精品解析：山东省日照市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测（1月）数学试题

山东省日照市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测（1月）数学试题 2026.01 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、用0.5毫米的黑色墨水的签字笔填写在试卷和答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置； 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上相应的答题区域内.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请把本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照复数的运算法则求出，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，可得， 所以， 故选：A. 2. “”是直线与直线平行的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出参数，再检验，最后根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则，得或， 当时，，，此时两直线重合； 当时，，，此时两直线平行， 故的充要条件是， 故“”是直线与直线平行的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 4. 如图，在三棱锥中，点满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解. 【详解】， 所以，故． 故选：C. 5. 已知事件和相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为事件和相互独立，事件为和事件，则， 所以，解得； 故选：D 6. 设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆的圆心坐标，代入直线方程得到的关系，再利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由圆，得其圆心为， 因为直线经过圆的圆心，所以，即， 因为，， 所以， 即的最小值为. 故选：C 7. 已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用向量的线性运算，得，再利用空间向量数量积的运算及空间向量数量积的定义，即可求解. 【详解】设，则， ，所以. 故选：B. 8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率. 【详解】由题意可知：， 设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 则点到直线的距离， 可得， 又因为分别为的中点，则， 即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】应用赋值法可判断BCD，由二项式展开项的通项公式可求的值，判断A. 【详解】当时，．B错误． 当时，． 又，所以，C错误． 当时， ．D正确． 又, 当时，即，此时,展开式中的系数为 当时，即，此时，展开式中的系数为 ， ，A正确. 故选：AD 10. 在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ） A. 抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B. 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C. 若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D. 若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断. 【详解】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 则，，， 抽到男生且喜欢体育锻炼的概率为：，故A正确； 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为：，故B正确； 抽到的学生不喜欢体育锻炼的概率为： ， ； 抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为： ，故C错误； 抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为， ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于A，B两点（点在第一象限），是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 若，则直线的斜率为 D. 若在上，则的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用半圆和抛物线的公共点可求抛物线的方程，利用抛物线的定义可求的最小值，联立方程利用两点坐标间的关系结合韦达定理可求斜率，结合反例可判断D选项. 【详解】对于A，，，； 由可得，当时，； 由图可知，抛物线过点，代入方程可得，所以抛物线的方程为，A正确； 对于B，抛物线的焦点，准线方程为，过向准线作垂线，垂足为， 因为点在第一象限，所以，所以在上； 由抛物线定义可知，所以， 当且仅当重合于点时，取到最小值，B正确； 对于C，设，易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，，，则； 因为，所以，则，代入上式， 得，消去可得，C正确； 对于D，当重合时，，显然D不正确. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由渐近线可设双曲线方程为，根据双曲线过的点算出进而得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 则对应双曲线方程可设成：， 又双曲线过点，即， 即双曲线方程为：，标准方程为：. 故答案为： 13. 7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有___________种不同安排方式. 【答案】1200 【解析】 【分析】先应用排列数求出甲乙两人相邻的情况数，再求出其中甲丙相邻的情况数，应用间接法求甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻的情况数. 【详解】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列， 所以共有种情况， 其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列， 所以共有种情况， 所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共有种. 故答案为： 14. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍，则直线的斜率为___________；过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点，，则的周长是___________. 【答案】 ①. ②. 13 【解析】 【分析】由题设易得，,则直线的斜率为,做出简图，分析可得直线 的方程为，直线 垂直平分，所以的周长等于的周长，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的倍，故，即； 因为 ，即 ， 上顶点 ，焦点， 则直线的斜率为 ； 设直线的倾斜角为，所以，所以 ， 所以 , 又因为 ,所以 为等边三角形， 因为过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点， 所以是的垂直平分线， 所以 所以的周长等于的周长 ， 所以的周长为， 因为且，所以, 所以直线的方程为； 联立，得到 又因为，所以 设，所以 故 解得，故； 所以的周长为， 则的周长是13. 故答案为：， . 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤. 15. 已知点到两个定点的距离比为． （1）求点的轨迹方程； （2）若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出，表达出，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程. 【小问1详解】 设,则，，故，两边平方得： 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为， 综上：直线的方程为或. 16. 在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， . （1）求证： ； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明如下： （2） （3）存在，点F为中点 【解析】 【分析】(1)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可； (2)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (3)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置. 【小问1详解】 由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故， 底面，底面，故， 且，故平面， 平面， 【小问2详解】 由题意结合菱形的性质易知，，， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 设平面的一个法向量为, 则：， 据此可得平面的一个法向量为， 而， 设直线与平面所成角为， 则. 【小问3详解】 由题意可得：，假设满足题意的点存在， 设，， 据此可得：，即：, 从而点F的坐标为， 据此可得：,， 结合题意有：，解得：. 故点F为中点时满足题意. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17. 2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. （1）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （2）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 5 P 【解析】 【分析】（1）设第1次抽到优级品为事件，第2次抽到一级品为事件，求出，根据条件概率的计算公式，即可求得答案； （2）确定随机变量的取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【小问1详解】 设第1次抽到优级品为事件，第2次抽到一级品为事件， 则， 所以. 故在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率为. 【小问2详解】 根据题意可知的取值可能为2，3，4，5. 则， 则的分布列为 2 3 4 5 P 所以. 18. 已知，点是动点，直线AP与直线BP的斜率之积为， （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与交于M、N两点. ①求面积的最大值； ②直线分别与直线AM、AN交于点E、G，以EG为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②是，定点为和. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，整理即可得答案； （2）①设直线方程为，联立曲线方程，可得根与系数的关系式，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积的表达式，结合函数的单调性即可求得面积的最大值；②表示出直线AM的方程可求出，结合直线AN的方程可求出，即可求出，假设以EG为直径的圆过轴上的定点，则可得，求出，即可得结论，求得定点坐标. 【小问1详解】 设，则，且 所以，整理可得， 即点的轨迹方程. 【小问2详解】 如下图所示：设直线方程为， 设， 联立可得可得， 则，所以. ①弦长， 点到直线的距离， 则， 令，函数在上单调递增，则， 即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，面积有最大值； ②直线AM的方程为，令，可得，即； 直线AN的方程为，令，可得，即； 所以 . 假设以EG为直径的圆过轴上的定点，则， 即，即可得，解得， 所以定点为和. 19. 为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小宇参与了基于特制教具的概率游戏.该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”）出现概率更高的特制骰子，其余五个数字出现的概率相同.记“重点点数”的概率为常数，点数1、2、3为小点数.点数4、5、6为大点数. （1）游戏一：两人将点数6设置为“重点点数”，每局游戏中拋掷一次骰子，如果出现大点数则小明得1分，否则小宇得1分.3局游戏结束后，记小明的得分为变量，若，求的分布列与期望； （2）游戏二：每局游戏中，由小明设置“重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 【答案】（1）分布列为： 0 1 2 3 期望为2； （2）证明：假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则， 则小明获胜的概率 所以无论设置哪个“重点点数”，小明获胜的概率均为定值. 又，，则，即小明获胜的概率大于， 所以小明获胜的概率大于小宇获胜的概率. 【解析】 【分析】（1）记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中，根据已知求出小明、小宇得1分的概率，由的取值有0，1，2，3并求出对应概率，写出分布列并求出期望； （2）假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，求出对应概率，进而得到的值，假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件，求出对应概率，进而得到的值，即可得结论. 【小问1详解】 记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中， 则， 则小明得1分的概率为，小宇得1分的概率为， 的取值有0，1，2，3， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省日照市第一中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测（1月）数学试题 2026.01 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、用0.5毫米的黑色墨水的签字笔填写在试卷和答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置； 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上相应的答题区域内.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请把本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是直线与直线平行的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知事件和相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 7. 已知在三棱柱中,，，，，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ） A. 抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B. 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C. 若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D. 若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于A，B两点（点在第一象限），是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 若，则直线的斜率为 D. 若在上，则的最小值为4 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是___________. 13. 7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有___________种不同安排方式. 14. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍，则直线的斜率为___________；过点且垂直于的直线与椭圆交于D，E两点，，则的周长是___________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算骤. 15. 已知点到两个定点的距离比为． （1）求点的轨迹方程； （2）若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程． 16. 在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， . （1）求证： ； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 17. 2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. （1）若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； （2）对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 18. 已知，点是动点，直线AP与直线BP的斜率之积为， （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与交于M、N两点. ①求面积的最大值； ②直线分别与直线AM、AN交于点E、G，以EG为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 19. 为弘扬科学精神，普及概率知识，学校开展“趣味数学挑战赛”活动，小明和小宇参与了基于特制教具的概率游戏.该教具是一款可设置某一数字（下称“重点点数”）出现概率更高的特制骰子，其余五个数字出现的概率相同.记“重点点数”的概率为常数，点数1、2、3为小点数.点数4、5、6为大点数. （1）游戏一：两人将点数6设置为“重点点数”，每局游戏中拋掷一次骰子，如果出现大点数则小明得1分，否则小宇得1分.3局游戏结束后，记小明的得分为变量，若，求的分布列与期望； （2）游戏二：每局游戏中，由小明设置“重点点数”，随后抛掷两次骰子，如果两次均出现大点数或均出现小点数则小明胜，否则小宇胜.试证明：无论设置哪个点数为“重点点数”，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $