精品解析：安徽淮南市潘集区2026-2027学年度上学期九年级第一次学情自测数学试卷

2026～2027学年度九年级第一次联考 数学试卷 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象的对称轴为 B. 函数的最大值为 C. 它的图象的顶点坐标为 D. 函数的最小值为 5. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，是方程的两个根，则__________． 12. 二次函数的顶点坐标为__________． 13. 已知实数满足，则__________． 14. 实数，，满足，． （1）当时，则__________； （2）实数的取值范围是__________． 三、解答题（共90分） 15. 解一元二次方程． （1）； （2）． 16. 已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根及的值． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 18. 已知抛物线的顶点是，且经过点，求这条抛物线的函数表达式． 19. 如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． （1）求两点的坐标； （2）求菱形的面积． 20. 已知二次函数． （1）当为何值时，有最大值？是多少？ （2）当时，求函数的最大值和最小值． （3）当时，求函数的最大值． 21. 已知，求的值． 22. 某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售该商品每天获得的利润能否达到1300元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列方程中是“差根方程”的是__________；（填写序号） ①；②；③ （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度九年级第一次联考 数学试卷 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． B．由已知方程得到，属于一元一次方程，故本选项不符合题意． C．该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． D．当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象的对称轴为 B. 函数的最大值为 C. 它的图象的顶点坐标为 D. 函数的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最大值为； 故选项A，C，D错误，选项B正确； 故选B． 5. 若是关于x的方程的解，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 6. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 7. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 8. 郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 9. 函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先通过抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y＝ax图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误； A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确； 故选：B． 【点睛】此题考查的是一次函数的图象及性质和二次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与系数关系和二次函数的图象及性质与系数关系是解决此题的关键． 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 12. 二次函数的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 13. 已知实数满足，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ， 解得，， ∴或， 当时，即， 此时，方程有2个不相等的实数根，满足题意； 当时，即， 此时，方程没有实数根，不符合题意，故舍去； ∴． 14. 实数，，满足，． （1）当时，则__________； （2）实数的取值范围是__________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）把代入等式，求解即可； （2）通过两个等式的变换以及等量代换得到，利用配方法求出的范围即可. 【详解】解：（1）∵，， ∴当时，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴. 三、解答题（共90分） 15. 解一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 则， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 则或， 解得． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 16. 已知关于的方程的一个根是，求它的另一个根及的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题的关键． 把代入方程，求得．再用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：把代入方程，得： ． 把代入方程，得： 解方程得：，． ∴方程的另一个根是3，m的值是． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 18. 已知抛物线的顶点是，且经过点，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】抛物线的函数表达式为 【解析】 【分析】已知顶点坐标，先设二次函数顶点式，再把已知点坐标代入表达式求出系数a，最后整理出函数表达式即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点是， ∴可设抛物线的函数表达式为， 把代入上式得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 19. 如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且． （1）求两点的坐标； （2）求菱形的面积． 【答案】（1） （2）菱形的面积为 【解析】 【分析】（1）如图：连接交y轴于点D，由菱形的性质可得轴，，易得A，C点纵坐标为1，即，解得：，从而完成解答； （2）先说明，再利用菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 解：如图：连接交y轴于点D， ∵菱形的顶点在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且 ∴轴，， ∴轴，， ∴A，C点纵坐标为1，即，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴，即， ∴菱形的面积是：． 20. 已知二次函数． （1）当为何值时，有最大值？是多少？ （2）当时，求函数的最大值和最小值． （3）当时，求函数的最大值． 【答案】（1）当时，有最大值，最大值是 （2）当时，函数的最大值为，最小值为 （3）当时，函数的最大值为 【解析】 【分析】（1）由顶点式可知抛物线开口向下，顶点就是最高点，直接读出顶点横坐标与纵坐标即可得到最大值； （2）由顶点式可知抛物线开口向下，对称轴为，给定取值范围全部在对称轴左侧，随增大而增大，因此取值内右端点取最大值，左端点取最小值，代入解析式计算即可； （3）由顶点式可知抛物线开口向下，对称轴为，给定取值范围全部在对称轴右侧，随增大而减小，因此取值内在时取得最大值，代入解析式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，有最大值，最大值是； 【小问2详解】 解：∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而增大， ∵， ∴当时，函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 解：∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， ∵， ∴当时，函数的最大值为． 21. 已知，求的值． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 22. 某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为30元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售该商品每天获得的利润能否达到1300元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】（1）； （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3） 不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 则， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到1300元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次函数、一元二次函数以及一元二次方程在销售问题中的应用． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润1300元，列出方程，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元销售， ∴， ∴每天的销售利润为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：略． 23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列方程中是“差根方程”的是__________；（填写序号） ①；②；③ （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出各个方程的两个实数根，再根据“差根方程”的定义逐一判断即可； （2）求出该方程的根，再根据“差根方程”的定义建立方程求解即可； （3）设，由勾股定理可得；根据“差根方程”的定义得到，则可推出，则可得到，，再由根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 解得， ∵， ∴此方程是“差根方程”； ②∵， ∴， 解得， ∵， ∴此方程不是“差根方程”； ③∵， ∴， 解得， ∵， ∴此方程是“差根方程”； 综上所述，是“差根方程”的有①③； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得， ∵关于的方程是“差根方程”， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵是直角三角形，斜边的长为， ∴，即； ∵的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设这个“差根方程”为， 则由根与系数的关系可得， ∴， ∴这个“差根方程”为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $