福建省龙岩市“三校”2026-2027学年高二上学期10月协作联考数学试卷

2026-2027学年第一学期“三校”协作联考高二数学试卷 (考试时间:120分钟 总分:150分) 试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分 第 卷(选择题,共58分) 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若数列为等差数列,且,,则( ) A. B. C. D. 2.若直线与直线:之间的距离是,则( ) A.0 B.1 C. D.2 3.已知圆:(,)上有两点关于直线对称,则的最小值为( ) A. B. C. D. 4.设公差不为0的等差数列的前项和为,,则为( ) A. B. C. D. 5.设直线,的倾斜角分别为,,斜率分别为,,则“”是“”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设是等比数列的前项和,若 , ,则( ) A.21 B.28 C.49 D.56 7.若曲线上存在两点到直线的距离为3,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知圆关于下列命题,正确的是( ) A.对于任意的,点在圆外. B.对于任意的,总存在使直线与圆恒相切 C.对于任意的,总存在使直线与圆恒相切 D.已知点是直线上一动点,是圆的两条切线,是切点,则四边形的面积的最小值为 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知两条直线:与,下列说法正确的是( ) A.始终过定点 B.若,则或 C.若直线的一个方向向量为,则 D.当时,始终不过第四象限 10.已知依次成等比数列,公比为,将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则下列正确的是( ) A.若,则删去任意一个数都可以 B.若,则可以删去或 C.若,删去,则 D.若,删去,则 11.已知动圆与轴、轴均相交,且被、轴截得的弦长分别记为、,则下列说法正确的是( ) A.可以取任意实数 B.满足的有无数个 C.若圆心在上,则的最大值为 D.若圆心在直线上,则的最大值为 第 卷(非选择题共92分) 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 数列的前项和为. 13.对任意实数,动圆恒过两个定点,请写出一个定点坐标. 14..记表示大于的最小整数,如:,,数列满足,,,记,则数列的前2026项和为. 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(本小题满分13分).设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项. (1)求的公比; (2)若,求数列的前项和. 16(本小题满分15分).已知的顶点,边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程. (2)在下面两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. ①角的平分线所在的直线方程为; ②边上的中线所在的直线方程为. ,求直线的方程. 注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 17(本小题满分15分).已知等差数列的首项,公差为.记的前n项和为. (1)若,求通项及; (2)若公差,求所有的正整数,使得为中的某一项. 18(本小题满分17分).已知圆经过两点,圆心在直线:上. (1)求圆的方程; (2)设平行于的直线与圆相交于,两点,且,求直线的方程; (3)设点满足:存在圆上的点,使得,求实数的取值范围. 19(本小题满分17分).已知数列的首项,,. (1)证明:数列是等比数列,并求的通项公式; (2)证明:对任意的,,; (3)证明:. 试卷第1页(共3页) 试卷第1页(共3页) 学科网(北京)股份有限公司 2026-2027学年第一学期“三校”协作联考高二数学试卷 参考答案 1.C【分析】利用等差数列通项公式求出,再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】等差数列中,由,,得该数列公差, 因此,所以. 2.A【详解】∵直线与直线之间的距离为, ,,或(负值舍去).. 3.B【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上,从而得出间的关系式,进而通过基本不等式求出最小值.【详解】因为圆上有两点关于直线对称,可知圆心在直线上,即. ,等号当且仅当时成立. 4.A【详解】因为是公差不为0 的等差数列,,所以,即, 所以. 5.D【分析】利用举反例来作出既不充分也不必要条件的判断. 【详解】举反例:取,,满足, 但,,此时, 举反例:取(对应),(对应), 满足,但, 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 6.【答案】C法一:设等比数列的公比为,则, 又,代入解得, 则 . 7.D【分析】由表示圆的上半部分,数形结合确定直线到的距离大于3,到的距离小于等于3,再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由,可得, 即表示圆的上半部分(包含与x轴交点),如下图, 当圆心到直线的距离, 可得或,若时,和半圆相切, 若时,和半圆相切, 当直线过点时,有,可得,此时,结合图知,要使曲线上存在两个点与直线的距离为3,且, 则直线必在的右下方,且与x轴、y轴的正半轴相交, 所以直线到的距离大于3,到的距离小于等于3, 即与的距离,则, 与的距离,则,所以. 8.C对于A:取,不成立对于B:圆心,所以圆心到直线的距离为,当时,,所以, 即此时不存在使直线与圆相切,故B错误;对于C:对于任意的,令, 所以,即对于任意的,总存在使直线与圆相切,故C正确; 对于D:原心到直线的距离为, 即的最小值,,四边形的面积故D错误, 9.AD【详解】对于A,直线,由得,始终过定点,A正确;对于B,当时,直线与直线重合,B错误;对于C,由选项得直线的斜率,显然, 而,则有,此时,斜率为,两直线斜率乘积不为, 直线与直线不垂直,C错误;对于D,当时,, 因为,,所以直线经过第一、二、三象限, 可得始终不过第四象限,D正确. 10.ACD【详解】对于A,若,则均相等,公差为,删去其中的任意一个数,则剩下的三个数还相等,公差仍为,故A正确;对于B,若删去或,都得到等差数列,则公比,故B错误;对于C,若删去,则由,得, 由等比数列可知,所以,得, 又,所以,又,得,故C正确; 对于D,若删去,则由,得,又,所以, 因为是方程的根,提取公因式,得, 又,则可得,又,得,故D正确. 故选:ACD 11.BCD先根据圆的弦长公式推导,与圆心的关系,再结合各选项的约束条件逐一判断正误. 【详解】∵ ⊙的方程为,半径,圆心到轴的距离为,到轴的距离为, 由弦长公式可得,, 且弦长存在,则,,即,. 对选项A:∵,即,,即,所以不能取任意实数,A错误. 对选项B:若,则,即, 只要满足,,即可,符合条件的圆心有无数个, B正确. 对选项C:若圆心在⊙上,则, ∴,,则, 因为,由基本不等式可得, 即,当且仅当时等号成立,∴的最大值为,C正确. 对选项D:(法一)平方和不等式:,即 ∵,,所以, 由平方和不等式得: ∵圆心在直线上,∴, 代入得:, 由弦长存在即满足,,即,所以 所以当时,,所以 所以 即,所以 对选项D:(法二)柯西不等式 ∵,,所以, 由柯西不等式得: ∵圆心在直线上,∴, 代入得:, 由弦长存在即满足,,即,所以 所以当时,,所以 所以 即,所以 对选项D:(法三)∵,,令,, ∴. ∵圆心在直线上,∴, 代入得:, 由弦长存在即满足,,即,所以 所以当时,取得最小值,此时取最大值,故, 由基本不等式(平方和不等式)可得 ∴,即,∴, 当且仅当(即,结合可解得,满足)时等号成立. 故的最大值为,D正确. 12. 13.或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程,然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为: 因为对于任意,该方程恒成立,所以的系数和常数项都必须为,即:由第一个方程,代入第二个方程得: 将代入,得.所以,定点坐标为或. 故答案为:或 14【详解】,即, 设,则,且, 所以数列是以为首项,为公差的等差数列,即, 所以,可得,,,,,累加可得: ,所以, 依题意,, 由,可以得到: 当时,,所以, 因此当时,, 当时, 当时 当时, 当时,, 当时,,综上,数列的前2026项和. 15.((1)设的公比为,为的等差中项, ,-2分 ; -4分 (2)设的前项和为,,-5分 ,①-6分 ,②-8分 ①②得, -10分 , -12分 .- -13分 16(1)因为边上的高所在的直线方程为, 转化为斜截式,其斜率为, -2分 所以直线的斜率为 , -4分 又的顶点,所以直线的方程为,即. -6分 (2)若选①:角的平分线所在的直线方程为, 由解得,所以点. -8分 设点 关于的对称点, 则解得所以点,-11分 又点在直线上,所以, -13分 所以直线的方程为,即.-15分 若选②:边上的中线所在的直线方程为, 由解得所以点. -8分 设点,则的中点在直线上, 所以,即, 所以点在直线上, 因为边上的高所在的直线方程为且边上的高一定过点 所以点在直线上, 由解得即点, -11分 所以, -13分 所以直线的方程为,即. -15分 17.(1)因为, 所以,化为, 所以或, -4分 当时,则- -5分 当时,得,所以,- -7分 (2) 当公差时. -8分 则 - -10分 要使得为中的某一项,则必为整数,而对正整数,, 所有,可得,则或.-12分 当时不是中的一项, -13分 当时是中的第8项。 所以,只有符合题意。 -15分 18.(1)法一:设圆心,半径为,则圆的标准方程为, 依题意得:解得: -3分 故所求圆的方程为. -4分 法二:(几何法)由得中点为,直线的斜率为, 所以直线的垂直平分线的斜率为,所以直线的垂直平分线方程为, 即,由得,所以圆心, 圆的半径 故所求圆的方程为.-4分 (2)因为直线平行,所以直线的斜率为. 设直线的方程为,即,-5分 则圆心到直线的距离-6分 因为 又所以,解得或,-8分 故直线的方程为或. -9分 (3)依题意知,,设,则,-10分 由得,整理得:,-12分 所以点在直线上, 于是点既在直线上,又在圆:上, 依题意:圆:上存在点,等价于该直线与圆有公共点。-14分 即圆心到直线距离,即,-16分 即,得,解得,所以实数的取值范围为-1-7分 19.(1),,, 又,是以为首项,为公比的等比数列 .-3分 ,. -5分 (2)由(1)知,其中 -6分 - -7分 -8分 ,原不等式成立.-9分 (3)由(2)知,对任意的,有 . -11分 取, -15分 则.-17分 原不等式成立. 答案第1页(共2页) 答案第1页(共2页) 学科网(北京)股份有限公司 $