山东省日照第一中学2026-2027学年高二上学期第一次调研测试数学试题

2025级高二上学期第一次调研测试 数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为 A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知向量，，且与互相垂直，则 A． B． C． D． 3．已知直线，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则 A． B． C． D．6 5．在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，，，，则的值为 A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为 A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为2，动点分别在面对角线和上，若大于零），则与所成的角 A．与都有关 B．与有关，与无关 C．与有关，与无关 D．与都无关 8．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于   A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有 A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B．在三棱锥中， C．若，则异面直线与所成角的余弦值为 D．若空间向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10．对于直线，下列选项正确的是 A．直线恒过点 B．当时，直线在轴上的截距为 C．坐标原点到直线的距离的最大值为 D．已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是 11．在空间中，,为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则 A． B． C．当时，平面 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 13．已知，，，若、、共面，则_____. 14．已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 16．（15分）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 17．（15分）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. (1)证明：平面平面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 19．（17分）如图，四边形是周长为6的矩形，四边形满足，且，现将四边形以直线为轴旋转，记二面角的大小为．点M在直线上，且平面． (1)求证：； (2)已知平面和平面垂直． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，证明：几何体的体积小于． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第一次调研测试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A B A D B ACD AC 题号 11 答案 ACD 8．B【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，   直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 11．ACD 【详解】设分别为在直线上的垂足，设方向的单位向量为， 并记，由题意，，且， 则， 因为，所以， 选项A，因为，所以，当且仅当时取等号，则选项A正确. 选项B，因为，所以不一定有，则选项B错误. 选项C，当时，必有，从而， 又，故； 即，直线是平面内两条相交直线， 所以平面，则选项C正确. 选项D ，设直线与的夹角为，因为， 所以，， 因为，， 所以， 则， 因为，所以，解得，则选项D正确. 12． 13． 14．12 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为， 利用正四面体的体积公式可得：， 将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连， 则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、 、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为）， 高就是球心到面的距离，也就是内切球半径， 因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为： ，则，化简可得， 记，，，，， 由对称性可知， 为定值， 所以要求的最大值，即求的最大值， 又因为的最大值为，故所求的最大值为， 正四面体的棱长为，则， 所以的最大值为12． 15．（1）由题意可知：，因为,,,所以 （2）由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 16．（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 17．(1)因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥，因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆，因为底面圆，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； （2）因为⊥底面圆，圆，所以⊥，⊥， 所以为二面角的平面角， 故，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故，， ， ，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则，   直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1)因为四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 所以，即，. 因为，平面，在平面外，所以平面. 因为，平面，在平面外， 所以平面. 又，所以由唯一确定一个平面，故平面即平面； 又，所以是两条相交直线，且平面， 所以平面平面，又平面，所以平面； (2)；由题意可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 所以， 因为平面平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则可得， 所以，所以平面与平面夹角为； (3)存在，点的坐标为，理由如下： 由（2）得，设， 则，又，所以， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 若直线与平面所成的角为，则，即， 整理得，解得，则. 所以在线段上存在一点使直线与平面所成的角为，点的坐标为. 19．(1)如图，因为平面，平面， 所以，因为四边形为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面.因为平面，所以． (2)（i）由，，知， 由（1）知，平面，则平面， 故在平面内过点D作的垂线，交直线于点G， 以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， ，， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以； 因为平面和平面垂直，所以， 即，整理可得， 因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为． （ii）由题意知，几何体的体积， 由，知， 因为，，，所以， ，所以， 又，所以几何体的体积小于． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $