精品解析：广东广州市黄广中学2026～2027学年第一学期九年级数学综合素养评估（一）

2026学年第一学期九年级数学综合素养评估（一） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，25小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不要漏选． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 5. 设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A. B. C. D. 6. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　） A. B. C. D. 7. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 9. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②； ③； ④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为________． 12. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 13. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位，则所得抛物线的表达式为______． 14. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 15. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行____m才能停下． 16. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 20. 已知二次函数． （1）填写表中空格处的数值； （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是______． 21. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽． 22. 某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克15元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元．试销期间发现该糖果每天销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，试销期间销售数据如下表： x/元 15 20 25 30 y/千克 120 110 100 90 （1）请求出y与x之间的函数解析式； （2）设每天获得的总利润是w（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 23. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速 刹车距离 （1）以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）若该型汽车某次测试的刹车距离为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 24. 已知，，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），关于AC的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线AE上时，求证；四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且，，求DG的长； （3）如图3，在（1）的条件下，若，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且，求的最小值． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点和点，与轴交于点，顶点为． （1）求此二次函数的关系式． （2）若点是直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标． （3）点为二次函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．求出线段与二次函数的图象只有个公共点时，的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学综合素养评估（一） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，25小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不要漏选． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2. 如果，是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4. 如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是二次函数落在直线的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象在抛物线的下方， 由图象可知，当时，直线在抛物线的下方， ∴当时，， 故选：B． 5. 设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由表格得 当时，， 当时，， 一元二次方程的一个解的大致范围是． 6. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每名同学赠的标本数，再求x名同学赠的标本总数，而已知全组共互赠了182件，根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：件， 那么x名同学共赠：件， 所以，， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解决本题的关键． 7. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的图象的对称轴为y轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再由当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为y轴， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 8. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 9. 若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，首先根据已知抛物线的解析式确定对称轴和开口方向，然后结合对称轴和开口方向确定抛物线的增减性即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴是， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ， ． 故选：A． 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②； ③； ④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点坐标为，写出顶点式解析式，继而得到抛物线的对称轴、与x轴的两个交点，并将x=1，x=2代入解析式，得到其y的值，据此逐项分析即可． 【详解】二次函数表达式为： ①抛物线对称轴在y轴的左侧，则同号，而，则，故结论正确； ②函数开口向上，在y轴右侧的交点为，当x>1时，y>0,故当x=2时，，故结论正确； ③当时，，故结论错误； ④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，故有两个根和，且，则，故结论正确； ⑤若方程，即若方程，当时，由根与系数的关系得，其两个根的和为-4，同理，当时，其两个根的和也为-4，则这四个根的和为，故正确，故正确的结论有①②④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数表达式的三种形式． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．） 11. 关于x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义,只含有一个未知数,且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程,注意二次项系数不能等于0. 【详解】解:因为关于 x的方程（m﹣2）x|m|+x﹣1＝0是一元二次方程, 所以且 , 解得m=-2, 故答案为-2. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义. 12. 已知二次函数的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称． 【详解】解：设另一个交点的横坐标为 ， ∵抛物线对称轴是直线 ，与x轴的一个交点为 ，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴另一个交点坐标为 ． 故答案为： ． 13. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位，则所得抛物线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位，得：， 再向上平移4个单位得：， 化简得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查函数图象平移与函数解析式的变化规律，要求能总结平移规律：“左加右减，上加下减”，并根据此规律求平移前后的函数解析式． 14. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数(是常数，)与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解. 利用抛物线与轴的交点问题得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴代入得，即． 则． 故答案为：． 15. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行____m才能停下． 【答案】16 【解析】 【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了16米， 故滑行的时间为2秒，最大的滑行距离16米， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值． 16. 如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；其中正确结论的序号是_____ 【答案】①② 【解析】 【分析】由函数图象可知当点运动到点时，，作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而判断①；当时，计算的长，证明为等边三角形，从而判断②；当时，点在上运动，求出的最小值和最大值，从而判断③． 【详解】解：由图2可知，当动点沿匀速运动到点时，，即， 如图，过点 作于点，连接， 是等边三角形， 、， 在中，， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故①正确； 当时，点运动的路程为 5， ， 点在上，且， ， 、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故结论②正确； 当时，点在上运动， 当时，、， 当时，点到达点，，即在此过程中，的长度从 2 减小到 0， 过点作于点， 在中，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 当点与点重合时，，取得最小值， 此时， ， 点能运动到点处， 的最小值为， ∵， 的最大值为， 当时，的取值范围是， 故结论③错误； 综上所述，正确的结论是①②． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法即可得出结果． 【详解】解： ， 分解因式得：， 可得或， 解得：． 18. 如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式． 【答案】y=﹣x2． 【解析】 【详解】试题分析：由函数图象可设该抛物线的解析式是 再结合图象，只需把代入求出的值即可． 试题解析：设抛物线解析式为 把点代入解析式得： 解得： ∴抛物线的解析式为 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 20. 已知二次函数． （1）填写表中空格处的数值； （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是______． 【答案】（1）， （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】（）把和代入函数解析式计算即可求解； （）根据表格中的对应值描点、连线即可； （）根据表格和所画图象解答即可求解； 本题考查了画二次函数的图象，根据图象求函数值的取值范围，正确画出图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 21. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽． 【答案】鸡场的长和宽分别为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 22. 某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克15元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元．试销期间发现该糖果每天销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，试销期间销售数据如下表： x/元 15 20 25 30 y/千克 120 110 100 90 （1）请求出y与x之间的函数解析式； （2）设每天获得的总利润是w（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当这种糖果每千克的售价是35元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是1600元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据总利润（售价成本价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为， 由题意得，， 解得， ∴． ∵糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元， ∴, ∴y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当这种糖果每千克的售价是35元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是1600元． 23. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速 刹车距离 （1）以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）若该型汽车某次测试的刹车距离为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握描点、连线画函数图象，待定系数法求解析式，根据函数值求自变量值的方法是解题的关键． （1）根据坐标画图即可； （2）根据待定系数法求出解析式； （3）由（2）解析式，再把代入可得车速． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，设与的关系式为， 把和代入得 ， ∴， ∴与的关系式为． 【小问3详解】 解：由题意，由（2）得，， 令，则， 解得或（负值舍去）， ∴该型汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为． 24. 已知，，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），关于AC的轴对称图形为． （1）如图1，当点D在射线AE上时，求证；四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且，，求DG的长； （3）如图3，在（1）的条件下，若，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且，求的最小值． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵△ACD与△ACB关于AC对称， ∴AB＝AD，CB＝CD，∠CAB＝∠CAD， ∵AE∥AF， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠CAB， ∴BA＝BC， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边相等，可得结论； （2）如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y．根据BD的两种求法，构建方程，求出y即可； （3）如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x．由题意AP+AQ＝推出欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，），J（，3）的距离和最小，如下图，作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，连接BD交AC于点O．设OC＝y． ∵△ACD与△ACB关于AC对称， ∴AC垂直平分线段BD， ∴BO＝OD， ∵BC＝CG， ∴OC∥DG，DG＝2OC＝2y， ∴DG⊥BD， ∴BD＝， 又∵BD＝2OB＝， ∴， ∴y＝， ∴DG＝2y＝； 【小问3详解】 解：如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，设BP＝DQ＝x． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD， ∴△ABC，△ADC都是等边三角形， ∴OA＝OC＝3，OD＝， ∵AH⊥CB， ∴BH＝CH＝3，AH＝， ∴AP+AQ＝， 欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，），J（，3）的距离和最小，如下图， 作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长， ∴KN＝， ∴AP+AQ的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点和点，与轴交于点，顶点为． （1）求此二次函数的关系式． （2）若点是直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标． （3）点为二次函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．求出线段与二次函数的图象只有个公共点时，的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】()根据待定系数法求出函数解析式即可； ()利用平行线的值相等，解出的解析式，联立方程组解得坐标即可； ()，由的长度随的增大而减小，得，分两种情况进行讨论求出的取值范围． 【小问1详解】 将和代入得： ， 解得， ∴二次函数的关系式为； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线顶点， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 过点作，交抛物线于点，连接， 则， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 解得：或， ∴或； 【小问3详解】 ∵点在抛物线上， ∴点， ∴， 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， ∴满足题意，解得， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，到对称轴直线的距离为， 当时，线段与二次函数的图象只有个公共点，如图所示， ∴， 解得， ∴； ②当时，如图所示， 线段与二次函数的图象只有个公共点； 综上所述，线段与二次函数的图象只有个公共点时，的范围是：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、线段与抛物线的交点等知识，解题的关键是根据题意，列出不等式，利用数形结合解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $