确的是() A,有两个角是60°的三角形是等边三角形 B.已知∠C=90°，AB=8,AC=4,则可以画出唯一确定的△ABC C.若△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是直角三角形 D.三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 试卷第13页（共3页） 30.如图，分别以△ABC的边AB,AC向外作两个等边三角形△ABD与△ACE,连接BE、CD交点F, 连接AF.以下四个结论：①DC=EB;②∠BFC=I20°：③FA平分∠EFD:④AF+BF+CF=CD, 其中正确结论的是() A.①②③④ B.①③④ C.①②③ D.①②④ 31,如图，C为∠AOB内部一点，且点C到AO的距离与点C到OB的距离相等，连接OC,若 ∠AOC=21°，则∠BOC的度数为 【考点4】角平分线性质的实际应用 ·三角形的内心到三边距离相等 ·选址问题：到三边距离相等→角平分线交点 面积法：用角平分线性质求三角形面积 32.上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座 凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的() H B A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 33.某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示.要使度 假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在() 试卷第14页（共3页） B A.△ABC三条高线的交点处 B.△ABC三边垂直平分线的交点处 C.△ABC三条中线的交点处 D.△ABC三条角平分线的交点处 34.如图是某校的局部平面图，学校有三条小路MN,P吧和AB,已知MN∥P吧，AB与MW,P相交.学校 计划修建一个亭子，使其到小路MN,P巴，AB的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有() B A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 35.如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点.现要建设一个商场P,使得它到三条公路的 距离相等 (I)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在△ABC的内部.请用尺规作出在 △ABC 外部的另外3个符合要求的点P(保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、 P」 和)： PPP (2)猜想：请你写出根据(1)的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 9 课后巩固 ●简述尺规作角平分线的步骤 试卷第15页（共3页) ●角平分线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？ ●在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D,若AB=10,CD=3,求△ABD的面积 ●己知△ABC,求作一点P,使P到∠A的两边距离相等，且PA=PB 复习建议 ·角平分线的尺规作图是基础，要多动手画，记住作图步骤和依据 ·性质定理和判定定理是互逆的，要分清条件和结论，不要用反 ·见到角平分线就想到作垂线段，这是常用的辅助线作法 ·三角形的内心性质要牢记，常用来解决选址问题 ·角平分线常与全等三角形、等腰三角形结合考查，要综合运用 【作业1】.上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园，要在公园 里修建一座凉亭H,使该凉亭到公路AB、AC、BC的距离都相等，则凉亭H是△ABC的() B A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三角形的内心 D.三角形的外心 【作业2】.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于F, 交AC于E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论： 0∠408=90+号C:@E+BF=EP:®当2C=90时，E,F分别是AC,c的年点：@若 OD=a,CE+CF=2b SACEF ab ,则 .其中正确的结论有() A.①②④ B.①③ C.②③④ D.①②③④ 【作业3】.如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上的一点，点P为直线BC上的一个动点.若 △ABD的面积为9，AB=6,则线段DP的长不可能是() 试卷第16页（共3页） A.2 B.3 C.4 D.5 【作业4】，下列说法错误的是() A.在角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等 B,到角两边所在直线距离相等的点在这个角的平分线上 C,在R1△4BC中，∠C=90,D是边B的中点，则有CD=4B D.在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=90° 【作业5】，观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段AD是△ABC的() A.中线 B.高线 C.中垂线 D.角平分线 【作业6】.如图，在RIAABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D,CD=5,AB=16, 则△ABD的面积是 【作业7】.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=9,∠CAB和∠ABC的平分线交于点O, OM⊥BC于点M,则OM的长为 试卷第17页（共3页） ch M B 【作业8】，如图，依据尺规作图的痕迹，∠ACP= 100 B 【作业9】.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,点E在边BC上，连接 DE,∠CED=∠A,如果AB=7,CE=2,那么BE=一· E B 【作业10】，如图，△ABC中，△ABC和△ACB的外角平分线BP、CP交于点P,PE⊥AC于点E,若 △ABC 的周长为12，PE=2.Sac=3S。C= ,则 E B 【作业11】.如图，D是△ABC的外心，∠ABE的平分线上一点，DA=DC B (I)求证：∠DAB=∠DCB: 试卷第18页（共3页） (2)若△ABC是等腰三角形，AC=BC,AB与CD交于点F,求证：AC=AF, 【作业12】.(1)图1是课本P117中的用尺规作一个已知角的平分线的方法.根据作法，我们可以用 的判定方法证明△OCD与△OCE全等，再根据全等三角形的 一，得出 ∠COD=∠COE,即射线OC平分∠AOB 如图22-2-1，已知∠AOB,求作∠AOB的平分线. 作法 (I)以点O为圆心，以任意长度a为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E: (2)分别以点D、E为圆心，以DE的长为半径作弧，两弧相交于∠AOB内的一点 C (3)作射线OC 射线OC就是∠AOB的平分线（图22-2-2）· E 图22-2-1 图22-2-2 图1 图2 (2)乐乐发现，将两把相同的三角尺按照图2放置：较短的直角边分别与∠CAB的两边重合，且两把三 角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点O,则射线AO即为∠CAB的平分线.请你根据乐 乐的作法，证明射线AO为∠CAB的平分线. 【作业13】，如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC. D (I)用直尺和圆规在边AB上求作一点P,使点P到边CA和CB的距离相等（保留作图痕迹，写出结论， 试卷第19页（共3页） 不写作法)： (②)如果∠B=60°，点D是边AC上一点，且CD=CB,AD=2,求BP的长. 【作业141.如图，某公共绿地内有四条道路、、、，其中%，与、 分别交于AB.4 分别交于 DC,D=180米，AB=120米，BC=140米.现规划在道路上的点4D之间建- 个凉亭P,要求凉亭P到道路 的距离相等， (①)用直尺和圆规作出满足上述条件的点P；(不写作法和结论，仅保留作图痕迹，图中清楚地标注点P (②后期规划在点B、P之间修一条路，将四边形18CD以BP为分制线分为两个区域种花，已知点P到 的距离为80米. ①求PD的长； ②求四边形PBCD的面积.（忽略道路的宽度） 【作业15】，如图，在四边形ABCD中，BC=CD,过点C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F且DF=BE, D (I)求证：AC平分∠DAB: (2)求证：AB+AD=2AE. 【作业16】.己知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题： 试卷第20页（共3页） A M M D B D B 图1 图2 图3 (I)如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动并绕着P点旋转，两直角边分别与边OA、OB交于 点C、D,求证：PC=PD (2)将三角形的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D,OD=1, ①如图2，若另一直角边所在的直线与边OA交于点C,与BO的延长线交于点E,使∠PDE=∠OCD, 求出此时OP的长. ②如图3，若另一直角边所在的直线与AO的延长线交于点C、与OB边交于点E,使∠PED=∠OCD 直接写出此时OP的长。 试卷第21页（共3页）