专题3.1 相似多边形 培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题3.1 相似多边形 知识点1：比例线段 　　1.定义：四条线段 a、b、c、d 中，如果（即 a:b＝c:d），那么这四条线段成比例，叫做比例线段。 　　2.比例中项：若（即），则线段 b 叫做 a、c 的比例中项。 　　3.注意：比例线段长度单位要统一；线段成比例要考虑对应顺序。 知识点2：比例的性质 性质 内容 说明 基本性质 外项积等于内项积 合比性质 两边同加分母后仍成比例 等比性质 分子和比分母和等于 k 知识点3：黄金分割 　　1.定义：点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC（AC>BC）两段，如果（即 AC 是 AB 与 BC 的比例中项），那么这种分割叫做黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 　　2.黄金数：，黄金分割数是一个无理数。 　　3.应用：黄金矩形、摄影构图、建筑设计等常见黄金分割。 知识点4：相似多边形 　　1.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。 　　2.相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比（或相似系数）。 　　3.表示：相似用符号“∽”表示，如四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，对应顶点写在对应位置。 知识点5：相似多边形的性质 　　1.对应角相等，对应边成比例。 　　2.周长比：相似多边形周长的比等于相似比。 　　3.面积比：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 对应量 关系 说明 对应角 相等 ∠A＝∠A′ 等 对应边 成比例，比值为 k k 为相似比 周长 比等于 k 周长比＝相似比 面积 比等于 k² 面积比＝相似比平方 【基础必考题型】 【题型1】成比例线段 1.核心知识点 　　比例线段的定义；四条线段成比例；比例中项。 2.解题方法技巧 　　①把四条线段按对应顺序列比例式验证； 　　②计算交叉乘积 ad 与 bc 是否相等； ③求比例中项用 b²＝ac，注意取正。 【例题1】.（25-26九年级下·山东济宁·期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列线段是不是成比例线段： (1)； (2)． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式题1-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【题型2】由比例性质判断正误 1.核心知识点 　　基本性质、合比性质、等比性质的应用与判断。 2.解题方法技巧 　　①利用交叉相乘验证比例式是否成立； 　　②合比、等比性质的变形要检查条件； ③举反例排除错误选项。 【例题2】.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则__________． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）已知，则_________． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知，则________． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，那么___________． 【题型3】由比例性质求值 1.核心知识点 　　已知比例求未知量；等比性质求连比式子的值。 2.解题方法技巧 　　①设比值为 k，把各量用 k 表示； 　　②代入所求式子，消去 k 或求 k； ③注意分母不为 0 的条件。 【例题3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）现有四条线段是成比例线段，长度按从长到短的顺序分别为，则的值为_______________． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【变式题3-3】.（24-25八年级下·全国·课后作业）已知三条线段，，的长分别为，如果线段与它们构成比例线段，那么线段的长为____________． 【题型4】识别相似多边形 1.核心知识点 　　相似多边形的定义；对应角相等且对应边成比例。 2.解题方法技巧 　　①先看边数是否相同； 　　②逐一验证对应角相等、对应边成比例； ③同形状不同大小才相似，位置不影响。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的两个矩形是否相似？ 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的两个多边形相似吗？说说你的理由． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在上、下两行的图形中，把你认为是相似图形的用线连起来． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型5】比例性质的应用 1.核心知识点 　　把实际情境转化为比例关系；按比例分配与求解。 2.解题方法技巧 　　①找出题目中的比例关系或等量关系； 　　②设未知数列比例式求解； ③结合情境检验答案的合理性。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知分别表示三条线段的长，且满足． (1)求的值； (2)已知线段为的三条边，若的周长为36，求各边的长度． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，求一次函数的图象与坐标轴围成的面积． 【题型6】比例尺 1.核心知识点 　　比例尺＝图上距离∶实际距离；单位换算。 2.解题方法技巧 　　①比例尺＝图上距离÷实际距离； 　　②注意图上与实际单位统一，先换算； ③面积换算时比例尺要平方。 【例题6】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）在比例尺为的地图上量出A、B两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是__________m． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一张地图的比例尺为，该地图上表示A，B两座城市的两点之间的距离为．那么，这两座城市之间的实际距离为____________． 【题型7】求相似多边形的相似比 1.核心知识点 　　相似比＝对应边长的比；对应边的选取。 2.解题方法技巧 　　①找出对应边，计算比值； 　　②注意相似比的顺序（哪个多边形比哪个）； ③由最长边、最短边等对应关系确定相似比。 【例题7】.（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）四边形的四边长分别是2，3，7，8，四边形四边形，四边形的最短边长是4，则四边形与四边形的相似比是______． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型8】求相似多边形的角度 1.核心知识点 　　相似多边形对应角相等；多边形内角和求角。 2.解题方法技巧 　　①对应角相等，直接由已知角求未知角； 　　②利用多边形内角和 求未知角； ③注意对应顶点的顺序。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形四边形，，，，，，，求的长和的度数． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，五边形五边形，求的长和的度数． 【题型9】求相似多边形的边长/周长 1.核心知识点 　　利用相似比求对应边长；建立比例式。 2.解题方法技巧 　　①由已知对应边求出相似比； 　　②用相似比×已知边长求未知边； ③多解时结合图形条件取舍。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在下图所示的两个相似四边形中，求边x的长和角的度数． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知四边形四边形，若，，则的长为__________． 【变式题9-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）两个相似多边形的面积比为，其中一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为______． 【题型10】求相似多边形的面积 1.核心知识点 　　面积比等于相似比的平方；由边长、周长求面积。 2.解题方法技巧 　　①先确定相似比 k，面积比＝k²； 　　②由一边的面积与面积比求另一边面积； 　　③面积比通常为对应边比的平方。 【例题10】.（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图在长为8，宽为6的矩形中，截去一个小矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是______． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把一张长、宽的矩形图片用复印机放大，其中长放大为，那么新图片的面积是原来的多少倍？ 【变式题10-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）与相似，，的对应边，的面积为．求的面积． 易错点 1、判断成比例线段时未按对应顺序，交叉乘积算错。 2、运用等比性质时忽略分母之和不为 0。 3、混淆周长比与面积比，面积比忘记是相似比的平方。 4、判断相似多边形时只看对应角或只看对应边，条件不完整。 5、比例尺单位未统一，导致实际距离计算错误。 6、黄金分割记错比例关系，把 AC/AB 与 BC/AC 混淆。 重点 1、理解并运用比例的基本性质、合比性质、等比性质。 2、掌握黄金分割的定义与黄金数。 3、理解相似多边形的定义与判定条件。 4、掌握相似多边形对应角、对应边、周长比、面积比的性质。 难点 1、比例性质的灵活变形与求值。 2、相似多边形的判定，多条件综合判断。 3、通过面积比、周长比反推相似比并求边长。 4、黄金分割与连续相似规律的综合探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 二、填空题 4．线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 5．甲、乙两地相距，在地图上，用表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是_______． 6．已知，则____________，____________． 三、解答题 7．已知，那么各等于多少？ 8．如图，点E、F分别是矩形边和上的点，且四边形是正方形，矩形与矩形相似．求． 9．如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 10．图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由． (1) (2) 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 相似多边形 知识点1：比例线段 　　1.定义：四条线段 a、b、c、d 中，如果（即 a:b＝c:d），那么这四条线段成比例，叫做比例线段。 　　2.比例中项：若（即），则线段 b 叫做 a、c 的比例中项。 　　3.注意：比例线段长度单位要统一；线段成比例要考虑对应顺序。 知识点2：比例的性质 性质 内容 说明 基本性质 外项积等于内项积 合比性质 两边同加分母后仍成比例 等比性质 分子和比分母和等于 k 知识点3：黄金分割 　　1.定义：点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC（AC>BC）两段，如果（即 AC 是 AB 与 BC 的比例中项），那么这种分割叫做黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 　　2.黄金数：，黄金分割数是一个无理数。 　　3.应用：黄金矩形、摄影构图、建筑设计等常见黄金分割。 知识点4：相似多边形 　　1.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。 　　2.相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比（或相似系数）。 　　3.表示：相似用符号“∽”表示，如四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，对应顶点写在对应位置。 知识点5：相似多边形的性质 　　1.对应角相等，对应边成比例。 　　2.周长比：相似多边形周长的比等于相似比。 　　3.面积比：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 对应量 关系 说明 对应角 相等 ∠A＝∠A′ 等 对应边 成比例，比值为 k k 为相似比 周长 比等于 k 周长比＝相似比 面积 比等于 k² 面积比＝相似比平方 【基础必考题型】 【题型1】成比例线段 1.核心知识点 　　比例线段的定义；四条线段成比例；比例中项。 2.解题方法技巧 　　①把四条线段按对应顺序列比例式验证； 　　②计算交叉乘积 ad 与 bc 是否相等； ③求比例中项用 b²＝ac，注意取正。 【例题1】.（25-26九年级下·山东济宁·期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最小与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则该组线段成比例，逐项判断即可． 【详解】解：A、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． B、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． C、排序得，，，， ，， ，该组线段成比例． D、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列线段是不是成比例线段： (1)； (2)． 【答案】(1) 线段、、、是成比例线段； (2) 线段、、、是成比例线段． 【分析】根据成比例线段的定义：线段，如果，那么线段四条线段叫成比例线段，据此解答． 【详解】（1）解：线段、、、是成比例线段． ∵ ，，， 统一单位为，得， ， ∵ ， ，， ∴ 线段、、、是成比例线段； （2）解：线段、、、是成比例线段． ∵ ，，， ， ∵ ， ，， ∴ 线段、、、是成比例线段． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列线段、、、不是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，四条线段成比例需满足最长线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此逐一验证各选项即可． 【详解】解：成比例线段的判定规则：对于四条线段、、、，若，则四条线段成比例． ∵选项A中，，∴是成比例线段 ∵选项B中，，∴是成比例线段 ∵选项C中，，∴是成比例线段 ∵选项D中，，，，∴不是成比例线段 故选：D． 【题型2】由比例性质判断正误 1.核心知识点 　　基本性质、合比性质、等比性质的应用与判断。 2.解题方法技巧 　　①利用交叉相乘验证比例式是否成立； 　　②合比、等比性质的变形要检查条件； ③举反例排除错误选项。 【例题2】.（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）已知，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，设，，代入即可求得的值． 【详解】解：由题意，设，， ． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】根据已知比例设参数表示和，代入所求式子化简计算即可． 【详解】解： 可设，（） 将，代入 得． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，那么___________． 【答案】 【详解】根据x与y的比例关系，设参数表示x和y，再代入计算约分，即可得到结果． 【解答】解：， 设， ． 【题型3】由比例性质求值 1.核心知识点 　　已知比例求未知量；等比性质求连比式子的值。 2.解题方法技巧 　　①设比值为 k，把各量用 k 表示； 　　②代入所求式子，消去 k 或求 k； ③注意分母不为 0 的条件。 【例题3】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴需分情况讨论两线段乘积相等的情况： 若，代入，，，得，解得， 若，代入得，解得， 若，代入得，解得， ∴结合选项仅符合要求． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）现有四条线段是成比例线段，长度按从长到短的顺序分别为，则的值为_______________． 【答案】 【分析】四条线段已按从长到短排序，根据成比例线段的定义列比例式求解即可． 【详解】解：∵四条线段长度按从长到短的顺序分别为，且这四条线段是成比例线段， ∴，根据比例的基本性质，可得， ∴计算得，解得． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·全国·课后作业）已知三条线段，，的长分别为，如果线段与它们构成比例线段，那么线段的长为____________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论． 线段d与a，b，c构成比例线段，即存在比例关系，根据比例的性质，列出所有可能的比例式并求解d的值． 【详解】解：由比例的性质，可能的比例式有： ① ， 代入，，， 得， 解得 ② ， 得， 解得 ③， 得， 解得． 综上，的值可能为，或． 故答案为 或 或 ． 【题型4】识别相似多边形 1.核心知识点 　　相似多边形的定义；对应角相等且对应边成比例。 2.解题方法技巧 　　①先看边数是否相同； 　　②逐一验证对应角相等、对应边成比例； ③同形状不同大小才相似，位置不影响。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的两个矩形是否相似？ 【答案】两个矩形不相似 【分析】先计算得到小矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，验证对应角与对应边的比例关系即可判断． 【详解】解：∵矩形的四个内角都是直角， ∴两个矩形的对应角相等； 由图可知，大矩形的长为20，宽为12， 计算得小矩形的长为，宽为， 所以，对应边的比值： ，， ∵，对应边不成比例， ∴两个矩形不相似． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的两个多边形相似吗？说说你的理由． 【答案】不相似，理由如下： ∵， 即对应边不成比例，且不确定角是否对应相等， ∴这两个多边形不相似． 【分析】根据相似多边形的定义解答，即各边成比例，且各角分别相等的多边形相似． 【详解】略 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在上、下两行的图形中，把你认为是相似图形的用线连起来． 【答案】如图， 【分析】根据相似图形的定义求解即可. 【详解】第一行第1个（正三角形）连接第二行第3个（正三角形）， 第一行第2个（正方形）连接第二行第1个（正方形）， 第一行第3个（圆）连接第二行第4个（小圆）， 连线略 【变式题4-3】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的矩形相似，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且四个角都是直角，根据所有的直角都相等，对应边成比例，符合定义． 【培优高频题型】 【题型5】比例性质的应用 1.核心知识点 　　把实际情境转化为比例关系；按比例分配与求解。 2.解题方法技巧 　　①找出题目中的比例关系或等量关系； 　　②设未知数列比例式求解； ③结合情境检验答案的合理性。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴. 【变式题5-1】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【答案】 【分析】已知两个比例相等，求分子和与分母和的比值，通过代入变形化简即可求解． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ，， 将其代入得：， ∵ 原式有意义，因此， ∴ 约去得． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知分别表示三条线段的长，且满足． (1)求的值； (2)已知线段为的三条边，若的周长为36，求各边的长度． 【答案】(1) (2)各边的长度分别为 【分析】（1）设，则，代入求值即可； （2）的周长为36，由（1）可得，解方程得到后即可求出答案． 【详解】（1）解：设， 则， ． （2）解：的周长为36， ∴由（1）可得， 解得， 各边的长度分别为． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，求一次函数的图象与坐标轴围成的面积． 【答案】一次函数图象与坐标轴围成的面积为或 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积． 【详解】解：， ，，， ， 当时，，解得， 一次函数解析式为； 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时，即， ， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 【题型6】比例尺 1.核心知识点 　　比例尺＝图上距离∶实际距离；单位换算。 2.解题方法技巧 　　①比例尺＝图上距离÷实际距离； 　　②注意图上与实际单位统一，先换算； ③面积换算时比例尺要平方。 【例题6】.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【答案】120 【分析】本题考查了比例尺，图上距离等于实际距离乘以比例尺，将实际距离单位统一为厘米即可． 【详解】解：实际距离千米厘米， 图上距离厘米． 故答案为：120． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）在比例尺为的地图上量出A、B两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是__________m． 【答案】30 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离的比是，由此列方程求解，再换算单位． 【详解】解：设A、B两地的实际距离是， 则根据比例尺有， 解得， 经检验：是原方程的解， ． 故答案为：30． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是______． 【答案】400 【分析】本题主要考查比的性质，熟练掌握比例尺是解题的关键；根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例，通过比例关系计算实际距离，然后进行单位换算． 【详解】解：设这两地的实际距离是，根据题意得， 解得， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为400． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一张地图的比例尺为，该地图上表示A，B两座城市的两点之间的距离为．那么，这两座城市之间的实际距离为____________． 【答案】 【分析】已知比例尺和图上距离，根据比例尺定义计算实际距离后换算单位即可． 【详解】解：设两座城市之间的实际距离为， 根据比例尺的定义可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 即这两座城市之间的实际距离为 【题型7】求相似多边形的相似比 1.核心知识点 　　相似比＝对应边长的比；对应边的选取。 2.解题方法技巧 　　①找出对应边，计算比值； 　　②注意相似比的顺序（哪个多边形比哪个）； ③由最长边、最短边等对应关系确定相似比。 【例题7】.（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）四边形的四边长分别是2，3，7，8，四边形四边形，四边形的最短边长是4，则四边形与四边形的相似比是______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，取两个四边形的最短边作为一组对应边，计算化简比值即可． 【详解】解：∵四边形的四边长分别是，，，， ∴四边形的最短边为， ∵四边形四边形，四边形的最短边长是， ∴四边形与四边形的相似比是． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：∵将矩形划分成四个全等的矩形， ∴小矩形的宽为，长为， ∵矩形的宽为，长为，且小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【详解】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为， ∴它们的相似比为． 【压轴素养题型】 【题型8】求相似多边形的角度 1.核心知识点 　　相似多边形对应角相等；多边形内角和求角。 2.解题方法技巧 　　①对应角相等，直接由已知角求未知角； 　　②利用多边形内角和 求未知角； ③注意对应顶点的顺序。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行解答即可． 【详解】解：设，，，都与相似， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形四边形，，，，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】先根据相似多边形的性质可得的长和的度数，再根据四边形的内角和即可得的度数． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，，， ∴， 解得． 又∵，， ∴． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，五边形五边形，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】根据相似多边形的性质，以及多边形的内角和公式进行求解即可. 【详解】解：∵五边形五边形， ∴，， ∴， ∴， 由图可知，，， ∴. 【题型9】求相似多边形的边长/周长 1.核心知识点 　　利用相似比求对应边长；建立比例式。 2.解题方法技巧 　　①由已知对应边求出相似比； 　　②用相似比×已知边长求未知边； ③多解时结合图形条件取舍。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·课后作业）在下图所示的两个相似四边形中，求边x的长和角的度数． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质可得对应边成比例，且对应角相等，据此求出的值和的度数，再根据四边形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵两个四边形相似， ∴对应边成比例，且对应角相等， ∴，， ∴． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，结合已知与的倍数关系和的长度，即可计算的长． 【详解】解：∵ 四边形四边形， ∴ ∵， ∴ 把代入比例式得， 解得． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知四边形四边形，若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用相似比求解即可． 【详解】解：四边形四边形，， ，， ， ． 【变式题9-3】.（2026九年级上·全国·专题练习）两个相似多边形的面积比为，其中一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为______． 【答案】或 【分析】由相似多边形面积比得到周长比，分已知周长是较大多边形和较小多边形两种情况计算． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的周长比为， 设另一个多边形的周长为， 分两种情况讨论： 当是较大多边形的周长时，可得，解得； 当是较小多边形的周长时，可得，解得， 因此另一个多边形的周长为或． 【题型10】求相似多边形的面积 1.核心知识点 　　面积比等于相似比的平方；由边长、周长求面积。 2.解题方法技巧 　　①先确定相似比 k，面积比＝k²； 　　②由一边的面积与面积比求另一边面积； 　　③面积比通常为对应边比的平方。 【例题10】.（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例求出缩小后的宽，再利用矩形面积公式计算即可． 【详解】设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图在长为8，宽为6的矩形中，截去一个小矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是______． 【答案】27 【分析】根据相似多边形的性质得到，设，进一步求出，根据矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，依题意，在矩形中截去矩形，矩形矩形，则． 设，则， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意， 则剩下矩形的面积是． 【变式题10-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把一张长、宽的矩形图片用复印机放大，其中长放大为，那么新图片的面积是原来的多少倍？ 【答案】新图片的面积是原来的9倍 【分析】利用等比例放大的相似性，通过相似比推导面积比． 【详解】解：∵复印机放大为等比例放大，放大前后的矩形相似，原矩形长为，新矩形长为， ∴相似比为， ∵相似矩形的面积比等于相似比的平方， ∴新矩形与原矩形的面积比为． 答：新图片的面积是原来的9倍． 【变式题10-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）与相似，，的对应边，的面积为．求的面积． 【答案】 的面积为 【分析】由对应边长度得到相似比，结合面积比与对应边比的关系，代入已知面积求解． 【详解】解：∵与相似，与为对应边，，， ∴， ∵， ∴． 易错点 1、判断成比例线段时未按对应顺序，交叉乘积算错。 2、运用等比性质时忽略分母之和不为 0。 3、混淆周长比与面积比，面积比忘记是相似比的平方。 4、判断相似多边形时只看对应角或只看对应边，条件不完整。 5、比例尺单位未统一，导致实际距离计算错误。 6、黄金分割记错比例关系，把 AC/AB 与 BC/AC 混淆。 重点 1、理解并运用比例的基本性质、合比性质、等比性质。 2、掌握黄金分割的定义与黄金数。 3、理解相似多边形的定义与判定条件。 4、掌握相似多边形对应角、对应边、周长比、面积比的性质。 难点 1、比例性质的灵活变形与求值。 2、相似多边形的判定，多条件综合判断。 3、通过面积比、周长比反推相似比并求边长。 4、黄金分割与连续相似规律的综合探究。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可利用比例的性质，通过将a、c用b、d表示，再代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵，， ∴，， 将，代入得：， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“相似多边形的对应边成比例”即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得． 3．现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同但比它大的矩形，则至多要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）．的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】如果与它形状一样且比它大，所以宽变成3张，长变成张，一共使用了18张正方形的纸，这样所用正方形纸片数量最多，由此得出答案即可． 【详解】解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的3倍， ∴需要正方形的纸片是（张）． 二、填空题 4．线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 【答案】9 【分析】根据成比例线段的定义，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，，是成比例线段， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 解得． 5．甲、乙两地相距，在地图上，用表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是_______． 【答案】 【分析】先统一单位，再根据比例尺定义计算即可． 【详解】解：∵ 比例尺是图上距离与实际距离的比，计算前需要统一单位， ∴， ∵ 已知图上距离为， ∴ 比例尺 ． 6．已知，则____________，____________． 【答案】 【分析】根据已知比例式，利用比例的基本性质交叉相乘变形，即可推导出所求结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴，. 三、解答题 7．已知，那么各等于多少？ 【答案】 ， 【分析】根据已知比例设参数，用含的式子表示和，代入待求分式约分化简即可． 【详解】 解：∵， ∴设，，， ∴，． 8．如图，点E、F分别是矩形边和上的点，且四边形是正方形，矩形与矩形相似．求． 【答案】 【分析】先推导出，再根据矩形与矩形相似，得到，化简得到，设，得到，求出x的值即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，， ∴， 即， 设，则， ∴， 解得（舍去） ∴． 9．如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 【答案】(1)不相似 (2)相邻两条小路宽度的比值为 【分析】（1）根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可． （2）设横向小路的宽度为，纵向小路的宽度为，根据两矩形相似得出比例式，求出相邻两条小路宽度的比值即可． 【详解】（1）解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似， 由题意得，小路外边缘矩形的长、宽， ∵， ∴小路内外边缘形成的两个矩形不相似． （2）解：如图，设相邻两条小路的宽度分别是和． ∵相对两条小路的宽度相等， ，． ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴相邻两条小路宽度的比值为． 10．图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由． (1) (2) 【答案】(1)解：相似，理由如下： ∵矩形的四个角均为90度， ∴两个矩形的对应角都相等， ∵，即两个矩形的长和宽的比相等， ∴两个矩形相似； (2)解：不相似，理由如下： ∵矩形的四个角均为90度， ∴两个矩形的对应角都相等， ∵，即两个矩形的长和宽的比不相等， ∴两个矩形不相似. 【分析】根据相似多边形的判定进行判断即可. 【详解】（1）略 （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $