精品解析：福建省龙岩市第二中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

龙岩二中2025～2026学年第一学期高二第二次月考 数 学 试 题 命题人、审题人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 21 B. 23 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质得出，即可求出前7项的和. 【详解】由题意，， 在等差数列中，前项和为，若， ， ∴， 故选：C. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出m的值，再由两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】因为直线和互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以即，所以， 因为两直线方程为和， 所以它们之间的距离为. 故选：D. 4. 在数列中，已知，，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【详解】数列中，由，，，得，， 所以，所以， 因此数列是周期数列，周期为6，所以. 故选：B 5. 已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先确定交点的坐标，再求出垂线与渐近线的交点，利用的长度求得，最后结合双曲线的、关系计算离心率. 【详解】双曲线中，令，得非负半轴交点. 过的x轴垂线为，双曲线第一象限的渐近线为，将代入得. 由，得. 双曲线中，，即， 故离心率. 故选：B 6. 6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 960 D. 1920 【答案】B 【解析】 【分析】不相邻问题用“插空法”即可求得结果. 【详解】先对除甲、乙之外的四个人全排种排法，再将甲、乙插空：,根据分步计数原理得：种排法， 故选：B 7. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. | 故选：C 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 的最大值为2 C. 的最大值为4 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式即可求解D. 【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 二、多选题 9. 圆M：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 圆M关于直线对称 C. 圆M的半径为2 D. 直线与圆M相切 【答案】BD 【解析】 【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切. 【详解】将圆M：化成标准方程：知圆心坐标为圆的半径为1. A项中，由点到圆心的距离：知点在圆外，A项错误； B项中，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆M关于直线对称，B项正确； C项中，显然错误，C项错误； D项中，由圆心到直线的距离为：知直线与圆M相切，D项正确. 故选：BD. 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为12 B. 椭圆的离心率为 C. 面积最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AD，根据离心率公式即可求解B，根据三角形的面积，结合椭圆的性质即可求解C. 【详解】对选项A：的周长为，A正确； 对选项B：，，故椭圆的离心率为，B错误； 对选项C：的面积最大使是短轴端点，所以，C正确； 对选项D：要使最大，只需最小， 根据椭圆性质知：当轴时，故，D正确； 故选：ACD. 11. 甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，每个运动队至少报1名同学，则（ ） A. 所有不同的报法种数有34种 B. 若甲必须报足球队，则所有不同的报法种数有12种 C. 若甲、乙都不报足球队，则所有不同的报法种数有14种 D. 若甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两种计数原理，结合分组分配法、间接法逐项判断即可. 【详解】对于A：将4人分成3组，再分配即可，故不同的报法种数有，A错； 对于B：若足球只有甲报，有种报法， 若足球有两人，有种报法，故共有，正确； 对于C：若足球队有2人报，有，若足球有1人报，有，故共有，正确； 对于C：若甲乙报同一队，则有，由A知总的报法又36种， 所以甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种，D正确， 故选：BCD 三、填空题 12. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现任选2名代表，则至少有一位女生当选的选法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】利用排除法求解即可. 【详解】10名学生任选2名代表的选法为， 其中全部来自男生的选法不符合题意， 故至少有一位女生当选的选法有， 故答案为：24 13. 的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理写出的展开式通项，结合乘积形式确定含项，即可得. 【详解】对于，展开式通项为，， 所以，， 所以含项为，系数为. 故答案为： 14. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设出公差，表达出，从而得到，得到，当时，，当时，，当时，，从而求出的最小值. 【详解】设数列的公差为， 则， ， 因为数列是等差数列，所以或，故或（舍去）， 解得， ， 当时，，当时，，当时，， 所以当或5时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知的展开式二项式系数和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）60 （2）. 【解析】 【分析】（1）由二项系数和确定n,再利用二项展开式的通项公式求解 （2）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解 【小问1详解】 由题意得：，解得 由通项公式， 令，可得：.则常数项为 【小问2详解】 是偶数，展开式共有7项，则第四项最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为. 16. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为， 所以. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 18. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程； （2）若直线与点的轨迹交于两点，求的最小值及取得最小值时的方程. 【答案】（1） （2）的最小值为，的方程为. 【解析】 【分析】（1）设出M和A点的坐标，由中点坐标公式得到两点坐标的关系，把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后整理得答案． （2）由直线系方程可得定点，当半径与直线垂直时弦长最短，求解即可. 【小问1详解】 设线段的中点为，点，有 由，有，， 得，，则有，化简得， 所以线段的中点的轨迹方程为. 【小问2详解】 直线， 化简得，由，解得， 直线过定点， 圆的圆心为，半径， ，点在圆内，直线与圆总相交， 最小时，直线垂直于过点为半径， ， ，，直线的方程为，即， 所以的最小值为，此时的方程为. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】（1）， （2）（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【小问1详解】 由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中2025～2026学年第一学期高二第二次月考 数 学 试 题 命题人、审题人：高二数学备课组 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 21 B. 23 C. 28 D. 30 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 在数列中，已知，，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 5. 已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 6名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为（ ） A. 240 B. 480 C. 960 D. 1920 7. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹是一条线段 B. 的最大值为2 C. 的最大值为4 D. 点到直线的距离的最大值为 二、多选题 9. 圆M：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 圆M关于直线对称 C. 圆M的半径为2 D. 直线与圆M相切 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为12 B. 椭圆的离心率为 C. 面积最大值为 D. 的最大值为 11. 甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，每个运动队至少报1名同学，则（ ） A. 所有不同的报法种数有34种 B. 若甲必须报足球队，则所有不同的报法种数有12种 C. 若甲、乙都不报足球队，则所有不同的报法种数有14种 D. 若甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种 三、填空题 12. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现任选2名代表，则至少有一位女生当选的选法有________种． 13. 的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 14. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为_______． 四、解答题 15. 已知的展开式二项式系数和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 16. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. （1）求的方程； （2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 18. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程； （2）若直线与点的轨迹交于两点，求的最小值及取得最小值时的方程. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $