山东临沂市临沭第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情检测数学试题

2026~2027学年度高二上学期阶段性学情调研 数学试题 2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知点A25,4,B5,小，直线4B的倾斜角为() A.30 B.60 C.120 D.150 2.设xyeR,向量à=(xl,),6=(L,y,),c=(2,4,2)且a16,611,则 a+i=() A.3B.2C.0 D.4 3.右图中的直线，，人的斜率分别是k,k,人，则有() A.<B.k<C.<k<k D.<k<k 4.空间向量ā=(2,0,2)在6=(0,1，)上的投影向量为() c.(0,1) D 5.《九章算术》中的“商功篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体 体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱 柱，如图，在堑堵ABC-AB,C,中，M是AC的中点，G是MB的 中点，若AG=xAB+yAA+xAC,则x+y+z=( 5-4 A.1B. c D.2 6.如图，二面角a-1-B的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在 这个二面角两个面内，并且都垂直于棱1，若二面角a-(-B的平面角 为号，且B=4,4AC=6,D=8,则CD的长度为 A.271 B.2√4T C.27 D.24 7.如图，已知正三棱柱ABC-ARG,AC=AM,E,F分别是棱BC,4C上的点.记EF与AM所 成的角为a,EF与平面ABC所成的角为B,二面角F-BC-A的平面角 为”，则() A.asBsy B.Bsasy C.Bsysa D.asysB 8.给定两个不共线的空间向量石与b,定义叉乘运算a×b,规定：①a×b为同时与ā，b 垂直的向量：②a,i,àxi三个向量构成右手系（如图1）：③a×b同5sin(a,6).如图 2,在长方体中ABCD-ABCD中，AB=AD=2,AM=4,则下列说法中错误的是 () A.ABx AD=AA B.ABx AD=ADx AB C.AB+ADxA4=ABx AA+ADx AA D. Vm-4GA=(AB×AD小CC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知空间向量ā=(1,2,1)，6=(3，-2,1)，c=(4,4,-1),则() A同=6 B.{a,id可以为空间的一组基底 C.aLB D.(a+b}=-l8 10.经过点P(0,)作直线1，且直线/与连接点A1,-2),B(2,1)的线段总有公共点，则 下列结论正确的是() A.直线/的倾斜角a的取值范围为 B.直线I的倾斜角（的取值范围为 H[ C.斜率k的取值范围为[-l, D.斜率k的取值范围为(-o,-1L,+∞) 第2页共4页 11。布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果 的正方体图案（如图1）把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所 示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则() A,C=D+2B+2 B.异面直线Q与机所成角正弦值为网 的 C.点P到直线c?的距离是回 D.M为线段CQ上的一个动点，则MEMC的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.经过A(0,4),B(m,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则m的值为 13.已知向量ā=（亿，-1,3）， 若向量ā、6的夹角为钝角，则实数k的取值 范围是 14.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长为1，且平面ABCD与 平面ABEF互相垂直，M,N分别在正方形对角线AC,BF上移动。 ①ACBF= ·(2分) ②线段MN怅度的最小值是.(3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知坐标平面内直线{经过A(2,-3)、B(m+2,m-5)两点， 直线经过C(-1,0)、D1,-2m)两点 ()若直线∥，求实数m的值 (2)若直线人⊥2，求实数m的值. 16.(15分)如图，已知在平行六面体ABCD-ABCD中， AB=4,AD=4,AA=5,∠DAB=0,∠DA4=∠BAA=60°， M,N分别是D,C,CB的中点， 若对角线AC的长度为√13时，求0的值 (2)求证：MN⊥AC. 第3页共4页 17.(15分)已知空间中三点A(-11,1),B(0,2,1),C(-21,3). T052S05 ()设=22，且11AB,求的坐标： (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标： (3)求△ABC的面积。 18.(17分)在长方体ABCD-ARGD中，AB=2,AM=3,AD=4,AE=3ED,2CF=FC. (I)求证：BD⊥面CEF: (2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值： (3)求三棱锥A-CEF的体积. 19.(17分)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为长方形， 侧面aSAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD (I)若E为棱SB的中点，P为棱AD的中点，求证：PE/I平面SCD D (②AB=l,异面直线SB,AD夹角的余弦为 ①求棱AD的长度： ②在棱s1上是香存在点M,使得平面PBM与平面S1D的夹角的余弦值为y30?若存在，指 10 出点M的位置并给以证明：若不存在，请说明理由 第4页共4页 2026~2027学年度高二上学期阶段性学情调研 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.B:2.A:3.D;4,C;5.B:6.C;7.A:8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.ACD:10.BC:11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-2:13. .(3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)因为直线L的斜率一定存在且直线（∥1，所以直线1的斜率也存在。…1分 =m-2,=-m,…3分 m 因为∥l2,所以k=k2,解得m=1或m=-2.… …5分 又因为kc=-1,且AB与CD不能重合，所以kc≠kD,即m≠I, 故m=-2…6分 (2)当m≠0时，飞k=m-2 .(-m)=-1,解得m=3: …9分 m 当m=0时，直线1斜率不存在，倾斜角为90°：而k=-m=0,倾斜角为0°， …12分 满足⊥，合题意，故m=0或m=3.… …13分 16.(15分) 解：(1)设AB=a,AD=i,A4=c,三个向量不共线，则{a,6,c构成空间的一个基底 ,且AC=AB+AD+AA=a+乃+C,…2分 AC=VAC=a+b+c)=+@+2-b+26.c+2-a =V16+16+25+2×4c0s0+2x4×5cos60°+2×4x5cos60°=V97+32cos0=V13, 第1页共4页 则cos0=),0E(0,,故0=刀 …7分 QMN-MG+CN-a-1BAC-a+b+c. 9分 22 a6-6c 1-2 )0+ac-1n1五c=x4+×4×5cos60°x4 -×4×5c0s60°=0 故MN⊥AC.…15分 17.(15分) 解：(1)已知得AB=(0,2,)-（-11,)=(l,0).…1分 因为∥AB所以可设=AB,…2分 所以-=AB=×V1+1+0=V2=22,解得1=±2 ,…4分 所以C=2AB=(22,0)或c=-2AB=(-2,-2,0) …5分 (2)设D(x,火2)因为ABCD是平行四边形，所以AB=DC,…7分 由A(-l,1),B(0,2,),C(-21,3,得AB=（1,0),DC=(-2-x,1-y,3-z -2-x=1x=-3 所以1-y=1→y=0,故D(-3,0,3) …10分 3-z=0z=3 (3)由题可得CA=(L,0,-2),CB=(2,l-2) 所以C=vP+0+(-2=5,C⑧=v2+P+(-2 =3,…12分 所u(CLC国 C4.CB。625 4@5x35 ,…13分 @cna国-wa画-9 …14分 所a1c猫s-n(@网-x5x3x …15分 5 18.(17分) 【解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-: 则D(0,0,0),44,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),F(022)E10,3).…2分 所以DB=(4,2,0),CE=0-2,3,CF=(0,0,2) 所以DB.C正=4-4+0=0，DB.CT=0+0+0=0, 所以DB⊥CE,DB⊥CF,即BD⊥CE,BD⊥CF.…4分 第2页共4页 又CEOCF=C,CE,CFc平面CEF,所以BD⊥平面CEF.…5分 (2)过点E作EG/CC,交AD于点G,则有4G=3GD,GD=1, 连接CG,则C,F,E,G四点共面，平面CEF即平面CFEG 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-:,则 D(0,0,0),A4,0,0)F0,2,2)E00,3)G60,0) EF=（-1,2,-1),A正=(-3,03)，所以A正.EF=0, 所以正EF 取EF的中点P, 则传引所以面（引 mF=+2-=0, 5 所以面⊥F 所以异面直线AE与GP所成的角等于平面AEF与平面CEF的夹角， 315 又os(EG乎)= 正G丽 m同5×四 5 所以平面AF与平面CEF的夹角的余弦值为厅 …11分 (3)由EF=(-1,2-1),A正=(-3,0,3)，得A正EF=0, 所以正⊥F 所以a4F的面积为与4EF=×35x5=36.…13分 由(2)知，平面4EF的一个法向量为=(L,1),AC=(-4,2,0) 点C到平面AEF的距离为 ac上-4+225 …16分 阿53 所以三棱锥C-F的体积r=x35x25-2, 3 所以三棱锥A-CF的体积为2，…17分 19.(17分)取SC的中点F,连接DF、EF,2分 :E、F分别为SB、SC的中点所以，BFBC且5F=BC. 2 因为四边形ABCD是矩形，所以，BC∥AD且BC=AD, P为棱AD的中点，则PD//BC.且PD=)BC,所以，EFPD且 2 EF =PD. 所以，四边形PDFE为平行四边形，.PEFD,…4分 第3页共4页 又：FDC平面SCD,PEZ平面SCD,PE∥平面SCD… …5分 (2)①假设在棱SA上存在点M满足题意，如图，连接SP、MP、MB, 在等边aSD中，P为AD的肿点，所以SP⊥AD, 又平面SMD⊥平面ABCD,平面SMDO平面ABCD=AD,SPC平面SAD, .SP⊥平面ABCD,则SP是四棱锥S-ABCD的高， 设AD=2m(m>0),则SP=V3m, 以点P为原点，PA、AB、PS的方向分别为X、y、2轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，…7分 则P0,0,0A(m,0,0B(m,m,0S0,0,V3mD(-m,0,0,…8分 S8=(m,m-3m,AD=(-2m,00）,…g分 则cos SB,AD= 2m25 解得m=1,则AD=2 V5m×2m5 …小1分 ②0知P0,0,0)A1,0,0)B1,0S0,0,v5 故PA=(0,0,PB=1,0),A瓜=(-1,0,5 设AW=1不=2,030≤2≤)，PM=PA+AM=-2,0,5 mPM=(0-)x+3z=0 设平面PMB的一个法向量为元=(x,y,z),则 4·PB=x+y=0 取x=V52,则y=31,z=-1,所以，片=31，-52，-小…13分 易知平面SMD的一个法拘量为n,=(0,1,0),…14分 n'm -3 5 v30 .cos,n= V32+32+(1-1 V722-21+110 解得入=二，合乎题意，…16分 所以，当点M为线段SA的三等分点且更靠近于点A时， 平面PBM与平面SMD的夹角的余弦植为V30 …小7分 10 第4页共4页