湖北潜江市初中13校联考2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

7.将抛物线向下平移2个单位长度。再向左平移1个单位长度，能得到抛物线y=2(x一2) 2026年秋季学期九年级第一次集体作业 -3的是() 数学试卷 A.y=2(x-1D41B.y=2x-3)21C.y=-2x-1)21D.y=-22-1 8,秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传购病开始流行，大家要加强防范。疾控 (车卷共6真满分120分考试时河120分) 部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过调轮传染后共有100 ★祝考试顺利★ 人患了藏感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为() 法童率项： 1爷卷着，考生务女将自己竹性名。准考证号啦写在试春和答题卡上。并精准考证号条利母粘酷在答随卡 A.x2=100 B.x(1+x)=100C.1+x+x(1x)=100D.1+r+2=100 上推t位夏， 9.一次函数y=m+b与二次函数y=2+:在同一坐标系中的图象不可能是() 工选语题的件客母小题选出答发后，用用铅笔名答延十上对定延可的答发标号读乳，写在议卷，草隔纸 1#4操题的作茶网黑色签字笔直链签在签疑中上时良的答超世域青，写在城色单隔纸和公想中上的想 签题但城均无数，作因一律用识特笔或文色多字笔 4考试结来形，请将本这喜和多题中一并文词 ■ 4不 一，选择题（共10个题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目 要宋。) 10.如图，二次函数y=a2+e(a≠0)的图象过点(·2,0)，对称输为直线x=1,与y轴 1.下列方程中是一元二次方程的是《) 的交点在(0，·2)和(0，-3)之间.有以下结论： A,2x+5y=8 B.-3-0 C.3x2=9 D.x2+r=7 ①2a=0:②抛物线与x轴的月一个交点是(4.0：国ac<0:⊙.是<a<君 2.若关于x的方程（传-3）x-一8x-0=0是一元二次方程，则k的取值范围是() 其中正确的结论是() C.k>3 D.k*0 A.②③ B.②③O c.①③④ D.②④ A,太=3 B.k≠3 3.用配方法解方程￡-6红-1=0时，配方结果正确的是() A.(x-1=1 B,(x-3=8 C.(x-6=10 D.(-3y=10 4.一元二次方程2-3x-2=0的根的情况是() A有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D,没有实数根 第13小超国 装 一 第10小趋围 Ax-3r-4=0 B.x2-3r+4=0 C.2+3r-4=0 D.2+3x+4=0 二，填空题（每小墨3分，共15分） 6抛物线)=26年-)2e过(-2n),(0,n),(停y)三点，则，月n的大小 1L,设a是方程x+2:-2=0的一个实数根，则2a2u+220=。 12.写出一个三次函数，其图象过位)点且开口向下， 关系是() C,2>1>为 D,>n>均 13.如图，要设计一M宽0m,长30m的图发，其中有两横两竖的彩条，横、竖老条的宽度 A.2>》>月 B.y>n>y 数学看共6项需2页 数学程共6页第1页 比为3：2.如果要使彩条所古面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若 20,(8分)一个小球以5mx速度开始向前滚动，并且均匀减通，4：后小球停止滚动 设竖彩条的宽度为2x,则依悲意可列方程为 (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ 14。一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方 (2)小球滚动5m的用了多少秒？ 等于这个两位数，这个两位数是 《提示：句变追直线适动中，母个时间段内的平均速度节（柳逢度与末递度的算术平均数） 15.如图1，在△MBC中，AB=4C.动点P从△BC的顶项点A出发，以2cm:的速度沿A一8 与路位，时间t的关系为■v) 一C一A匀速运动回到点A,图2是点P运动过程中，线段P的长度y(m)随时国1() 变化的图象。其中点Q为曲线部分的最低点，则m= ◆ym 21,(8分)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历，我 0 们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中何位置的数之后，用横向两个数的 乘积减去纵向两个数的乘积。不难发现，差都是48。例如：9×1-3×17=48,13×15-7 ×21每48. 2019年1月 设某个菱形框中闻位置的数为： 星期日星期型期星期三量期四屋期五星期入 1245 图1 图2 《1)请证明发现的规律 67.8下910112 三，解容慰（共75分） (2)若某菱形框框出的5个数中，最小 131415167.17.1819 16.(6分)解方程： 数与最大数的积为435，求出这5个数 202122324526 2728293031 1)x2-4x-7=0 (2)3x2-6t=-3. 中的最大数。 17.(6分)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0. (白)若方程有两个不相等的实数根，求府的取值范围： (2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根。 18.(6分)已知方程22-5x+3=0的两个根分别为无，无，求下列代数式的值 22.10分)已知直线y=在+b过x轴上的点4亿，0)，且与抛物线y=相交于B,C两点，已 知点B的坐标为1，)， )x+ (1)求直线和抛物栽各自的函数解析式： 9.(8分)如图，二次函数y=ar2+xe的图象经过，B,C三点 (2)如果抛物线上有一点D(点D在y轴的右侧) (1)观察图象，直接写出：当x满足 时 使刹Sa心=S,,求此时点D的坐标 y随x的增大面减小 (2)求抛物线的解析式： (3)观察图象，直接写出：当x>0时， 2可12不4士 y的取值范围 数学指共石直第)面 数学看共6川第4四 3.(川分)小华在学完了《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）一节内容后，对一24.12分)抛物线y一·之+x与x轴交于原点和点4(4,0)，点B为抛物找的原点，点M 元三水方程积与系数的关系产生了浓厚兴起，决定一探究竟。下面是他收集的素材，汇总如下， (m,y),N(m+3,归》为抛物线=·+加上不重合的两个点 请根幕素材帮助她完成相应任务： 1)求b的值： 探究一元三次方程根与系数的关系 2)试判断是否存在实数m使得2=9？若存在，求出网值：若不存在，请说明蜜由： 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 3)记点从，N两点之同的部分（包括M,N两点）为图象G,点B在图象G上，设图象 一元三次方 G的最高点与最低点的拟坐标之差为d. 熏材1 程的定义 是3次的方程叫做一元三次方程，它的一段形式为ar+2+ar+d=0 ①求d与所之间的函数关系式，并写出自变量m的取值茄国： (a。b、c、d为常数，且a≠0)， ②阳象G上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点户，再以最纸点与点P的连我为边向其上 若一元三次方程四+2+C+d=0(a≠0)的左边在实数范倒内可因 方作正方形，点B到正方形边的最小距高记为人当点O在该正方形内部，点日在设正方形外部， 素材2 一元三次方式分解为a(x-p)(x~)(x-p)(p、9r为实数)，即原方 且名时，真接导出m的值 程的扇法程化为：a(红-pP)(红~g)(x-P=0,则得方程的振为=P =g,万= 设一元二次方程a+bxtc=0(a≠0)有两个根x,知，则方程可化 一元二次方 为a(x-)(x-n)=0,即x2-g(m+n)x+xn=0与原方 程根与系数 素材3 的关系的探 程系数进行比较。可得根与系数的等量关系为：+妇一一点，x四 究过程 问题解决 若关于x的三次方程2+br2+cx+d=0(a,b、c.d为常数)的左边 任务1 感受新如 可分解为a(x-1)(x+2)(x-3),则方程a+24r+d-0的 个根分别为=一，双—习一 任务2 若关于x的三次方程3+2Cx+d=0的三个根为x:n,,请探 探索新知 究3，灯灯与系数a,、心d之间的等量关系 利用上一任务的结论解决：若方程23+2~x~6=0的三个根为a 任务3 应用新知 上的值 数学春共6图第5页 数学径共：因第6周 2026年秋季学期九年级第一次集体作业 数 学 试 卷 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号. 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分. 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分.） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 4．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程可以（   ） A． B． C． D． 解：A、由方程得：，，则此项符合题意； B、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； C、由方程得：，，则此项不符合题意； D、方程的根的判别式为，没有实数根，则此项不符合题意； 故选：A． 6．抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 解：由抛物线抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线x＝1， 所以该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵（﹣2，y1）距离对称轴有3个单位长度， （0，y2）距离对称轴有1个单位长度， 离对称轴由个单位长度， ∴y3＜y2＜y1； 故选：B． 7．将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线y＝2（x﹣2）2﹣3的是（　　） A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣3）2﹣1 C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2x2﹣1 解：由y＝2（x﹣2）2﹣3先向右平移1个单位长度后解析式为y＝2（x﹣2﹣1）2﹣3＝2（x﹣3）2﹣3， 再向上平移2个单位长度后解析式为y＝2（x﹣3）2﹣3+2＝2（x﹣3）2﹣1， 故选：B． 8．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　） A．x2＝100 B．x（1+x）＝100 C．1+x+x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人倍传染，根据“有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感”，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人倍传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝100． 故选：C． 9．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象不可能是（　　） A．B．C．D． 解：当x＝1时，y＝ax+b＝a+b，y＝ax2+bx＝a+b， ∴一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的交点的横坐标为1， 当y＝0时， y＝ax+b＝0，解得x， y＝ax2+bx＝x（ax+b），解得x＝0或x， ∴一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx图象在x轴上交于同一点（，0）， ∴D选项不可能； A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以A选项正确； B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且所以B选项正确； C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项正确； 故选：D． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间．有以下结论：①2a﹣b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；③3a+c＜0；④．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【解答】∵二次函数的对称轴为x＝1， ∴， ∴2a+b＝0，故①不正确； ∵二次函数图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1， 设与x轴的另一个交点的横坐标为m， ∴1﹣（﹣2）＝m﹣1， ∴m＝4， ∴与x轴的另一个交点坐标为（4，0），故②正确； 由图可知，当﹣2＜x＜4时，y＜0， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故③正确； 由题意可得：， 解得：，，c＝﹣2； 当二次函数图象经过点（﹣2，0），（4，0），（0，﹣3）时， ∴， 解得：，，c＝﹣3， ∵与y轴的交点在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴，故④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分．将结果直接填写在答题卡对应的横线上.） 11．设是方程的一个实数根，则________． 【答案】2024 解：把代入得到， 则， 又， 把代入， 故答案为：2024． 12．写出一个二次函数，其图象过点且开口向下：______________． 【答案】（答案不唯一） 解：二次函数开口向下，且图象过， 写出一个二次函数可为， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．如果要使彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若设竖彩条的宽度为2x，则依题意可列方程为 解：若设竖彩条的宽度为2xcm，则横彩条的宽度为3xcm，除彩条部分外的九块区域可合成长为（30﹣2×2x）＝（30﹣4x）cm、宽为（20﹣2×3x）＝（20﹣6x）cm的长方形， 根据题意得：（30﹣4x）（20﹣6x）＝（1﹣）×30×20， 整理得：（30﹣4x）（20﹣6x）＝450． 14．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是_____． 【答案】81 解：设个位上的数为x，则十位上的数为， 依题意，得， 整理得：， 解得：（舍去）， 所以，． 故这个两位数是81． 故答案为：81． 15．如图1，在△ABC中，AB＝AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A，图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（cm）随时间t（s）变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点，则m＝　16　 s，S△ABC＝　48　 cm2． 解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示： ∵AB＝AC， ∴， 从图2看，当t＝5时，点P在点B处，即AC＝AB＝5×2＝10（cm）， 从图2看，点Q为曲线部分的最低点，即AP的最小值为8cm，即AH＝8cm， 在Rt△AHB中根据勾股定理得： ， ∴BC＝2×6＝12（cm）， ∴， △ABC的面积为：， 故答案为：16；48． 三、解答题（本大题共10个小题，满分75分．） 16．（6分）解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）3x2﹣6x＝﹣3， 解：（1）∵x2﹣4x﹣7＝0， ∴a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7． ∵Δ＝16+28＝44＞0， ∴x＝＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣； （2）3x2﹣6x＝﹣3， x2﹣2x+1＝0， （x﹣1）2＝0， x﹣1＝0， ∴x1＝x2＝1． 17．（6分）已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m＜2； （2）设方程的另一个实数根为x2， ∵5+x2＝2， ∴x2＝﹣3． 当方程有一个实数根是5，则另一个根为﹣3． 18．（6分）已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 19．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A，B，C三点． （1）观察图象，直接写出：当x满足x＜1　 时，y随x的增大而减小． （2）求抛物线的解析式； （3）观察图象，直接写出：当x＞0时，y的取值范围y≥﹣4　 ． 解：（1）由题意可得：抛物线的对称轴为：， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， 故答案为：x＜1； （2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A，B，C三点， ∴， 解得； ∴y＝x2﹣2x﹣3； （3）∵抛物线的对称轴为：x＝1； ∴抛物线的顶点坐标为：（1，﹣4）； 当x＞0时，在y轴右边，y的取值范围y≥﹣4． 故答案为：y≥﹣4． 20．（8分）一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动． （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ （2）小球滚动5m约用了多少秒？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为s＝t） 解：（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即5÷4＝1.25（m/s）， 故小球的滚动速度平均每秒减少1.25小m/s； （2）球滚动到5m时约用了xs， 依题意，得：x•＝5， 整理得：x2﹣8x+8＝0， 解得：x＝4±2， ∵x＜4， ∴x＝4﹣2． 故小球滚动5m用了（4﹣2）秒． 21．（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框去掉中间位置的数之后，用横向两个数的乘积减去纵向两个数的乘积，不难发现，差都是48．例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48． 设某个菱形框中间位置的数为n． （1）请证明发现的规律； （2）若某菱形框框出的5个数中，最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【解答】（1）证明：设中间的数为n，则另外4个数分别为（n﹣7），（n﹣1），（n+1），（n+7）， ∴（n﹣1）（n+1）﹣（n﹣7）（n+7）＝n2﹣1﹣（n2﹣49）＝48； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得x（x﹣14）＝435， 解得x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 22．（10分）已知直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，已知点B的坐标为． (1)求直线和抛物线各自的函数解析式； (2)如果抛物线上有一点D（点D在y轴的右侧），使得，求此时点D的坐标． （1）解：设直线所表示的函数解析式为， ∵它过点和点， ， 解得， ∴直线所表示的函数解析式为， ∵抛物线过点， ， 解得， ∴抛物线所表示的函数解析式为； （2）解：解方程组， 解得：， ∴点坐标为； 又点坐标为点坐标为， ∴， ，， ， 设点的纵坐标为， 则， 把代入， 得， 又 ∵点在第一象限， ， ∴点坐标为． 23．（11分）小华在学完了《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为ax3+bx2+cx+d＝0（a、b、c、d为常数，且a≠0）． 素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的左边在实数范围内可因式分解为a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）（p、q、r为实数），即原方程化为：a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）＝0，则得方程的根为x1＝p，x2＝q，x3＝r. 素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则方程可化为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：x1+x2＝﹣，x1x2＝. 问题解决 任务1 感受新知 若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a、b、c、d为常数）的左边可分解为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3），则方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根分别为x1＝　　 ，x2＝　　 ，x3＝　　 . 任务2 探索新知 若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根为x1，x2，x3，请探究x1+x2+x3，x1•x2•x3与系数a、b、c、d之间的等量关系． 任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0的三个根为α、β、γ，求的值． 解：任务1， 由题知， 原方程可改写为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3）＝0， 所以x﹣1＝0或x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣2，x3＝3． 故答案为：1，﹣2，3． 任务2， 因为关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根为x1，x2，x3， 所以a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0， 展开得，ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3＝0， 所以ax3+bx2+cx+d＝ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3， 所以﹣a（x1+x2+x3）＝b，﹣ax1x2x3＝d， 则． 任务3， 由方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0得， a＝2，b＝1，c＝﹣7，d＝﹣6， 所以，， 所以＝． 24．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于原点和点A（4，0），点B为抛物线的顶点，点M（m，y1），N（m+3，y2）为抛物线y＝﹣x2+bx上不重合的两个点． （1）求b的值； （2）试判断是否存在实数m使得2y1+y2＝9？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由； （3）记点M，N两点之间的部分（包括M，N两点）为图象G，点B在图象G上，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d． ①求d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； ②图象G上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点P，再以最低点与点P的连线为边向其上方作正方形，点B到正方形边的最小距离记为f．当点O在该正方形内部，点B在该正方形外部，且时，直接写出m的值． 解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于原点和点A（4，0），将点A的坐标代入得： ﹣16+4b＝0， 解得：b＝4； （2）不存在实数m使得2y1+y2＝9；理由如下： 由（1）得抛物线解析式为y＝﹣x2+4x， 点M（m，y1），N（m+3，y2）为抛物线y＝﹣x2+4x上不重合的两个点，将点M，点N的坐标分别代入得： ∴，， ∴， 令﹣3m2+6m+3＝9， 整理得：m2﹣2m+2＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在实数m使得2y1+y2＝9； （3）①∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴顶点B（2，4），对称轴为直线x＝2， ∵点B在图象G上， ∴m≤2≤m+3， ∴﹣1≤m≤2， ∵抛物线开口向下， ∴图象G的最高点为B，ymax＝4， 当时，|m﹣2|≥|m+1|，最低点在点M处， ， ∴d＝4﹣（﹣m2+4m）＝m2﹣4m+4； 当时，|m﹣2|＜|m+1|，最低点在点N处， ， ∴d＝4﹣（﹣m2﹣2m+3）＝m2+2m+1， ∴； ②或．理由如下： 当时，最低点为Q（m，﹣m2+4m），对称点P（4﹣m，﹣m2+4m）， 以QP为边向上作正方形，此时B在正方形上方， 点B到正方形各边距离中，到上边的距离最小， f＝m2﹣2m， 令， ∴2m2﹣4m﹣3＝0， ∴， ∵， ∴， 当时，最低点为Q（m+3，﹣m2﹣2m+3），对称点P（1﹣m，﹣m2﹣2m+3）， 以QP为边向上作正方形，此时B在正方形上方， 点B到正方形各边距离中，到上边的距离最小， f＝m2﹣1， 令， 解得：， ∵， ∴， 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $