3.4函数的应用（一）（分层作业，7大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 3.4 函数的应用（一） 目 录 题型01 二次函数模型 题型02 分式型函数模型的应用 题型03 对勾函数模型的应用 题型04 几何图形中的函数模型 题型05 利用给定函数模型解决实际问题 题型06 图象信息综合应用 题型07 分段函数模型的应用 二次函数模型题型01 1．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 2．（25-26高一上·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 4．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 5．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为______%. 6．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为______元. 7．（25-26高一上·浙江·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 8．（24-25高一上·河北·月考）某厂2025年年初用700万元购买一台设备，并立即投入生产使用．已知该设备在使用过程中的各项支出费用总和（万元）与使用时间（，，单位：年）满足．该设备使用后，每年的生产总收入为200万元．设使用年后该设备的盈利额为万元．（盈利额生产总收入购买成本及所有使用支出费用） (1)写出与之间的函数关系式； (2)从哪一年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）？ (3)该设备在使用过程中，已知年平均折旧率为3%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．当盈利额达到最大值时，将该设备卖出，此时该厂利用该设备获得的总利润为多少？（利用该设备获得的总利润该设备的盈利额使用后设备剩余价值） （参考数据：，，，） 分式型函数模型的应用题型02 1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 2．为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则第三次稀释后桶中的药液所占百分比的最大值为（    ） A．55% B．50% C．45% D．40% 3．（25-26高一上·河南洛阳·月考）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 对勾函数模型的应用题型03 1．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 2．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 3．某物流公司购买了一批自动分拣机器人投入运营.据分析，这批机器人运营的总利润（单位：万元）与运营年数为二次函数关系，其部分对应关系如下表所示： 运营年数 1 5 7 总利润 10 10 则这批机器人运营年数为__________时，其运营的年平均利润最大. 4．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求y的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值． 5．高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度x（）的平方成正比（其中比例系数为），固定部分每小时运输成本为10125元． (1)写出全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式，并指出函数的定义域； (2)当高铁列车时速大约为多少（）时，全程运输成本（元）最小． 6．某科技公司有100名研发人员，平均每人每年创造利润100万元.为了进一步提高经济效益，调整名研发人员的岗位，改为从事技术指导工作，则剩余的研发人员平均每人每年创造的利润可提高25%，而从事技术指导工作的人员平均每人每年创造的利润为万元. (1)若要使这100人每年创造的总利润比原来至少增加2000万元，求x的取值范围； (2)求这100人每年创造的总利润的最大值. 7．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 几何图形中的函数模型题型04 1．如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（    ）    A． B．， C． D．， 2．如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是___________. 4．以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？ 5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 7．如图1，腰长为的等腰直角与矩形DEFG夹在两条平行直线之间，其中B点与D点重合．若矩形DEFG位置固定不动，而以的速度向右平行移动，移动过程中两图形重叠部分的面积记为，函数的部分图象如图2所示，其中的函数图像被遮住，由虚线代替．    (1)求函数的解析式； (2)求重叠部分的面积不小于的持续时间． 8．（24-25高一上·江苏·期中）如图，已知中，，点从点沿线段运动到点，过作的垂线，与折线交于点，记直线右侧阴影部分的多边形为.设，的面积为，的周长为.    (1)和的解析式； (2)记，求的最大值. 利用给定函数模型解决实际问题题型05 1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 2．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（    ） A．实数m的值为10000 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多 C．当x的值为30时利润最大 D．利润最大值为10000 3．某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－ (1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用) (2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略 图象信息综合应用题型06 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 3．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是_____分钟． 4．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图所示．则： （1）月通话为分钟时，应交话费多少元； （2）求与之间的函数关系式． 5．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 6．为了响应国家“土地流转”政策，某公司在城郊租赁了大量土地作为蔬菜种植基地，种植的蔬菜销往城内各大超市和农贸市场．今年冬季的某一天（记为第1天）有一批绿色有机大白菜开始陆续上市．据预测，大白菜上市的第1天至第60天内，每天的产量x（单位：kg）（注：每天的产量即为每天的销售量）近似地满足图1所示的两条线段对应的函数关系；每天的销售价格y（单位：元/kg）近似地满足图2（其中前一段为线段，后一段为函数）所示的函数关系． (1)求这60天内每天的产量x，每天的销售价格y与第t天的函数关系； (2)从开始销售起第几天的销售收入w（单位：元）最大?最大的销售收入是多少元? 分段函数模型的应用题型07 1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 2．（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3．某市出租车收费标准：路程不超过千米，收费为元；路程超过千米但不超过千米的部分，每千米车费为元；路程超过千米的部分，每千米车费为元，若该乘客所付车费为元，求出租车行驶的路程是（    ）千米. A． B． C． D． 4．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出 50分钟的部分按0.2元/分钟收费.已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为130分钟，则该用户应缴的话费为________元. 5．（25-26高三上·海南·月考）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 6．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 设某户居民的月用水量为，应交纳水费（元）． (1)求关于的函数解析式； (2)若该居民上月交纳水费99元，求此居民上月用水量． 7．（24-25高一上·四川·月考）为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发皇家山旅游康养中心游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元． (1)求年该项目的利润（万元）关于游客人数 （万人）的函数关系式;（利润＝收入－成本）； (2)当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 8．（24-25高一上·江苏·月考）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E(单位：)与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累计经验值； (2)该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为. ①若，当游玩时间在5小时以内（含5小时），求“玩家愉悦指数”的最小值. ②若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.4 函数的应用（一） 目 录 题型01 二次函数模型 题型02 分式型函数模型的应用 题型03 对勾函数模型的应用 题型04 几何图形中的函数模型 题型05 利用给定函数模型解决实际问题 题型06 图象信息综合应用 题型07 分段函数模型的应用 二次函数模型题型01 1．薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.    在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（    ） A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min 【答案】C 【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得. 【详解】由图2知，解得，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选：C. 2．（25-26高一上·北京·期中）若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（   ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【答案】A 【分析】设销售定价为元，根据题意求出销售量，月利润的表达式，利用二次函数即可求出. 【详解】设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】根据题意可得，整理得， 解得，又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为. 故选：D. 4．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】依据题意列出不等式即可解得V的最小值. 【详解】由，解得 则V的最小值为10. 故选：B 5．端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为______%. 【答案】25 【分析】利用平均增长率的公式建立方程，通过解方程求出增长率. 【详解】设第二、三天销售量的平均增长率为, 则, 得, 得(舍去负根), 得. 故答案为:25 6．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为______元. 【答案】162 【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋， 所以可获得的利润， ，当或7时，利润最大，最大利润为162元. 故答案为：162. 7．（25-26高一上·浙江·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得与之间的函数关系式； （2）由（1）解二次不等式可得答案. 【详解】（1）依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. （2）由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 8．（24-25高一上·河北·月考）某厂2025年年初用700万元购买一台设备，并立即投入生产使用．已知该设备在使用过程中的各项支出费用总和（万元）与使用时间（，，单位：年）满足．该设备使用后，每年的生产总收入为200万元．设使用年后该设备的盈利额为万元．（盈利额生产总收入购买成本及所有使用支出费用） (1)写出与之间的函数关系式； (2)从哪一年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）？ (3)该设备在使用过程中，已知年平均折旧率为3%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．当盈利额达到最大值时，将该设备卖出，此时该厂利用该设备获得的总利润为多少？（利用该设备获得的总利润该设备的盈利额使用后设备剩余价值） （参考数据：，，，） 【答案】(1)，， (2)6 (3) 【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到与之间的函数关系式； （2）令，解一元二次不等式即可； （3）利用二次函数求最值， 【详解】（1）由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为， 且该机床每年的生产总收入为200万元， 设使用年后数控机床的盈利额为万元， 可得与之间的函数关系式，； （2）由（1）知：，， 令，可得，解得， 因为，所以且，故从第6年开始盈利. （3）由（1）知，， 对称轴为：， 所以当时，营利额达到最大值为312万元， 使用11年后机床剩余价值为：（万元）， 所以总获利为（万元）； 分式型函数模型的应用题型02 1．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 2．为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则第三次稀释后桶中的药液所占百分比的最大值为（    ） A．55% B．50% C．45% D．40% 【答案】C 【分析】根据题意表达出第二次稀释后桶中药液含量，列出不等式，求出体积的范围，再表达出第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过，根据体积的取值范围，求出最值. 【详解】第二次倒出后桶中剩余农药升，则，即，解得：，又，∴. 第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过， ∵， ∴， 故选：C. 3．（25-26高一上·河南洛阳·月考）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【分析】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【详解】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 对勾函数模型的应用题型03 1．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论. 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 2．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【分析】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【详解】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B 3．某物流公司购买了一批自动分拣机器人投入运营.据分析，这批机器人运营的总利润（单位：万元）与运营年数为二次函数关系，其部分对应关系如下表所示： 运营年数 1 5 7 总利润 10 10 则这批机器人运营年数为__________时，其运营的年平均利润最大. 【答案】5 【分析】由表格中的数据求得二次函数解析式，再应用基本不等式求得年平均利润取得最大值时x的取值，即可得结果. 【详解】由表格知，函数过点，，， 设， 则 解得： ∴ ， ∴年平均利润为 ， 即：当且仅当时，取得最大值2. 故答案为：5. 4．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，设y为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求y的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用y达到最小，并求最小值． 【答案】(1)； (2)当隔热层厚度为时总费用最小万元. 【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出y的解析式； （2）利用基本不等式得出y的最小值及对应的x的值. 【详解】（1）设隔热层建造厚度为cm，则 ， （2）， 当，即时取等号， 所以当隔热层厚度为时总费用最小万元. 5．高铁体现了中国装备制造业的水平，是一张亮丽的名片．已知甲、乙两个城市相距，假设高铁列车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过．高铁列车每小时运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分每小时运输成本与速度x（）的平方成正比（其中比例系数为），固定部分每小时运输成本为10125元． (1)写出全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式，并指出函数的定义域； (2)当高铁列车时速大约为多少（）时，全程运输成本（元）最小． 【答案】(1)，函数的定义域； (2)225 【分析】（1）由题意得到高铁行驶的时间和每小时的运输成本即可得到结果； （2）根据（1）的结果，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：由题意得：高铁行驶的时间为小时，每小时的运输成本为 元， 所以全程运输成本y（元）关于速度x（）的函数表达式为： ，函数的定义域； （2）， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以当高铁列车时速大约225（）时，全程运输成本（元）最小. 6．某科技公司有100名研发人员，平均每人每年创造利润100万元.为了进一步提高经济效益，调整名研发人员的岗位，改为从事技术指导工作，则剩余的研发人员平均每人每年创造的利润可提高25%，而从事技术指导工作的人员平均每人每年创造的利润为万元. (1)若要使这100人每年创造的总利润比原来至少增加2000万元，求x的取值范围； (2)求这100人每年创造的总利润的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为12100万元 【分析】（1）由题意可得，解不等式可求出x的取值范围， （2）设这100人每年创造的总利润为y万元，则，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】（1）由题意得， 整理可得，解得4≤x≤16. 所以x的取值范围是. （2）设这100人每年创造的总利润为y万元， 则， 因为，当且仅当x=8时，取等号， 所以， 即这100人每年创造的总利润的最大值为12100万元. 7．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 几何图形中的函数模型题型04 1．如图，把直截面半径为的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为（单位：），面积为（单位：），则把表示为的函数的解析式为（    ）    A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】根据题意建立函数关系即可. 【详解】如图，    圆的直径，矩形的边. ∵， ∴由勾股定理，得， ∴矩形的面积， 又∵， ∴. 故选：B. 2．如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案. 【详解】当时，，是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D； 当时，，为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC； 当时，，是开口向下的抛物线的一部分； 故选：A 3．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】长为，宽为时，面积最大. 【分析】设长方形场地的宽为，则长为，表示出面积，配方可求得最值. 【详解】设长方形场地的宽为，则长为， 它的面积， 当宽时，这块长方形场地的面积最大， 这时，最大面积为. 答：这块场地的长为，宽为时，面积最大，最大为. 5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）为了更好地美化校园，某校计划修建一个如图所示的总面积为120平方米的花园.图中阴影部分是宽度为1米的小路，中间三个矩形区域将种植鲜花.图中区域的形状､大小完全相同.设矩形花园的一条边长为米，鲜花种植的总面积为平方米. (1)用含有的代数式表示，并求出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大，并求出最大面积. 【答案】(1)，； (2)，最大面积为. 【分析】 （1） 设矩形花园的长为米，结合，进而求得关于的关系式； （2） 由（1）知，，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为米,根据题意可得，所以，，又，所以， 又阴影部分是宽度为1米的小路，可得，所以，； （2）由（1）知，，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 7．如图1，腰长为的等腰直角与矩形DEFG夹在两条平行直线之间，其中B点与D点重合．若矩形DEFG位置固定不动，而以的速度向右平行移动，移动过程中两图形重叠部分的面积记为，函数的部分图象如图2所示，其中的函数图像被遮住，由虚线代替．    (1)求函数的解析式； (2)求重叠部分的面积不小于的持续时间． 【答案】(1) (2)3秒 【分析】（1）根据题意，求得，结合图象，分段求解，即求得函数的解析式； （2）由（1）中，函数的解析式，结合，分段求解，即可得到答案. 【详解】（1）解：依题意得，DE的长应为B与D重合至B与E重合时运动路程， 故． 当，； 当，； 当，； 当，， 所以. （2）解：若，结合函数的解析式，只需考虑， 当时，由，解得； 当时，由成立； 当时，由，解得， 所以重叠部分的面积不小于的时间区间为，持续时间为3秒. 8．（24-25高一上·江苏·期中）如图，已知中，，点从点沿线段运动到点，过作的垂线，与折线交于点，记直线右侧阴影部分的多边形为.设，的面积为，的周长为.    (1)和的解析式； (2)记，求的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长； （2）求出，分，两种情况，求出每种情况下的最大值，看谁更大即可. 【详解】（1）作的高， 由，，则， ，      当，即时，， 则， ，    当，即时， ，则， 则， ， ， （2）当时，， 当且仅当，即时等号成立； 即此时的最大值． 当时，， 当且仅当时等号成立； 故最大值为. 【点睛】关键点点睛：分，两种情况讨论，分别求出阴影部分的面积和周长，再利用基本不等式和函数的性质求的最大值. 利用给定函数模型解决实际问题题型05 1．（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 2．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（    ） A．实数m的值为10000 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多 C．当x的值为30时利润最大 D．利润最大值为10000 【答案】D 【分析】根据购买人数y与单价x的关系式是单调递减判断B，将，代入求得m，判断A，写出利润的函数关系式求最大值可判断CD. 【详解】因为在线购买人数y（单位；人）与某产品销售单价x（单位：元）满足关系式：，单调递减，所以B正确； 将，代入， 可得，解得：，所以A正确； 由题意可得所得利润为： ， 所以当，最大利润为元，C正确，D错误； 故选：D. 3．某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－ (1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用) (2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略 【答案】(1)最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元;(2)最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元． 【分析】(1)将 x2＝5－x1，代入R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28，整理可得收益y＝R－5＝－3x12＋12x1－3，利用配方法可得结果；(2)收益y＝R－(x1＋x2)＝－2(x1－3)2－(x2－5)2＋15≤15，进而可得结论. 【详解】(1)依题意x1＋x2＝5， ∴x2＝5－x1， ∴R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28 ＝－2x12－(5－x1)2＋13x1＋11(5－x1)－28 ＝－3x12＋12x1＋2(0≤x1≤5)，∴收益y＝R－5＝－3x12＋12x1－3 ＝－3(x1－2)2＋9≤9， 当且仅当x1＝2时取等号． ∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元． (2)收益y＝R－(x1＋x2) ＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28－(x1＋x2) ＝－2(x1－3)2－(x2－5)2＋15≤15， 当且仅当x1＝3，x2＝5时取等号． ∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元． 【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二次函数的性质，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 图象信息综合应用题型06 1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，分析函数的单调性和凸凹性，进而得到函数的图象． 【详解】∵前3年年产量的增长速度越来越快， 故函数为增函数，且为凹函数； 又∵后3年年产量保持不变， 故函数图象为匀速增长的线段， 故选A． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，难度不大，属于基础题． 2．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】A 【分析】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【详解】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 3．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是_____分钟． 【答案】## 【分析】根据图象设出一次函数和反比例函数解析式，根据点的坐标求出解析式，令为，即可得出结果. 【详解】据图象知，直线和曲线过， 设反比例函数为，一次函数为， 所以，，，， 所以整个函数， 则令，， 令，， 所以消毒的有效时间为分钟. 故答案为： 4．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图所示．则： （1）月通话为分钟时，应交话费多少元； （2）求与之间的函数关系式． 【答案】（1）元；（2）． 【分析】（1）设，代入可求得解析式，代入即可得到结果； （2）设，代入，可求得解析式，结合（1）中结论可得分段函数解析式. 【详解】（1）由题意可知：当时，设函数的解析式， 函数过点，，解得：，解析式为， 当月通话为分钟时，应交话费元． （2）当时，设与之间的函数关系式为， 函数过点，，，解得：， 当时，； 结合（1）中结论可知：与的函数关系式为：. 5．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 【答案】（1）24km（2）（3）沙尘暴发生30h后将侵袭到N城． 【分析】(1)根据图象,计算可得答案; (2)根据图像分三段写出函数解析式,再写成分段函数的形式; (3)根据分段函数解析式,计算出和时,函数的最大值,两个最大值都小于650,所以时, 这场沙尘暴不会侵袭到N城,在时,令,解得即可得到答案. 【详解】解：（1）由图像可知，当时，，所以km． （2）当时，； 当时，； 当时， ． 综上可知，． （3）因为当时，， 当时，， 所以当时，令， 解得. 因为，所以． 故沙尘暴发生30h后将侵袭到N城． 【点睛】本题考查了利用图象求分段函数的解析式和函数值,属于中档题. 6．为了响应国家“土地流转”政策，某公司在城郊租赁了大量土地作为蔬菜种植基地，种植的蔬菜销往城内各大超市和农贸市场．今年冬季的某一天（记为第1天）有一批绿色有机大白菜开始陆续上市．据预测，大白菜上市的第1天至第60天内，每天的产量x（单位：kg）（注：每天的产量即为每天的销售量）近似地满足图1所示的两条线段对应的函数关系；每天的销售价格y（单位：元/kg）近似地满足图2（其中前一段为线段，后一段为函数）所示的函数关系． (1)求这60天内每天的产量x，每天的销售价格y与第t天的函数关系； (2)从开始销售起第几天的销售收入w（单位：元）最大?最大的销售收入是多少元? 【答案】(1)， (2)第30天的销售收入w最大，最大销售收入是5236元 【分析】（1）根据已知可得出函数为分段函数.根据每段函数的图象特点结合已知，设出解析式，代入相关点，得出参数值，即可得出答案； （2）结合（1）的答案，分，，三种情况，分别求出w的表达式.然后根据函数的单调性，求出各段的最大值，即可得出答案. 【详解】（1）当时，设， 由已知有， 解得，此时；   当时，设， 由已知有， 解得，此时. 所以. 当时，设， 由已知有， 解得，此时； 当时，， 由已知有， 解得，此时. 所以. （2）由（1）可知，当时， 每天的销售收人为， 根据二次函数的性质，可知函数在内单调递增， 所以当时，； 当时， 每天的销售收入为， 又由，可得，， 结合根据对勾函数的性质，函数在内单调递增， 所以当时，； 当时， 每天的销售收入为， 函数以及均在内单调递减， 根据复合函数的单调性可知，函数在内单调递减， 所以有. 综上所述，从开始销售起，第30天的销售收入w最大，最大销售收入是5236元． 分段函数模型的应用题型07 1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 2．（25-26高一上·云南曲靖·期中）某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. 【详解】∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 3．某市出租车收费标准：路程不超过千米，收费为元；路程超过千米但不超过千米的部分，每千米车费为元；路程超过千米的部分，每千米车费为元，若该乘客所付车费为元，求出租车行驶的路程是（    ）千米. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出收费与路程的分段函数解析式，分析可得行驶的路程超过千米，进而代入解析式，即可出结果. 【详解】由题知，收费（元）与路程（千米）关系为， 若出租车行驶的路程是千米， 则所付车费为元，不符合题意， 则出租车行驶的路程超过千米， 由，可得千米. 故选：D 4．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）某通信公司推出的话费套餐收费标准如下：每月月租费为28元，当月通话时间不超过50分钟时，只收取月租费28元；当月通话时间超过50分钟时，除收取月租费外，超出 50分钟的部分按0.2元/分钟收费.已知该通信公司某用户选择了该话费套餐，若该用户某月通话时间为130分钟，则该用户应缴的话费为________元. 【答案】44 【分析】根据题设要求列式计算即可. 【详解】由题意，该用户应缴的话费为元． 故答案为：44 5．（25-26高三上·海南·月考）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题意可得水果每斤的平均价格为，根据题意可得函数在上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 设某户居民的月用水量为，应交纳水费（元）． (1)求关于的函数解析式； (2)若该居民上月交纳水费99元，求此居民上月用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意分段得出解析式即可； （2）应用函数值计算得出自变量即可求解. 【详解】（1）由题知，当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，． （2）由（1）知，当时，； 当时，； 当时，； 因此当月交纳水费为99元时，用水量一定超过 故有，解得 所以此居民上月用水量为． 7．（24-25高一上·四川·月考）为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县抓住机遇，利用得天独厚的绿色资源天然氧吧，大力开发皇家山旅游康养中心游玩项目，助力脱贫.当地某旅游公司计划在2024年全年投入固定成本万元，若该项目在年有游客万人，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴万元． (1)求年该项目的利润（万元）关于游客人数 （万人）的函数关系式;（利润＝收入－成本）； (2)当年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)30万，最大利润为205万元 【分析】（1）根据已知条件求得的解析式. （2）根据二次函数的性质以及基本不等式来求得最大利润. 【详解】（1）该项目的门票收入为万元，财政补贴收入为万元，共万元收入， 则利润 化简得. （2）①当时，单调递增， ； ②当时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为， 则； ③当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ． 综上，当年的游客人数为万时，利润最大，最大利润为万元． 8．（24-25高一上·江苏·月考）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E(单位：)与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)当时，写出累计经验值与游玩时间的函数关系式，并求出游玩6小时的累计经验值； (2)该游戏厂商把累计经验值与游玩时间的比值称为“玩家愉悦指数”，记为. ①若，当游玩时间在5小时以内（含5小时），求“玩家愉悦指数”的最小值. ②若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据题意可列得分段函数，根据分段函数可求得累计经验值； （2）①根据题意得到关系式，将的值代入进去可求得最小值；②根据题意列得不等式，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）由题意可得：当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：； 若，则， 所以； （2）①由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，“玩家愉悦指数”取到最小值为； ②由题意可得：当时，恒成立， 整理得对任意恒成立， 因为的开口向上，对称轴， 则时，取到最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $