精品解析：安徽省淮南市潘集区2025-2026学年 九年级上学期第二次联考数学试卷

2025-2026学年龙湖中学九年级第一学期学情监测二 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 3. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 4. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围. 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得：． 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选C． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P的坐标所在的象限. 5. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ） A. (0，0) B. (0，﹣1) C. (1，﹣1) D. (1，﹣2) 【答案】D 【解析】 【分析】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论． 【详解】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为(1,-2)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转．解题的关键是理解两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 6. 下列说法正确的有（ ）． ①平分弦的直径垂直于弦．②半圆所对的圆周角是直角．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握相关的性质定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断即可． 【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误； ②半圆所对的圆周角是直角，②正确； ③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，③正确； ④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆周角相等，④正确； 故选：C． 7. 如图，点A、B、C在⊙上，若∠AOB＝130°，则∠C的度数为 （ ） A. 150° B. 130° C. 115° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上取一点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】在优弧上取一点D，连接AD、BD， ∠D=∠AOB=65°， ∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠ACB=180°， ∴∠ACB=115°， 故选C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 如图，在正方形中，，将边绕点B逆时针旋转至，连接，，若，则线段的长度为（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， 将边绕点逆时针旋转至， ， 又， ，即， ， ， （负值舍去）． 故选：D． 9. 若抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，抛物线与x轴的交点，解不等式组，在范围内与x轴只有一个交点，当，函数值小于零；当，函数值大于或等于零； 列式计算即可． 【详解】根据题意，平移后的抛物线的表达式为， ∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴要使在范围内与x轴只有一个交点，只需当，函数值小于零；当，函数值大于或等于零； ∴， 解得， 故选D． 10. 已知，如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ①； ②； ③若是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是； ④若抛物线与轴交于点（0，3），当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，包括二次函数的图像与系数的关系，对称轴公式，函数值的比较及函数在给定区间内的最值问题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．根据二次函数的图像与性质，对每个选项进行判断，综合后即可得到正确的个数． 【详解】解：①抛物线经过点 将代入，得 ， 故①错误； ②抛物线对称轴为 ，即 故②正确； ③当时，两点为 此时两点关于对称 ， 故③不正确； ④抛物线的对称轴为，且与轴交于点 抛物线与轴的另一个交点坐标为 抛物线解析式为 又抛物线过点 抛物线解析式为 ∴顶点坐标， 当时，则为， 此时，当时，函数的最大值4， ∵当时，；当时，， ∴时，最小值为， 此时，函数y的最大值与最小值的差为：， 故④不正确； 综上，只有②正确． 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点恰好在上，旋转角为，则的度数为__________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识．根据题意得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵把绕着点A顺时针方向旋转，得到， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 【答案】（－1，－2） 【解析】 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可． 【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD═DB=DA=， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为（﹣1，﹣2）， 【点睛】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置． 13. 已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____． 【答案】17 【解析】 【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17． 【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3， 整理得x2-（10+k）x+36=0， ∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去）， ∴k的最大值是15，最小值是2， ∴k的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17． 【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键． 14. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则______； （2）最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）过点F作于点H，证明是等腰直角三角形得，由旋转性质得，，进而可证明，由此依据“”判定和全等得，，再根据得，则，继而得，由此可得x的值； （2）过F作于点H，过点G作于点P，同证明和全等，是等腰直角三角形得，，，则，设，则，进而得，再证明和全等得，，则，在中，由勾股定理得，由此得当时，的值为最小，最小值为，继而即可得出BG的最小值． 【详解】解：（1）过点F作于点H，如图1所示： ， 在中，，， ，， ∴， ∴， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点F作于点H，过点G作于点P，如图2所示： 同证明： ，是等腰直角三角形， ，，， ， 设，则， ， ， ，， ， 由旋转性质得：，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 当时，的值为最小，最小值为， 的最小值为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值，理解等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用勾股定理构造二次函数是解决问题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：， 直接开平方得： 或 ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵ ，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：，． 16. 已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2 （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）若图象经过原点，求二次函数的解析式． 【答案】 （1）证明：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0 ∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）y＝x2﹣2x． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式大于零即可证明二次函数的图像与x轴都有两个交点； （2）因为函数图象经过原点，将（0，0）代入函数解析式求得m的值即可. 【详解】（1）略 （2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣mx+m﹣2得m﹣2＝0，解得m＝2， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x． 【点睛】本题主要考查了根据根的判别式判断二次函数的图像与轴的交点的个数以及待定系数法求函数解析式. 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0） （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形； （2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形； （3）P（，0）． 【解析】 【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形； （2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形； （3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4）， ∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16， 令y=0，则x=， ∴P点的坐标（，0）． 【点睛】考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题． 18. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转（），得到矩形． （1）如图①，若，当点F落在的延长线上时，求的长； （2）如图②，当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【答案】（1） （2） 证明：连接，如图， 四边形是矩形， ， 根据旋转可得， ， 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定、旋转的性质、勾股定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键， （1）先求出，，根据勾股定理得出，进而求出结论； （2）连接，先证明，再证明，进而证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 解：将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ，，， ， ； 【小问2详解】 略 19. 燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如下表： 飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 …… 飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …… （1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度； （3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求． 【答案】（1） （2）26m （3）符合安全要求 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式． （2）求出自变量范围内函数的最大值即可． （3）直接将时间代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 设，代入三个点 ，解得 第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为 【小问2详解】 由（1）可知h与飞行时间t的函数解析式为 当时， 烟花每隔2 s发射一枚花弹 第二枚花弹发射了2 s 当时， 答：当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹到达26m． 【小问3详解】 第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度 当相等时即可， 即 解得，则 答：花弹的爆炸高度符合安全要求． 【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题关键是将最高点的高度转化为二次函数的最大值进行求解． 20. 如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 【答案】（1） 证明：∵为直径，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形； （2） 证明：连接，交于， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出，得出，再根据，即可得出为等腰直角三角形； （）连接，根据，得出，再根据为等腰直角三角形得出，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 3 m -1 0 -1 0 3 … 其中，m =___________． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________． 【答案】（1）0； （2）根据表格描点，画出图象即可： ； （3）①含有有最低点；②图像关于y轴，成轴对称；（答案不唯一，合理即可） （4）①3,3；②2；③-1＜a＜0． 【解析】 【分析】（1）观察表格，根据对称性即可得m=0； （2）根据表格描点，画出图象即可； （3）观察图象，写出函数的两条性质即可，可从函数的最值，增减性，图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可； （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴的交点数，即可判断根的个数；②观察函数图像可得函数图像与y=2的交点数，即可判断根的个数；③方程有4个实数根，说明函数图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围． 【详解】解：（1）观察表格，可知根据对称性可知：（-2,m）与（2,0）是关于对称轴的对称点． ∴m=0； （2）略 （3）略 （4）①观察函数图像可得函数图像与x轴有3个交点，所以对应方程有3个实数根； ②由图象可知，函数图像与直线y=2有两个交点，所以方程有2个实数根； ③方程有4个实数根，说明函数的图象与直线y=a有4个交点，由此可得a的取值范围是-1＜a＜0． 故答案是：①3，3；②2；③-1＜a＜0． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解答此题的关键． 22. 研究性学习：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：如果两个等腰三角形的顶点重合，且顶角相等，则称此图形为“手拉手全等模型”． （1）【模型感知】如图1，与都是等腰三角形，其中，求证； （2）【知识迁移】如图2，在中，，，E、F为边上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． （3）【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接、、，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵与都是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）7 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形以及直角三角形是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：，， ∴由勾股定理得， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ∴， ∴， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 23. 【阅读定义】 由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． （1）抛物线与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由； 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”， 与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，． ①求的值； ②已知点和点在“月牙线”上，且若的最大值为2，求取得最大值时的长． 【答案】（1） 解：可以． 理由：求与轴交点：令，得或， 求与轴交点：令，得或， 则、与轴有相同的交点； ∵二次项系数，二次项系数， ∴、开口方向相同； 综上，抛物线与抛物线可以围成“月牙线”． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出两抛物线与轴的交点坐标，根据交点坐标相同且抛物线的开口方向相同，即可知两抛物线可以围成“月牙线”； （2）①求出抛物线与轴的交点，代入的两点式展开即可求解；②先求得两抛物线的顶点坐标，再根据的最大值为2，代入抛物线解析式即可求出的值，从而可得线段的长度． 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①求与轴交点：令，得或， ∵与轴交点相同， ∴设 ， ∴ ． ②由①知， ∴的顶点为， ∵的顶点为，， ∴， 则在下方， 又∵， ∴ ， 最大值， 整理得， 解得，（舍去）， 求与轴交点：令，得， ∴， 同理，， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年龙湖中学九年级第一学期学情监测二 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）． A. B. C. D. 5. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（ ） A. (0，0) B. (0，﹣1) C. (1，﹣1) D. (1，﹣2) 6. 下列说法正确的有（ ）． ①平分弦的直径垂直于弦．②半圆所对的圆周角是直角．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，点A、B、C在⊙上，若∠AOB＝130°，则∠C的度数为 （ ） A. 150° B. 130° C. 115° D. 120° 8. 如图，在正方形中，，将边绕点B逆时针旋转至，连接，，若，则线段的长度为（　　） A. B. 2 C. D. 4 9. 若抛物线向上平移p（p为正数且不等于3）个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ①； ②； ③若是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是； ④若抛物线与轴交于点（0，3），当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点恰好在上，旋转角为，则的度数为__________（用含的式子表示）． 12. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____． 13. 已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____． 14. 如图已知中，，，点D、点E分别是边和边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，点对应点恰好落在斜边上，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当时，设，则______； （2）最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2 （1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点； （2）若图象经过原点，求二次函数的解析式． 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0） （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 18. 如图，将矩形绕点A顺时针旋转（），得到矩形． （1）如图①，若，当点F落在的延长线上时，求的长； （2）如图②，当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 19. 燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如下表： 飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 …… 飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 …… （1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度； （3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求． 20. 如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，． （1）连接，证明为等腰直角三角形； （2）连接，若点，在上，且，求证：． 21. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 3 m -1 0 -1 0 3 … 其中，m =___________． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分． （3）观察函数图象，写出两条函数的性质： （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有__________个交点，所以对应方程有___________个实数根； ②方程有___________个实数根； ③关于的方程有4个实数根，a的取值范围是_____________________． 22. 研究性学习：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：如果两个等腰三角形的顶点重合，且顶角相等，则称此图形为“手拉手全等模型”． （1）【模型感知】如图1，与都是等腰三角形，其中，求证； （2）【知识迁移】如图2，在中，，，E、F为边上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． （3）【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接、、，求的最小值． 23. 【阅读定义】 由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． （1）抛物线与抛物线是否可以围成“月牙线”？请说明理由； 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”， 与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，． ①求的值； ②已知点和点在“月牙线”上，且若的最大值为2，求取得最大值时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $