天津市双菱中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年度上学期双菱中学九年级数学学科第一次阶段检测 一.选择题（共12小题) 1.D2.B3.C4.A5.B6.B7.C8.A9.D10.C11.C12.B 二.填空题（共6小题） 13.二次函数y=-(x-2)2-3的顶点坐标是(2，-3)· 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y=-(x-2)?-3, 所以抛物线的顶点坐标为（2，-3). 故答案为：（2，-3). 14.在平面直角坐标系中，点A（a,1)与点B(-2,b)关于原点成中心对称，则a-2b的值是4一· 【解答】解：由条件可知a=2,b=-1, ∴.a-2b=2-2×(-1)=4, 故答案为：4. 15.已知关于x的一元二次方程(-2)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则的取值范围为m≤6且m圭 2. 【解答】解：由一元二次方程的定义可知-2≠0，即≠2， 方程有两个不相等的实数根， .△>0， 即△=(-4)2-4(m-2)1=16-4(-2)=16-4+8=24-4>0, 整理得4m<24, 解得m<6, 又，≠2， .∴.<6且≠2. 故答案为：<6且≠2. 16.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是=60-.在飞机着陆滑 行中，滑行的最大距离是600. 【解答】解：y=60t-登=-多1-20)2+60， .t=20时，y取最大值600， 即在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是600， 故答案为：600. 17.如图，∠ABC=135°，AB+BC=8,将AC绕点A逆时针旋转90°得到AD.连接BD,则BD的最小值为 8v6 3 D C 【解答】解：过A作AE LAB,使AE=AB,连接CE、BE D A B C .∠ABE=∠AEB=45°， .∠ABC=135°， ∴.∠CBE=∠ABC-∠ABE=90°： 又AB+BC=8, 设AB=m,则BC=8-m. 由旋转性质，得AD=AC,∠DAC=90°， ∴.∠BAD=∠CAE=90°-∠BAC, 又AE=AB, ..△DAB≌△CAE(SAS), ∴.BD=CE 在Rt△BAE中，BE=VAB2+AEZ=V2AB=V√2m, 在Rt△CBE中，由勾股定理得， CE2=BC2+BE2, 代入BC=8-I、BE=V2m, 化简得：cB=8-m2+2=3m2-16m+64-30m-号》+1器 3>0, 抛物线开口向上， 故当m-别，C心取较小放C5发要85，即8D 128 8√6 3 V6 故答案为：3 18.如图，己知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0，-2)和 (0,-1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1.下列结论：①abc>0;②4叶2b+c>0:③4ac-b2<- 4a,④}<a<1,⑤b>.其中正确结论有①®⑤_（填与所有正确结论的序号）. y B x=1 【解答】解：①函数开口方向向上， .a>0: ,对称轴在y轴右侧 b异号， ,抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴.c<0, ∴.abc>0, 故①正确； ②，图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1, .图象与x轴的另一个交点为(3,0)， .当x=2时，y<0, ∴.4t2bc<0, 故②错误： ③二次函数y=+bx+c的图象与y轴的交点在(0，-1)的下方，对称轴在y轴右侧，a>0, ∴最小值： 4ac-b2 <-1, 4a ,a>0, ∴.4ac-b2<-4a: ③正确： ④图象与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-1)之间， .-2<c<-1 .-2<-3a<-1, 故④错误 ⑤，a>0, .b-c>0,即b>c: 故⑤正确， 综上所述，正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤， 三.解答题（共7小题） 19.解方程： (1)x2-4x-2=0: (2)3x(x+1)=2(x+1). 【解答】解：(1)x2-4x-2=0: x2-4x=2, x2-4x+4=2+4, (x-2)2=6, x-2=±V6, x=V6+2或x=-V6+2. （2)3x(x+1)=2(x+1), 3x(x+1)-2(x+1)=0, (x+1)(3x-2)=0. x+1=0或3x-2=0, =1或x-系 20.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上 留一个2宽的门（建在EF处，另用其他材料）. (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402的羊圈？ （2)羊圈的面积能达到650吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. A F 【解答】解：(1)设矩形ABCD的边AB=x,则边BC=70-2x+2=（72-2x)L. 根据题意列一元二次方程得，x(72-2x)=640. 解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40: 当x=20时，72-2x=72-40=32. 答：当羊圈的长为40m,宽为16或长为32，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈； (2)不能，理由如下： 由题意列一元二次方程得，x（72-2x)=650. 整理得，x2-36r+325=0. .△=(-36)2-4X325=-4<0, .一元二次方程没有实数根。 .羊圈的面积不能达到650m2. 21.在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. -1 0 3 4 y -1 -4 -4 n n （1)根据表格，m=-1一，对称轴是直线x=1一： (2)二次函数y=x2-2x-4: (3)若-1<x<5,则y的取值范围是-5≤y≤11一； (4)若y≥4，则x的取值范围是x≥4或x≤-2· 22.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数y=-2的图象与x轴交于点A(-1,0),与反比例 函数y=的图象交于点B(-2,a),射线B0与反比例函数的图象交于点C,连接AC. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)根据图象，直接写出不等式>x-2>0的解集： (3)求△ABC的面积， 【解答】解：(1)，一次函数y=-2的图象与x轴交于点A(-1,0), ∴0=-k-2, 解得：k=-2, .该一次函数的表达式为：y=-2x-2, ·.一次函数y=-2x-2的图象与反比例函数y=的图象交于点B(-2,a), 二2X(-刃-2 解得： Sa=2 m=-4 “该反比例函数的表达式为：y=一是点B的坐标为(~2,2)， ·一次函数的表达式为=2x~2,反比例函数的表达式为y=一急 (2),点B的坐标为(-2,2)，点A的坐标为(-1,0)， “根据函数的图象得：不等式”>kx-2>0的解集为：-2<x<-1: (3)过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F,如图所示： OF EA 点A的坐标(-1,0)，点B的坐标为(-2,2)， ∴.OA=1,BE=2, ∴S0AB-7x0A×BB-2×1×2=1, 设直线OB的表达式为：y=, .-2t=2, 解得：t=-1, .直线OB的表示为：y=-x, 解方程组： C相：222 .点C的坐标为（2，-2)， ∴.CF=2 ∴5oac-2×0MXCF=2×1×2=l, .S△ABC=SAOAB+S△OAC=2, 即△ABC的面积为2. 23.综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿 青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合， 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60c,起跳点与落 地点的距离为160cu. 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿青蛙机器人在 水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直 的直线为y轴，建立平面直角坐标系， y/cm本 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 Q x/cm 图1 图2 (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式： 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变， (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴 的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3c,才 能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°，AB= 57c,BC=40c,CD=48c.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若 团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的 高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）. 【解答】解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， .顶点坐标为(80,60)， 设抛物线的函数解析式为：y=a(x-80)2+60, 图象过原点， .a(0-80)2+60=0, 解得a=-320 3 ∴y=-3200x-80)2+60: (2),抛物线的形状不变，点(0,75)， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的， 3 新的抛物线的解析式为：y=-320x-80)2+60+75=-320(-80)2+135, 3 当y=0时，-320x-80)2+135=0, 解得：x1=200,x2=-40(舍去)， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200c: （3)设该平台的高度为m,由题意，设新的函数解析式为：y-品x-802+60+k, ,'AB=57c,BC=40cm,CD=48cl,仿青蛙机器人从距离AB左侧80Cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点(80+40,48+3)，即：(120,51)， ∴把(120,51)代入y=-330c-80)2+60+k,得：51=-320120-802+60+k, 解得：k=6: 故设该平台的高度为6c. 24.在平面直角坐标系中，O为原点，直角△OAB的顶点A(0,2V3),点B在x轴的正半轴，∠ABO=30°，等腰 直角△OCD,OC=OD,点C在y轴的负半轴，点D在x轴的正半轴，CD=OB, (I)填空：如图①，点B的坐标为(6,0)一，点C的坐标为(0，--3V2)一； (Ⅱ)将等腰直角△OCD绕点O逆时针旋转，得到△OCD',点C,D的对应点分别为C,D',记旋转 角为a. ①如图②，当点D'在边AB上时，求旋转角的大小和BD'的长： ②连接AC',点Q为AC'的中点，点P为AB的中点，连接PQ,求PQ的取值范围（直接写出结果即可）. y y A D DBc "x 图① 图② 【解答】解：(I),点A(0,2V③， ∴.0A=25. ∠ABO=30°， ∴.AB=20A=4V3, 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OB=VAB2-OAZ=6, ,点B在x轴的正半轴， ∴.B(6,0) ,等腰直角△OCD中，∠COD=90°，OC=OD,CD=OB=6, 0c=00=号cD=3N2, 点C在y轴的负半轴， .C0,-3V2) 故答案为：(6,0)，(0，-3V2): (IⅡ)①如图②，过点D'作D'E⊥OB于点E,作线段OD'的垂直平分线交OD'于点G,交OB于点F, 连接D'F. y外 A G D 图② 设D'E=a, 由(1)知，0D'=0D=3V2, 在直角三角形OD'E中，由勾股定理得：OE=√ 0D2-DE2=V18-a2, ∠ABO=30°， ∴.BD'=2D'E=2a. 在直角三角形BD'E中，由勾股定理得：BE= BD 2-DE2 =V3a, .'OB=OE+BE=6, .V18-a2+V3a=6, 化简，得：2a2-6V3a+9=0, 解得：a=3+3(不合题意，合去)或a=3V33, 2 2— ∴D在-353，BD'-2a=35-3,0B-V18-Q-3+ 2 .OF=D'F, ∴.∠OD'F=∠D'OF, ∴.∠D'FE=2∠D'OE=2Q, 设D'F=b, 则0r=b,BF=-33+3-b, 2 在直角三角形D'EF中，由勾股定理得：EF2+D'E=D'F2, (2-b2+(253y=, 2 解得：b=3-6 2 ∴sinD6-8-2 1 .∠D'FE=30°， .a=15°； ②P0的取值花周为3-3号sP0≤3+39 2· 理由如下： 连接BC'， 则OB-OC'≤BC'≤OB+OC', .0B=6,0C=0C=3V2, 如图③，图④， y y D Q C'B D B 图④ 图④ .6-3V2≤BC'≤6+3V2, ,点Q为AC的中点，点P为AB的中点， ∴PQ=3BC 0的取值花目为3-婴≤PQ≤3+号 2 25.如图，已知抛物线y=2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连接AC,过B、C两 点作直线 (1)求a的值. (2)将直线BC向下平移m(>0)个单位长度，交抛物线于B'、C'两点，在直线B'C'上方的抛物线上 是否存在定点D,无论m取何值时，都是点D到直线B'C'的距离最大.若存在，请求出点D的坐标；若不 存在，请说明理由。 (3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析式：若不存在，请说明 理由. y B B B 【解答】解：(1)抛物线y=m2-2+3与x轴交于点A(-1,0), .∴.a+2+3=0, a=-1. (2)存在定点D,无论m取何值时，都是点D到直线B'C'的距离最大 y=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3, .C（0,3), 当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得：x1=-1,x2=3, B(3,0), 设直线C的解折式为)一么，奥=0， 解得：化3 ∴.直线BC的解析式为y=-x+3, ,将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度，交抛物线于B′、C'两点， ∴.直线BC的解析式为y=-x+3-, 设D(t,-P+2+3), 过点D作DE∥y轴，交B'C于点E,作DF⊥B'C于点F,设直线B'C'交y轴于点G,如图， y ∴.E(t,-t什3-m), ∴.DE=-tP+2t+3-（-t什3-m)=-+3什l, ,OB=OC=3,∠BOC=90°， ∴.∠BCO=∠CBO=45°， ,B'C'∥BC, ∴.∠B'G0=∠BC0=45°， DE∥y轴， .∠DEF=∠B'G0=45°， ,∠DFE=90°， ∴，△DEF是等腰直角三角形， Dr-Dg-竖(-43m)-号是+号号+m> 2 2 4 当1多对、D取得是大号+>.时点D的坐标为号子 24 （3)存在 当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M(O,1),连接BM交抛物线于点P,如图， y M B A（-1,0),B(3,0),C(0,3),M(0,1), ∴.OB=OC=3,OM=OA=1,∠BOM=∠COA=90°， ∴.△BOM≌△COA(SAS), ∴.∠MBO=∠ACO, ∠CB0=45°， ∴.∠CBP+∠MBO=45°， ∴.∠CBP+∠ACO=45°， 设直线BM的解析式为y=Kx+b,则3k十b'=0, b'=1 解得： b=1 直线BM的解析式为y=-+1, 联立，得 y=-: x+1 y=-x2+2x+3 x1=3 61=0含去)， X2=- 解得： 当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M,如图，连接MM,CM,直线BM交抛物 线于P, 5 4 3 24 M -2 1 3 由对称得：MMM⊥BC,CM=CM=2,∠BCM'=∠BCM=45°， ∴.∠MCM=90°， .M（2,3), 则直线BM的解析式为y=-3x+9, 联立，得： y=-3x+9 y=-x2+2x+3' 解得： -8(台去. x2=2 y2=31 ∴.P(2,3)； 综上所述，抛物线上存在点卫，使∠PBC+∠A4C0=45°，直线BP的解析式为y-+1或y=-3x+9. 2026-2027学年度上学期双菱中学九年级数学学科第一次阶段检测 一．选择题（共12小题，每题3分） 1．数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．将方程2（x+1）2＝7x+5化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．2，3 B．2，﹣3 C．2，7 D．2，﹣7 3．对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 4．若关于x的一元二次方程（a+4）x2+4x+a2﹣16＝0的一个根是x＝0，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D． 5．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 6．已知反比例函数，下列结论错误的是（　　） A．其图象经过点（﹣3，﹣2） B．y随x的增大而减小 C．其图象位于第一、第三象限 D．当x＞2时，0＜y＜3 7．二次函数y＝x2﹣2x+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程x2﹣2x+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 8．如图，矩形草坪的长和宽分别为30m，20m，若将该草坪的长和宽各增加xm，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是二次函数y＝2mx2+8mx+n（m＜0）图象上的点，则（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3 10．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A． B． C．3 D．4 11．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（　　） A．2 B． C．1 D．1 12．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，每题3分） 13．二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是___________ ． 14．在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a﹣2b的值是_____ ． 15．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为____________ ． 16．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是 ________ m． 17．如图，∠ABC＝135°，AB+BC＝8，将AC绕点A逆时针旋转90°得到AD．连接BD，则BD的最小值为____________________ ． 18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④；⑤b＞c．其中正确结论有 ________ （填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（共7小题） 19．（8分）解方程： （1）x2﹣4x﹣2＝0； （2）3x（x+1）＝2（x+1）． 20．（8分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．（10分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c． x … ﹣1 0 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣4 ﹣4 m n … （1）根据表格，m＝_______ ，对称轴是直线________ ； （2）求二次函数的解析式； （3）若﹣1＜x＜5，则y的取值范围是____________ ； （4）若y≥4，则x的取值范围是_____________ ． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数y＝kx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与反比例函数的图象交于点B（﹣2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求△ABC的面积． 23．（10分）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，直角△OAB的顶点，点B在x轴的正半轴，∠ABO＝30°，等腰直角△OCD，OC＝OD，点C在y轴的负半轴，点D在x轴的正半轴，CD＝OB． （Ⅰ）填空：如图①，点B的坐标为__________ ，点C的坐标为____________________ ； （Ⅱ）将等腰直角△OCD绕点O逆时针旋转，得到△OC′D′，点C，D的对应点分别为C′，D′，记旋转角为α． ①如图②，当点D′在边AB上时，求旋转角α的大小和BD′的长； ②连接AC′，点Q为AC′的中点，点P为AB的中点，连接PQ，求PQ的取值范围（直接写出结果即可）． 25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线． （1）求a的值． （2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $