精品解析：广东汕头市潮阳区等校 2026-2027学年九年级上学期第一阶段联考10月阶段检测数学试题

2026－2027学年九年级上数学最新人教版第一次质量检测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 二次函数有最小值，则m等于（） A. 1 B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（　　） A. （x+5）（x-7）=0 B. （x-5）（x+7）=0 C. （x+5）（x+7）=0 D. （x-5）（x-7）=0 6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，二次函数图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④（其中，为任意实数）；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的开口方向是_____________． 12. 把方程化成的形式，则m的值是_________． 13. 书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数有______人． 14. 若菱形的一条对角线长为8，边的长是方程的一个根，则该菱形的面积为_______． 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2）； 17. 已知一元二次方程的一个根为1，求k的值及另一个根 18. 二次函数中的x，y的部分取值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ m n 0 ⋯ 根据表中数据填空： （1）该函数图象的对称轴是_________，与x轴的交点坐标是_________； （2）画出该二次函数的图象． 19. 如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ （2）鸡舍面积能否达到？ 20. 如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为拱桥的最高点到水面的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度﹒ 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 22. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求、、、的坐标； （2）点是直线下方的抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年九年级上数学最新人教版第一次质量检测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4. 二次函数有最小值，则m等于（） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大值（最小值）公式是解题的关键．根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴，且， 解得． 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（　　） A. （x+5）（x-7）=0 B. （x-5）（x+7）=0 C. （x+5）（x+7）=0 D. （x-5）（x-7）=0 【答案】A 【解析】 【分析】解答此题可以采用排除法，各选择答案都很简单，解方程即可．也可根据根与系数的关系求解． 【详解】∵（x+5）（x﹣7）＝0 ∴x+5＝0或x﹣7＝0 ∴x1＝﹣5，x2＝7． 故选A． 【点睛】在解选择题是要注意方法的选择，有直接求解法，排除法等，在解题时要注意解题技巧与方法的积累． 6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的参数与根的关系，根据根的情况求参数，难度一般． 7. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出平移前的顶点坐标，再根据平移方式可得平移后的顶点坐标． 【详解】解：∵平移前抛物线的解析式为， ∴平移前的顶点坐标为， ∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的顶点坐标为，即． 8. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 10. 已知，二次函数图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④（其中，为任意实数）；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】由图像可知，，，根据对称轴在抛物线的右侧可得,即可得；根据对称轴为得，即可得；当时，即当时，，即可得，即可判断；当时，y有最大值：，所以当时，，即，进行计算即可得；当时，，，即，即可得，综上，即可得． 【详解】解：由图像可知，，， ∵对称轴在抛物线的右侧， ∴, 即， 故结论①正确； ∵对称轴为， ∴ 即， 故结论②正确； ∵当时， ∴， ∴当时，， 即， 故结论③正确； ∵当时，y有最大值：， ∴当时，， 即， ， 故结论④正确； 当时，， ∴， 即， ∴， 故结论⑤正确； 综上，①②③④⑤正确，正确的个数为5个， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数的开口方向是_____________． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，当，抛物线开口方向向上，当，抛物线开口方向向下．根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图像开口方向向上． 故答案为：向上． 12. 把方程化成的形式，则m的值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用配方法把原方程化成的形式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 书法兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，书法兴趣小组人数有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，准确建立方程并求解是解题关键． 设该小组共有个人，若人人相互送一个月饼，则每个人都应送出个月饼，从而得到总的数量表示为，由此列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设该小组共有个人，则每个人都应送出个月饼， 由题意，， 解得：或（舍去）， ∴该小组共有9人， 故答案为：9． 14. 若菱形的一条对角线长为8，边的长是方程的一个根，则该菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元二次方程，求出的长度，再利用菱形的性质求出另一条对角线的长度，利用菱形的面积公式：对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解： ， 解得：； ∵菱形， ∴对角线互相垂直平分， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴另一条对角线长为：， ∴菱形的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，正确的解出一元二次方程的根，结合菱形的性质，求出对角线的长度是解题的关键． 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 17. 已知一元二次方程的一个根为1，求k的值及另一个根 【答案】k的值为3，方程的另一个根为3 【解析】 【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得 解得． ∴k的值为3，方程的另一个根为3． 18. 二次函数中的x，y的部分取值如下表： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ m n 0 ⋯ 根据表中数据填空： （1）该函数图象的对称轴是_________，与x轴的交点坐标是_________； （2）画出该二次函数的图象． 【答案】（1）直线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据时的函数值与时的函数值相同可求出对称轴，再根据时，可求出与x轴的交点坐标； （2）求出抛物线的解析式，列出表格，再画出对应的函数图象即可． 【小问1详解】 解：由表格可知时的函数值与时的函数值相同， ∴对称轴为直线； ∵当时，， ∴由对称性可得，， ∴与x轴的交点坐标是； 【小问2详解】 解：由（1）得对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 列表如下： x ⋯ 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 0 0 ⋯ 函数图象见答案． 19. 如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ （2）鸡舍面积能否达到？ 【答案】（1）矩形鸡舍的长为，宽为 （2） 解：当， 则， 整理得：， 则， 故所围成鸡舍面积不能为 86平方米． 【解析】 【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的边为，矩形鸡舍的另一边长为，根据正方形面积的公式列式求出答案； （2）当，列出后进行整理得，最后根据判别式判断一元二次方程根的情况． 【小问1详解】 解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为． 依题意，得， 解得，． 当时，（舍去）， 当时，． 答：矩形鸡舍的长为，宽为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，用题目给的条件列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为拱桥的最高点到水面的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度﹒ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，C点是抛物线的顶点且位于y轴上，A、B点是抛物线与c轴交点，所以抛物线的对称轴为y轴，得A（-6,0）、B（6,0）、C（0，6）然后设二次函数解析式为，，将点B、C带入解析式解出即可. （2）根据题意得，水面宽度的横坐标为和，将其代入解析式求得y值即可. 【详解】解：（1）设二次函数解析式为 由题意得， 解析式为 （2）由题意得，水面宽度的横坐标为和． 水面上涨的高度为． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含义是解题的关键 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 22. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求、、、的坐标； （2）点是直线下方的抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）、、、 （2）、面积的最大值为8 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式可得点D的坐标，再求出时，y的值和时，x的值即可得到点A、B、C的坐标； （2）求出直线的解析式为；过点M作轴交于点E，设，则，可求出，据此可得答案； （3）设，可求出，，；再分三种情况：①若，则，②若，则，③若，则，分别建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点D的坐标为； 在中，当时，，则； 在中，当时，则，解得， ∴、； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点M作轴交于点E， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时，即此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）得对称轴为直线， 设； ∵， ∴，， ； ①若，则， ∴， 解得， ∴； ②若，则， ∴ 解得， ∴； ③若，则， ∴ 解得或． ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $